小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類結(jié)構(gòu)的基本課型

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)類結(jié)構(gòu)的根本課型歸納探究型探究式課型主要適用于小學(xué)數(shù)學(xué)中的定律、性質(zhì)和公式教學(xué)。探究式教學(xué)策略一般比擬適合三年級以上的學(xué)生。在小學(xué)階段,探究式課型可以分為歸納探究和轉(zhuǎn)化探究兩種(中學(xué)階段還有演繹探究)。對于數(shù)學(xué)中的規(guī)律性知識教學(xué),我們需要改變以往讓學(xué)生理解、記憶定律,運(yùn)用定律進(jìn)行簡便運(yùn)算的演繹現(xiàn)象,期望通過對教材相關(guān)內(nèi)容的復(fù)原加工和處理,以歸納的方式引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中探究和發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。我們把這種教學(xué)策略稱為歸納探究。一、規(guī)律探索的教育價值運(yùn)用歸納探究的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的規(guī)律性知識,可以使學(xué)生從偶然現(xiàn)象或特殊問題出發(fā),經(jīng)歷猜測、驗證、歸納和概括,抽象出一般的數(shù)學(xué)結(jié)論。在這個過程中,學(xué)生不僅可以了解知識創(chuàng)生和開展的過程,而且可以學(xué)會思考如何從偶然現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)必然規(guī)律。學(xué)生一旦掌握了發(fā)現(xiàn)的一般方法,也就有了不斷發(fā)現(xiàn)乃至創(chuàng)新的需要與可能;不僅可以形成研究的科學(xué)態(tài)度,而且可以了解和掌握研究方法,體驗探索的艱辛和發(fā)現(xiàn)的歡樂,感受前人的智慧和滲透其中的數(shù)學(xué)思想和方法,感受數(shù)學(xué)的抽象和力量?？傊?藉助探究和發(fā)現(xiàn),一方面可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈,學(xué)習(xí)有意義的數(shù)學(xué);另一方面可以激發(fā)學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)問題的欲望,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力,更重要的是,可以使學(xué)生養(yǎng)成主動思考的習(xí)慣,形成主動學(xué)習(xí)的心態(tài),并逐漸建立起獨(dú)特的思維方式。在上述認(rèn)識的根底上,我們把教學(xué)的總目標(biāo)確定為使學(xué)生建立與形成研究意識。這里的研究意識主要包括猜測,舉證,分類研究,確定研究范圍,尋找和梳理研究材料,等等。自然,在建立研究意識的同時,還要掌握規(guī)律性知識,并運(yùn)用規(guī)律解決相關(guān)問題。為了在教學(xué)中具體表達(dá)規(guī)律性知識的教育價值,我們又根據(jù)教學(xué)的總目標(biāo)和相關(guān)教學(xué)內(nèi)容確定了規(guī)律性知識的階段性遞進(jìn)式目標(biāo)(見表6.3)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的規(guī)律性知識主要由兩大局部組成:一局部是數(shù)運(yùn)算中的定律和性質(zhì);另一局部是數(shù)的整除中的特征和規(guī)律。關(guān)于數(shù)運(yùn)算的定律和性質(zhì),也許是基于學(xué)生可能把握的考慮,教材只選擇了一局部作為學(xué)習(xí)內(nèi)容,如加法和乘法的交換律、結(jié)合律,乘法分配律,除法商不變性質(zhì)等,而且將這些內(nèi)容分別編排在每一種運(yùn)算學(xué)習(xí)之后。這樣的內(nèi)容選擇和編排方式容易讓教師和學(xué)生只看見孤立的“點(diǎn)〞,看不見有內(nèi)在聯(lián)系的知識整體。