福建省莆田市名校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

福建省莆田市名校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－312．直線過且在軸與軸上的截距相等，則的方程為（）A． B．C．和 D．3．已知，則向量與向量的夾角是（）A． B． C． D．4．若函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，則的值為A． B． C． D．5．已知集合，，，則（）A． B． C． D．6．已知β為銳角，角α的終邊過點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或7．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．菱形ABCD，E是AB邊靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，DE=4，則菱形ABCD面積最大值為（）A．36 B．18 C．12 D．910．已知函數(shù)的零點(diǎn)是和（均為銳角），則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則的取值范圍是________.12．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為__________．14．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.15．若滿足約束條件則的最大值為__________．16．若向量，則與夾角的余弦值等于_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄，（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算出，附：線性回歸方程，其中為樣本平均值.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.18．設(shè)一元二次不等式的解集為．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求的取值范圍．19．解關(guān)于的方程：20．如果數(shù)列對(duì)任意的滿足：，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是“數(shù)列”，設(shè)，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，并指出與的大小關(guān)系（不需要證明）；（2）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，若數(shù)列是“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的“數(shù)列”，對(duì)于取相同的正整數(shù)時(shí)，比較和的大小，并說明理由.21．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算，利用等比數(shù)列求和公式求出其公比，是解本題的關(guān)鍵，一般在求解等比數(shù)列問題時(shí)，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項(xiàng)和公比列方程組解出這兩個(gè)基本量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式來進(jìn)行計(jì)算；（2）性質(zhì)法：利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用．2、B【解題分析】

對(duì)直線是否過原點(diǎn)分類討論，若直線過原點(diǎn)滿足題意，求出方程；若直線不過原點(diǎn)，在軸與軸上的截距相等，且不為0，設(shè)直線方程為將點(diǎn)代入，即可求解.【題目詳解】若直線過原點(diǎn)方程為，在軸與軸上的截距均為0，滿足題意；若直線過原點(diǎn)，依題意設(shè)方程為，代入方程無解.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線在上的截距關(guān)系，要注意過原點(diǎn)的直線在軸上的截距是軸上的截距的任意倍，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】試題分析：根據(jù)已知可得：，所以，所以?shī)A角為，故選擇C考點(diǎn)：向量的運(yùn)算4、C【解題分析】

先由題意求出平移后的函數(shù)解析式，再由對(duì)稱中心，即可求出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,可得函數(shù)的圖像，又函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，，，故，又，時(shí)，.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由平移后的函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的問題，熟記正弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及函數(shù)的平移原則即可，屬于常考題型.5、C【解題分析】由題意得，因?yàn)?，所以，所以，故，故選C.6、B【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【題目詳解】β為銳角，角α的終邊過點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．【題目詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除A；由于函數(shù)是偶函數(shù)，但它在區(qū)間上單調(diào)遞增，故排除B；由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足條件．故答案為：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及基本初等函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

令，得，再令，得出，并構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】令，得，，令，則，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，由于，，，所以，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，在求解含參函數(shù)零點(diǎn)的問題時(shí)，若函數(shù)中只含有單一參數(shù)，可以采用參變量分離法轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，難點(diǎn)在于利用換元法將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．9、B【解題分析】

設(shè)出菱形的邊長(zhǎng)，在三角形ADE中，用余弦定理表示出cosA【題目詳解】設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為3a，在三角形ADE中，AD=3a,AE=a,DE=4，有余弦定理得cosA=10a2-166a故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查菱形的面積公式，考查二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.10、B【解題分析】

將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化的解，利用韋達(dá)定理和差公式得到，得到答案.【題目詳解】的零點(diǎn)是方程的解即均為銳角故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)，韋達(dá)定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用反函數(shù)的運(yùn)算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【題目詳解】由，得所以，又因?yàn)椋?故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】考點(diǎn)：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡(jiǎn)、性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.13、-1【解題分析】

由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案．【題目詳解】由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值為﹣3×1﹣2×1＝﹣1．故答案為：﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14、.【解題分析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【題目詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【題目詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.16、【解題分析】

利用坐標(biāo)運(yùn)算求得；根據(jù)平面向量夾角公式可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以兩向量模長(zhǎng)的乘積.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.7【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，即可求得y對(duì)月收入x的線性回歸方程回歸方程x；（2）將x＝7代入即可預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄．【題目詳解】（1）由題意知，，∴由.故所求回歸方程為（2）將代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為（千元）.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查最小二乘法求線性回歸方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）將代入得到關(guān)于的不等式，結(jié)合一元二次方程解一元二次不等式可求得集合；（Ⅱ）解集為即不等式恒成立，求解時(shí)結(jié)合與之對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)考慮可得到需滿足的條件解不等式求的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式為：解方程得．（Ⅱ）由，即不等式的解集為R，則.19、【解題分析】

根據(jù)方程解出或，利用三角函數(shù)的定義解出，再根據(jù)終邊相同角的表示即可求出.【題目詳解】由，得，所以或，所以或，所以的解集為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角方程的解法，終邊相同角的表示，反三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）（3），證明見解析.【解題分析】

（1）由新定義，結(jié)合單調(diào)性的定義可得數(shù)列是遞增數(shù)列；再根據(jù)，，可得；（2）運(yùn)用新定義和等差數(shù)列的求和公式，解絕對(duì)值不等式即可得到所求范圍；（3）對(duì)一切，有．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意驗(yàn)證成立；假設(shè)不等式成立，注意變形和運(yùn)用新定義，即可得證．【題目詳解】（1）證明：數(shù)列是“數(shù)列”，可得，即，即，可得數(shù)列是遞增數(shù)列，.（2）數(shù)列是“數(shù)列”，可得，即，可得，即有，或，或，即或或，所以.（3）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的“數(shù)列”，對(duì)于取相同的正整數(shù)時(shí)，，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，，顯然即．設(shè)時(shí)，．即，可得，當(dāng)時(shí)，即證，即