上海市五十四中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

上海市五十四中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則（）A． B． C． D．3．設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A．4 B．-5 C．-6 D．-84．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A． B． C． D．5．如果直線l過點（2，1），且在y軸上的截距的取值范圍為（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范圍是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A． B． C． D．7．若，，則方程有實數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．8．若直線被圓截得弦長為4，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．9．當(dāng)點到直線的距離最大時，的值為（）A． B．0 C． D．110．?dāng)?shù)列，…的一個通項公式是（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，矩形中，，，是的中點，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．12．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的弧長_________.13．若、分別是方程的兩個根，則______.14．函數(shù)的定義域為___________.15．一個三角形的三條邊成等比數(shù)列，那么，公比q的取值范圍是__________.16．點與點關(guān)于直線對稱，則直線的方程為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．18．某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：519．設(shè)，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.20．已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，設(shè)(1)求的解析式；(2)若不等式≥0在區(qū)間(1，e2]上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．21．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若.（1）求角的度數(shù)；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由可得,代入求解可得,則,進而利用誘導(dǎo)公式求解即可【題目詳解】由可得,即,所以,因為,所以,則,故選:C【題目點撥】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值2、D【解題分析】

由題意得到，再由兩角差的余弦及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求解.【題目詳解】解：∵角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，

∴，

，

故選：D.【題目點撥】本題考查了兩角差的余弦公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】繪制不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點處取得最小值.本題選擇D選項.4、D【解題分析】

由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【題目詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【題目點撥】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

利用直線的斜率公式，求出當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線經(jīng)過點時的斜率，即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)要求直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點時，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點時，斜率為，故所求直線的斜率為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】試題分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出，，的圖象，與的交點的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．考點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．【方法點睛】一般一個方程中含有兩個以上的函數(shù)類型，就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖象的交點，函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)即為方程的解．7、B【解題分析】方程有實數(shù)根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項.8、A【解題分析】

圓方程配方后求出圓心坐標(biāo)和半徑，知圓心在已知直線上，代入圓心坐標(biāo)得滿足的關(guān)系，用“1”的代換結(jié)合基本不等式求得的最小值．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線被圓截得弦長為4，則圓心在直線上，∴，，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴的最小值是1．故選：A．【題目點撥】本題考查用基本不等式求最值，解題時需根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得的關(guān)系，然后用“1”的代換法把湊配出可用基本不等式的形式，從而可求得最值．9、C【解題分析】直線過定點Q(2,1),所以點到直線的距離最大時PQ垂直直線,即,選C.10、D【解題分析】試題分析：由題意得，可采用驗證法，分別令，即可作出選擇，只有滿足題意，故選D．考點：歸納數(shù)列的通項公式．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

取中點為，中點為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關(guān)系得到余弦值.【題目詳解】由題意，取中點，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結(jié)合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【題目點撥】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.12、【解題分析】

根據(jù)扇形的弧長公式進行求解即可．【題目詳解】∵扇形的圓心角α，半徑為r＝5，∴扇形的弧長l＝rα5．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查扇形的弧長公式的計算，熟記弧長公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

利用韋達定理可求出和的值，然后利用兩角和的正切公式可計算出的值.【題目詳解】由韋達定理得，，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用兩角和的正切公式求值，同時也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析:由題設(shè)可得,解之得,故應(yīng)填答案.考點：函數(shù)定義域的求法及運用．15、【解題分析】

設(shè)三邊按遞增順序排列為，其中.則，即.解得.由q≥1知q的取值范圍是1≤q<.設(shè)三邊按遞減順序排列為，其中.則，即.解得.綜上所述，.16、【解題分析】

根據(jù)和關(guān)于直線對稱可得直線和直線垂直且中點在直線上，從而可求得直線的斜率，利用點斜式可得直線方程.【題目詳解】由，得：且中點坐標(biāo)為和關(guān)于直線對稱且在上的方程為：，即：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱求解直線方程的問題，關(guān)鍵是明確兩點關(guān)于直線對稱則連線與對稱軸垂直，且中點必在對稱軸上，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考點：1、等差數(shù)列通項公式；2、分組求和法．18、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解題分析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，在的人數(shù)為，所以數(shù)學(xué)成績在之外的人數(shù)為100-5-20-40-25=10.【題目點撥】本題主要考查樣本估計總體，由題中頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念，即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)；(2)【解題分析】

（1）由向量加法的坐標(biāo)運算可得：，再由向量平行的坐標(biāo)運算即可得解.（2）由向量垂直的坐標(biāo)運算即可得解.【題目詳解】解：（1），，，，，故，所以.（2），，，所以.【題目點撥】本題考查了向量加法的坐標(biāo)運算、向量平行和垂直的坐標(biāo)運算，屬基礎(chǔ)題.20、(1)；(2)；(3).【解題分析】

（1）對稱軸為，對稱軸為，再根據(jù)圖像平移關(guān)系求解；（2）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（3）令為整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題求解.【題目詳解】(1)函數(shù)的對稱軸為，因為向左平移1個單位得到，且是偶函數(shù)，所以，所以.(2)即又，所以，則因為，所以實數(shù)的取值范圍是.(3)方程即化簡得令，則若方程有三個不同的實數(shù)根，則方程必須有兩個不相等的實數(shù)根，且或，令當(dāng)時，則，即，當(dāng)時，，，，舍去，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查求函數(shù)解析式，函數(shù)不等式恒成立及函數(shù)零點問題.函數(shù)不等式恒成立