我們認(rèn)為,這些“點(diǎn)狀"〞的定律和性質(zhì)固然需要學(xué)生去記憶和運(yùn)用,但其更重要的教育價值在于培養(yǎng)學(xué)生的研究意識和能力。從這個意義上說,加減乘除四種運(yùn)算中的定律和性質(zhì)都可以成為育人的載體和豐富的資源。再說,加減乘除四種運(yùn)算之間本身就存在著緊密聯(lián)系:第一,減法是加法的逆運(yùn)算,除法是乘法的逆運(yùn)算;乘法是加法的簡便運(yùn)算,除法是減法的簡便運(yùn)算;第二,乘法具有與加法相類比的運(yùn)算定律,除法具有與減法相類比的運(yùn)算性質(zhì);第三,乘法與加減法之間有運(yùn)算定律,除法與加減法之間也有運(yùn)算性質(zhì)。對于這些“結(jié)構(gòu)狀〞知識,我們不能停留在為使學(xué)生了解和掌握而教,還要把它作為培養(yǎng)學(xué)生研究意識的載體。它不但提供了學(xué)生更多的實踐和反思時機(jī),而且有利于學(xué)生整體認(rèn)識和結(jié)構(gòu)化地把握知識;不但為學(xué)生的類比猜測和結(jié)構(gòu)思考提供可能,而且有利于學(xué)生的主動探究和形成主動學(xué)習(xí)的心態(tài);更重要的是,可以幫助學(xué)生建立起結(jié)構(gòu)意識和結(jié)構(gòu)化的思維方式?；谶@樣的認(rèn)識和思考,我們在學(xué)生規(guī)律性知識學(xué)習(xí)中一方面補(bǔ)充了相關(guān)內(nèi)容(見表6.3),另一方面對教材內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)重組?？紤]到加減法運(yùn)算集中在一冊教材中乘除法運(yùn)算集中在另一冊教材中,所以把加減法運(yùn)算定律和性質(zhì)編排在加減法運(yùn)算之后集中教學(xué),把乘除法運(yùn)算定律和性質(zhì)編排在乘除法運(yùn)算之后集中教學(xué)。在教材補(bǔ)充和重組的根底上,我們采用“長程兩段式〞教學(xué)策略,把加法的運(yùn)算定律教學(xué)作為“教學(xué)結(jié)構(gòu)〞階段,把減法、乘法和除法的運(yùn)算定律和性質(zhì)教學(xué)以及數(shù)范圍擴(kuò)大后的規(guī)律研究教學(xué)作為“運(yùn)用結(jié)構(gòu)〞階段。數(shù)的整除的特征和規(guī)律,主要是指能被2、3、5整除的數(shù)的特征、素數(shù)與合數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)等。許多教師認(rèn)識到學(xué)生自己探索并獲得規(guī)律的意義,期望學(xué)生在課堂中能主動探究并有所發(fā)現(xiàn)。然而這些規(guī)律性知識并非輕易就能被發(fā)現(xiàn)的,前人對這些規(guī)律的探索和發(fā)現(xiàn)或許經(jīng)歷了相當(dāng)長的時間,現(xiàn)在要用短短的一節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗這個探索發(fā)現(xiàn)的過程,并真的有所發(fā)現(xiàn),不是一件容易的事情。為了讓學(xué)生能在一節(jié)課中發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律,有的教師冥思苦想、精心構(gòu)思如何為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行鋪墊性設(shè)計,期望學(xué)生通過這些鋪墊就能“水到渠成〞地發(fā)現(xiàn)。如“能被3整除的數(shù)的特征〞的教學(xué)引入,老師設(shè)計了一個投般子組數(shù)的游戲:請學(xué)生投3次般子,隨機(jī)得到三個數(shù)字,用這三個數(shù)字組成一個三位數(shù),記錄在下表中,然后觀察那些能被3整除的數(shù)的特征,看看能發(fā)現(xiàn)什么。三個數(shù)字可以組成六個不同排列的三位數(shù)，如1，2，3三個數(shù)字可以組成123、132、213、231、312、321,這些數(shù)能被3整除;1、2、4三個數(shù)字可以組成124、142、214、241、412、421,這些數(shù)不能被3整除。在這里,六個不同排列的三位數(shù)就成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)能被3整除的數(shù)的特征的一個鋪墊,老師期望有了這個鋪墊,學(xué)生就能很容易地發(fā)現(xiàn)能被3整除的數(shù)的特征:與數(shù)字的排列位置沒有關(guān)系,而是與數(shù)位上數(shù)的和有關(guān)。