天津市和平區(qū)天津一中2024屆數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

天津市和平區(qū)天津一中2024屆數(shù)學高三第一學期期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的值域為，當正數(shù)a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．92．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．3．函數(shù)的大致圖像為（）A． B．C． D．4．已知，，，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．數(shù)列滿足，且，，則（）A． B．9 C． D．78．中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．9．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或10．已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．12．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．14．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀____．15．已知實數(shù)，對任意，有，且，則______.16．已知函數(shù)（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知函數(shù).（1）當時，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．19．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關？城鎮(zhèn)居民農村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．21．（12分）已知三棱柱中，，是的中點，，.（1）求證：；（2）若側面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）的內角的對邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當且僅當時取等號,∴的最小值為.故選：A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.2、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.3、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結果.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，排除B和C；當時，，排除A.故選：D.【點睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項是基本手段，屬中檔題.4、D【解析】

令，求，利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調遞增，從而可得，設，利用導數(shù)證出為單調遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時，令，求導，，故單調遞增：∴，當，設，，又，，即，故.故選：D【點睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構造函數(shù)法，利用導數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.5、C【解析】

先求導得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構造新函數(shù)，通過利用導數(shù)研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構造函數(shù)法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.6、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解：，則復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內對應的點的坐標為：，位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.7、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，，可求出公差，即可求出．【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，，故選：．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．8、C【解析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.9、D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練．10、A【解析】

求導得到，根據(jù)切線方程得到，故，設，求導得到函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，，故，.故，故，.設，，取，解得.故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導數(shù)求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.11、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構建關系，屬于中檔題.12、B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當平行線經(jīng)過點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數(shù)，結合圖形求出最值，需要掌握解題方法.14、【解析】乙不輸?shù)母怕蕿椋?15、-1【解析】

由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．16、【解析】

首先根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數(shù)的值域，結合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）求導得，由，且，得到，再利用函數(shù)在上單調遞減論證.（2）根據(jù)題意，求導，令，易知；，易知當時，，；當時，函數(shù)單調遞增，而，又，由零點存在定理得，使得，，使得，有從而得證.【詳解】（1）依題意，，因為，且，故，故函數(shù)在上單調遞減，故.（2）依題意，，令，則；而，可知當時，，故函數(shù)在上單調遞增，故當時，；當時，函數(shù)單調遞增，而，又，故，使得，故，使得，即函數(shù)單調遞增，即單調遞增；故當時，，故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，函數(shù)有極小值.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想，屬于難題.18、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，向量的數(shù)量積，結合已知條件求得結果.【詳解】（1）由離心率為，可得，，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）①當直線l的斜率不存在時，，，由于；②當直線l的斜率為0時，，，則；③當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，由及，得，有，∴，，，，∴，綜上所述：．【點睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，求向量數(shù)量積，在解題的過程中，注意對直線方程的分類討論，屬于中檔題目.19、（1）見解析，有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.（2）根據(jù)樣本估計，從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人，抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系．則．于是，，．設面的一個法向量，由得令，則，即．設，易得，．設面的一個法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點，考查了學生空間想象，邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算，即可得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內作直線的垂線，以為原點，以，，為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值