廣東省湛江市桂頭中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

廣東省湛江市桂頭中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

<x+yAl

1.已知變量X,y,滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為10,則實(shí)數(shù)〃的

值為

8

(A)2(B)3(C)4(D)8

參考答案：

C

略

2.設(shè)集合J|y=|co/x-smx|.x€&),11j1,〕為虛數(shù)單位，

X€R},則A/n"為

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

參考答案：

C

3.已知集合”={亦=2'.，>0},AT={x|y=lg(2x-xa))則所加為()

A.(1⑵B.OZ)C,[2.-KO)D.UE

參考答案：

A

4.設(shè)機(jī)、〃是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若加-La,nfta,貝ij陽(yáng)A②若fiHy,mla,則掰

③若刑n/fa,則掰④若a_Ly,￡_Ly,則a〃/?

其中正確命題的序號(hào)是（）

（A）①和②（B）②和③（C）③和

④（D）①和④

參考答案：

A

略

5.已知a=>,⑺,2則a,"C的大小關(guān)系

為（）

A.XKCB.YK。D.KKC

參考答案：

B

Mu

b=?=2<2=fl

土uc=-h5=b7s<b?=l

.,.KKa.xv2,

...Li/：。.故選B.

6.設(shè)a=log3"，b=log2V3,c=log3V2,貝!]a、b>c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

參考答案：

A

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

2

-i-J1iO§332

【解答】解：：b=log2V5=El°g2,c=log3V2=2,log2-log3=1（

...2〉log>log；〉0,

.*.c<b<l.

又a=log3n>1,

.\a>b>c.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知向量a,b的夾角為45°,且|a=1,2a—b|=J^,貝U|bl=

A.>/2B.20C.30D.4&

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.F3

【答案解析】C解析：因?yàn)閍，g的夾角為45。，且G|=l,\2a-b\=,

所以442-4?？?2'=10,即取2砰.6=0,

解得同=偵或同=-0（舍），故選C.

【思路點(diǎn)撥】將|2[-'=而平方，然后將夾角與|=1代入，得到同的方程，解

方程可得.

8.已知sin2a<0,且cosa>0,則a的終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

參考答案：

D

【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號(hào).

【專題】計(jì)算題.

【分析】利用二倍角的正弦公式將已知sin2a<0轉(zhuǎn)化為a的三角函數(shù)的符號(hào)，根據(jù)a

的正弦為負(fù)，余弦為正，判斷出角a的終邊的位置.

【解答】解：；sin2a<0即2sinacosa<0

又cosa>0

.".sina<0

a的終邊第四象限

故選D

【點(diǎn)評(píng)】判斷角的終邊的位置，一般先判斷出角的三角函數(shù)的符號(hào)，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)

判斷出角的終邊所在的象限.

9.函數(shù)f(x)=x'+x,xCR,當(dāng)°2時(shí)，f(msin0)+f(l-m)>0恒成立，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是()

(-8,工)

A.(0,1)B.(-co,0)C.2D.(-oo,1)

參考答案：

D

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【分析】由f(x)=x:'+x,可知f(x)為奇函數(shù)，增函數(shù)，得出msin0>m-1,根據(jù)

sin0e[0,1],即可求解.

【解答】解：由f(x)=x3+x,：.f(x)為奇函數(shù)，增函數(shù)，???f(msinO)+f(1-m)>

0恒成立，

即f(msin。)>f(m-1),

e

/.msin9>m-1,當(dāng)2時(shí)，sin0[0,1],

'0>m-1

*

解得m<l,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,i),

故選D.

m，=1

10.過(guò)橢圓/P-(4>b>0)的左焦點(diǎn)區(qū)作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,瑪為右焦

點(diǎn)，若/年駕=60；則橢圓的離心率為()

A.2B.3C.2D

參考答案:

由題意知點(diǎn)p的坐標(biāo)為（-C,7），或（-c,-T）,因?yàn)橐?‘二二’‘.，那么

,這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為3,選B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.甲乙丙丁四位同學(xué)一起到某地旅游，當(dāng)?shù)赜衂,B,C,D,E,產(chǎn)六件手工紀(jì)念

品，他們打算每人買一件，甲說(shuō)：只要不是4就行；乙說(shuō)：C,D,E,尸都行；丙

說(shuō)：我喜歡C,但是只要不是。就行；丁說(shuō)：除了C,E之外，其他的都可以.據(jù)此判

斷，他們四人可以共同買的手工紀(jì)念品為.