然而,在具體的教學(xué)實踐中,大局部學(xué)生不知道其中的微妙所在,表現(xiàn)出很茫然的狀態(tài):有的學(xué)生通過投般子雖然得到了三個數(shù)字,但不知道怎么填寫這張表,就在一個空格內(nèi)填寫一個數(shù)字;有的學(xué)生雖然知道三個數(shù)字可以組成六個三位數(shù),但由于通過投鍛子確定的三個數(shù)字具有隨機(jī)性,到活動停止還沒有得到能被3整除的數(shù);有的學(xué)生雖然比擬順利地完成了表格的填寫工作,但表格中能被3整除的數(shù)只有六個,很難一下就尋找出其中的規(guī)律所在……凡此種種表現(xiàn),反映了大局部學(xué)生顯然不領(lǐng)老師的情,他們不太情愿進(jìn)入老師設(shè)計的“圈套〞。當(dāng)然,總是有個別學(xué)生會很配合老師,既填寫了表格,又“發(fā)現(xiàn)〞了能被3整除的數(shù)的特征。又如“素數(shù)與合數(shù)〞教學(xué),老師設(shè)計了拼長方形的游戲:請學(xué)生用幾個正方形來拼長方形,然后觀察那些只有一種拼法的是用幾個正方形拼成的,那些有多種拼法的又是用幾個正方形拼成的。在這里,教師期望只有一種拼法與多種拼法的區(qū)分成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)素數(shù)與合數(shù)的一個鋪墊。但是,這個鋪墊不如前例的設(shè)計那樣容易“水到渠成〞。第一,只有一種拼法與多種拼法的區(qū)分只能將數(shù)分為兩類,還很難與這些數(shù)的約數(shù)個數(shù)建立直接聯(lián)系;第二,按照這個鋪墊設(shè)計的邏輯,1就變成了素數(shù),因為1應(yīng)該屬于只有一種拼法的一類(正方形是特殊的長方形)。這又該如何解釋呢?我們有的老師會自圓其說,“因為一個正方形不能拼成長方形,所以1很特殊〞,但這樣的解答似乎又比擬勉強(qiáng)。不管教師的鋪墊設(shè)計是巧妙,還是牽強(qiáng),我們都不得不佩服教師的用心良苦。同時我們又隱隱感到這些鋪墊似乎就是為了獲得某個規(guī)律或結(jié)論,教學(xué)似乎就是為了規(guī)律。從教師直接傳授知識到教師鋪墊的學(xué)生自己探索和發(fā)現(xiàn)知識,自然是一種進(jìn)步,但是我們不得不思考一系列問題:是否每節(jié)課都能為學(xué)生進(jìn)行這樣的鋪墊設(shè)計?倘假設(shè)離開教師的鋪墊設(shè)計,學(xué)生如何獨(dú)立探索、發(fā)現(xiàn)和研究?前人在探索、發(fā)現(xiàn)和研究的過程中是否也有人為他們進(jìn)行鋪墊?數(shù)的整除這個單元的學(xué)習(xí)應(yīng)怎樣發(fā)揮載體的作用,培育學(xué)生怎樣的研究意識和能力?其實,當(dāng)我們的視角從一個個的知識點(diǎn)中跳出,整體地分析和研究整個單元知識的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系,我們就會發(fā)現(xiàn),數(shù)的整除這個單元實際是對自然數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的特性展開研究。要對數(shù)的特性展開研究,大多離不開具體研究的路徑、范圍、材料確實定。例如,研究能被3整除的數(shù)的特征,首先要確定研究的路徑。因為一個能被3整除的數(shù)一定是3的倍數(shù),所以不妨從3的倍數(shù)出發(fā)去研究它們的特征所在。其次是確定研究的范圍,一般可以先確定一個相對較小的范圍進(jìn)行研究,如果能發(fā)現(xiàn)結(jié)論,再驗證這個結(jié)論在其他范圍內(nèi)是否都能成立,如果不能發(fā)現(xiàn)結(jié)論,還要再適當(dāng)擴(kuò)大范圍。這時,可以利用4人小組合作研究的有利條件,每個人研究一個范圍,4個人連續(xù)的小范圍就構(gòu)成一個相對較大的研究范圍。如第一人從50-100,第二人從loo-150,第三人從150-200,第四人從200-250,4個人合起來的研究范圍就是50-250之間。確定了研究范圍之后,就可以有序地羅列這個范圍內(nèi)3的倍數(shù)口之所以要有順序地排列,是因為排列有規(guī)律才容易觀察和發(fā)現(xiàn)。如果排列雜亂無章,即使有發(fā)現(xiàn),也可能是出于偶然。在數(shù)的整除這個單元教學(xué)中,幾乎所有知識的學(xué)習(xí)都可以確定相關(guān)的研究路徑、研究范圍和研究材料,這樣我們就找到了這些知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。如果藉助數(shù)的整除這個單元的知識學(xué)習(xí),使學(xué)生把握這種研究方法,那么教學(xué)的載體作用和育人價值就有可能得以具體表達(dá)。為此,我們可以運(yùn)用"長程兩段式"教學(xué)策略,在能被2、3和5整除的數(shù)的特征教學(xué)結(jié)構(gòu)中,在以后知識的學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生運(yùn)用結(jié)構(gòu)獨(dú)立開展研究。該教學(xué)的階段性目標(biāo)也一并在表6.3中列出。二、規(guī)律探索教學(xué)結(jié)構(gòu)規(guī)律探索教學(xué)過程可以概括為下凰所示的教學(xué)流程:為了更清晰地說明上述流程,尚需對四個環(huán)節(jié)作簡要說明。第一環(huán)節(jié):提出問題。這是歸納探究式教學(xué)的關(guān)鍵之處。前人的許多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造都源自于一個偶然的問題或現(xiàn)象,從中我們可以得到啟示,通過提出一個開放的問題,引導(dǎo)學(xué)生從一個偶然問題出發(fā),經(jīng)歷從偶然中突然發(fā)現(xiàn)必然的過程?？梢哉f這種一剎那間的突然發(fā)現(xiàn)所帶來的驚喜,不但可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心,而且可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的欲望o提出問題可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要采用不同方式。主要路徑有以下幾種。一是根據(jù)生活中的現(xiàn)實材料。如在200米比賽中,運(yùn)發(fā)動為什么不在同一起跑線上?二是對數(shù)學(xué)歷史材料改造、處理和加工。如,將尺、量角器、圓周率等歷史材料改造后引入課題。三是通過類比猜測。如乘法結(jié)合律教學(xué),可讓學(xué)生類比加法結(jié)合律進(jìn)行聯(lián)想,將“乘法運(yùn)算中是否也存在這樣的規(guī)律〞作為探究主題。四是對教材中的知識進(jìn)行復(fù)原處理,即把教材中的應(yīng)用問題提前到知識教學(xué)前直接作為課堂引入的問題。例如小學(xué)三年級加法結(jié)合律教學(xué),可提出問題"37+75十25=?你有幾種解決問題的方法?哪一種比擬方便?"對于這樣的問題,許多學(xué)生可能會利用已有根底從左到右依次運(yùn)算:先算37+75=112,再計算112+25=137(三年級學(xué)生計算這個題目時還需要借助豎式筆算,比擬麻煩);也有學(xué)生可能先計算75+25=100,再計算100+37=137,這不需要筆算,直接口算就可得到同樣結(jié)果。第二種可能的存在,不排除以下兩個因素:一是局部學(xué)生可能已經(jīng)事先預(yù)習(xí)教材或通過其他途徑(如課外興趣班)知道了加法結(jié)合律;二是局部學(xué)生在確實不知道加法結(jié)合律的前提下,由于對75+25=100的敏感,直覺反響是先算75+25=100,再算100+37=137比擬簡便。對于這種敏感與直覺,數(shù)學(xué)教學(xué)中要花大力氣去培養(yǎng),這取決于教師是否有這方面的教學(xué)意識。我們之所以提出這樣的問題,是希望教師能夠注意培養(yǎng)學(xué)生對問題的敏感與直覺。局部學(xué)生已經(jīng)知道加法結(jié)合律,但教師千萬不能以個別學(xué)生替代全體,輕易地加以認(rèn)同,因為這些學(xué)生可能只知道結(jié)論,并不知道結(jié)論產(chǎn)生的過程以及隱藏在結(jié)論背后的思想方法,要引導(dǎo)他們?nèi)チ私饨Y(jié)論是如何產(chǎn)生的并獲得一般方法。教師可在引導(dǎo)學(xué)生比擬兩種計算方法哪種簡便的根底上提出本課研究的關(guān)鍵性問題,即“第二種計算方法實際是改變了運(yùn)算順序,得到的結(jié)果與原來一樣。