參考答案:

12.某展室有9個(gè)展臺(tái)，現(xiàn)有3件展品需要展出，要求每件展品獨(dú)自占用1個(gè)展

臺(tái)，3件展品所選用的展臺(tái)既不在兩端又不相鄰，且3件展品所選用的展臺(tái)之間間

隔不超過(guò)2個(gè)展臺(tái)，則不同的展出方法種數(shù)為種（用數(shù)字作答）；

參考答案:

13.已知=’』"+4了）"''，定義I?表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)

尸=I/（月］的值域是▲。

參考答案:

（0.1）

14.如右圖，力8是圓。的直徑，直線,與圓。相切于點(diǎn)C,ADLCE于點(diǎn)

D,若圓。的面積為4兀，ZASC=30,,則功的長(zhǎng)為

參考答案：

1

?；CD是圓0的切線，.?.NABC=NACD=3O°,...在直角三角形ACD中，AD=1,

.,.AC=2,

二在直角三角形ABC中，AC=2,，AB=4,.?.圓的半徑是2,所以

乙48=乙次=30',

AD=4csm38=廢sin30*sin30*=4xlxl=1-

所以22

x+”2,

,2x-”4,7+1

15.若實(shí)數(shù)無(wú)了滿足不等式組I2"則Z"—的最小值是

參考答案：

2

8

4,1,

一+—=1

16.若x>0,)>0且*y,貝Ux+y最小值是_

參考答案：

9

略

f(x-2),x〉0

17.已知函數(shù)f(x)x<0,則f(2016)=.

參考答案：

0

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由已知條件利用分段函數(shù)的性質(zhì)先由函數(shù)的周期性求出f=f(0),再由指數(shù)的性

質(zhì)能求出結(jié)果.

f(x-2),x>0

【解答】解：?..函數(shù)f(X)x<0,

.\f(2016)=f(0)=3-°-1=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

ex

18.已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax-21nx-a(aGR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求f(x)的極值；

(2)在區(qū)間(0,e］上，對(duì)于任意的xo,總存在兩個(gè)不同的X”x2.使得g(xi)=g(x2)

=f(xo),求a的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；

(2)求出當(dāng)xC(0,e］時(shí)，函數(shù)f(x)的值域，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合g(x)的單調(diào)

性，求出a的具體范圍即可.

ex(l-x)e

【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)=eX,所以f，(x)=ex，…

令f'(x)=0,得x=l.…

當(dāng)x￡(-8,1)時(shí)，『(x)>0,f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，f'(x)<0,f(x)是減函數(shù).

所以f(x)在x=l時(shí)取得極大值f(1)=1,無(wú)極小值.…

(2)由(1)知，當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)乂￡(1,e］時(shí)，f(x)單調(diào)遞

減.

又因?yàn)閒(0)=0,f(1)=1,f(e)=e?e1-e>0,

所以當(dāng)x￡(0,e］時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,1］.…

當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-21nx在(0,e］上單調(diào)，不合題意；…

a(x--)

a

當(dāng)aNO時(shí)，g'(x)=x,xW(0,e］,

22

故必須滿足OVaVe,所以a>e.…

此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下：

X222

(o,7)a(a,e]

g1(x)-0+

g(x)單調(diào)減最小值單調(diào)增

22

所以xf0,g(x)f+8,g(a)=2-a-21na,g(e)=a(e-1)-2,

所以對(duì)任意給定的xo《(0,e],在區(qū)間(0,e]上總存在兩個(gè)不同的Xi,x2

使得g(Xi)=g(x2)=f(Xo),

g心)<o2-a-21n—<0

yaa

當(dāng)且僅當(dāng)a滿足下列條件g(e)>l,Bp|a(e-1)-2>1,-

22

令m(a)=2-a-21na,aS(e,+°°),

a-2

m(a)=-a,由m'(a)=0,得a=2.