這是不是一種偶然的巧合?是只有在37+75+25這個題目中,還是在所有的三個數(shù)連加運(yùn)算中都能改變運(yùn)算順序〞,引導(dǎo)學(xué)生從一個特殊、偶然的問題出發(fā),去歸納探究內(nèi)在于其中的一般又是必然的規(guī)律口總之,無論用哪一種方式,教師都要注意:一是需要學(xué)生探究的問題要清晰明了;二是要激發(fā)學(xué)生研究的欲望,第二環(huán)節(jié):發(fā)現(xiàn)和猜測。這是探究獲得結(jié)論的前提。這里尤其要注意防止讓學(xué)生憑空瞎猜,這種情況在教學(xué)中不是不存在。一般來說,可通過以下三種方式提供學(xué)生合理猜測的依據(jù):根據(jù)直覺猜測,根據(jù)歸納推理猜測,根據(jù)類比推理猜測。例如加法結(jié)合律教學(xué),在發(fā)現(xiàn)37+75+25改變運(yùn)算順序后計算比擬簡便之后,要研究其他題目是否也可以這樣改變運(yùn)算順序。這時,教師可再出示28+137+63和68+54+46,讓學(xué)生觀察三個題目之間的聯(lián)系,通過歸納推理作出猜測。第三環(huán)節(jié):驗證猜測。這是對猜測正確與否進(jìn)行事實舉證。小學(xué)一般以不完全歸納的方式通過舉例來驗證猜測。首先,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生研究一般情況,尤其要注意翻開學(xué)生的研究思路,因為許多學(xué)生在這里會受前面特殊問題的影響或類比內(nèi)容的局限。如在加法結(jié)合律的舉例驗證中(驗證時可利用計算器),學(xué)生往往只例舉與前面特殊問題同樣的事例進(jìn)行研究,而不注意例舉一般事例,這就使研究質(zhì)量大打折扣。其次,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生研究特殊情況,如0和1等。學(xué)生如果在加法運(yùn)算定律、減法運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)中經(jīng)歷了特殊情況的研究,那么在乘法運(yùn)算定律、除法運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)中就可能自覺、主動地對O的情況加以思考。再次,教師要注意觀察學(xué)生對研究過程的記錄情況和驗證格式。因為有些學(xué)生因不知道怎樣驗證而機(jī)械模仿,有些學(xué)生為圖方便,就例舉一些很容易計算的例子。為了使學(xué)生知道怎樣驗證,要標(biāo)準(zhǔn)研究記錄格式。第四環(huán)節(jié):歸納概括結(jié)論。這是一個從特殊問題出發(fā),歸納和抽象出普遍存在的一般規(guī)律的概括提升過程。教師不要期望學(xué)生說得和教材中的結(jié)論一模一樣,而是要鼓勵學(xué)生用自己的語言表述自己研究獲得的結(jié)論。一方面注意提供學(xué)生表述和實踐的時機(jī),另一方面要利用學(xué)生的錯誤資源,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會嚴(yán)密地表述。同時,還要注意提供時機(jī)讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)化的過程。一般把加法運(yùn)算規(guī)律教學(xué)作為教學(xué)結(jié)構(gòu)階段。在教學(xué)結(jié)構(gòu)階段,主要目標(biāo)是既引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜測,又著力于讓學(xué)生了解探究規(guī)律從發(fā)現(xiàn)猜測、驗證猜測到形成結(jié)論所要經(jīng)歷的一般過程,從而形成學(xué)習(xí)這類知識的方法結(jié)構(gòu)。就一節(jié)課而言,歸納究主要由兩個層次構(gòu)成。一是根本研究,指圍繞根本問題和根本結(jié)論的研究,由提出問題、發(fā)現(xiàn)和猜測、驗證或證明、概括結(jié)論四個步驟構(gòu)成。二是拓展研究,指圍繞第一層次獲得的根本結(jié)論作縱向延伸性或橫向擴(kuò)展性研究口例如小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加法結(jié)合律的教學(xué),可以先研究自然數(shù)范圍內(nèi)三個加數(shù)之間的加法