/

當(dāng)(2,+8)時(shí)，m(a)<0,函數(shù)m(a)單調(diào)遞減;

2

當(dāng)aS(e,2)時(shí)，m,(a)>0,函數(shù)田(a)單調(diào)遞增.

2

所以，對(duì)任意a￡(e,+8)有田(a)Wm(2)=0,

22

即2-a-21n1W0對(duì)任意(7,+8)恒成立.

3

由a(e-l)-221,解得eT,

3

綜上所述，ae[e-1,+°°)時(shí)，對(duì)于任意給定的xo(0,e],

在區(qū)間(0,e]上總存在兩個(gè)不同的Xi,X2,使得g(xi)=g(x2)=f

(Xo).…

19.(本小題滿分12分，⑴小問(wèn)3分,(II)小問(wèn)4分,(HI)小問(wèn)5分)

設(shè)數(shù)列&｝的前N項(xiàng)和為0，勺=占且%-2az

i=-l

⑴若8,求電a3,4；

(H)若(％｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)占的取值范圍；

(in)若物wk,￡2邑恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

參考答案：

.帽⑴叫,.=24)+:a…0+H，+方片技

n)由則2-a.=4(L&T)+l

令2=2"4，.\4=20)=?,：.〃=他7+]=6.+!=4(2|+；)

,

二8+：=(4+J?4-,=(25+1)x4"-',ii=(24+l)x4"-1

故2*4=(?+卷)x4”-；

；｛q｝為遞增數(shù)列,

二°<4“占君+a-蘇恒成立

?'?(；"與?(2"“-2)-：(1-[)238+1恒成立

212324

312.

即(Z1-4)6之：一丁不--l恒成立........(D

43?2'12

當(dāng)〃23時(shí)，化簡(jiǎn)得52」——1,只要32_￡?_工=_竺=一上即可

122r612269632

當(dāng)〃=2時(shí)，顯然XNSz，當(dāng)〃=1時(shí)，(?)等價(jià)于-2421，即64-1

48

綜匕所述，-工464-1

328

20.甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生比為1110,為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在省統(tǒng)

考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并

作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績(jī)?cè)冢?20,150］內(nèi)為優(yōu)秀。

甲校：

分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

頻數(shù)231015

分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

頻數(shù)15T31

乙校:

分組「70,80)「80.90)「90.1001-100,110)

頻數(shù)1298

分組-110,120)~120,130)[130,140)7H0,150'

頻數(shù)1010y3

（1）計(jì)算x，F(xiàn)的值，并根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計(jì)甲校和乙校的優(yōu)秀率;

（2）若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任選3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)女的分布列和數(shù)學(xué)期

望。

參考答案:

22

解：⑴工-64二7；甲校優(yōu)秀率為］】‘乙校優(yōu)秀率為5

2

,L23.久久旌）

⑵5,

m-0）-（聚）“（1-%一點(diǎn)》（卜］54

125；

鵬-2）-6弋）（"令'-金小-3）一（峙Q■令。8

125；

0123分布列：

P2754

125125125125

———

期望：55

略

21.（12分）一袋中有7個(gè)大小相同的小球，其中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球，從中

任取3個(gè)小球.

（I）求紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各取1個(gè)的概率;

（II）設(shè)X表示取到的藍(lán)色小球的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案:

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

「3

【分析】（I）利用P=17即可得出.

rkr3-k

（n）x可能取o,i,2.p（x=k）=4,即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（I）P==35.

rkr3-k

(II)X可能取0,1,2.P(X=k)=b7,可得P(X=0)=7,P(X=l)=7,P

(X=2)=7.

X的分布列

X012

P24_

77