4.2.1 等差數列的概念（八大題型）（原卷版）

4．2．1等差數列的概念【題型歸納目錄】題型一：等差數列的判斷題型二：等差數列的通項公式及其應用題型三：等差數列的證明題型四：等差中項及應用題型五：等差數列的實際應用題型六：的應用題型七：等差數列性質的應用題型八：等差數列中對稱設項法的應用【知識點梳理】知識點一、等差數列的定義文字語言形式一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示．知識點詮釋：⑴公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即公差）；符號語言形式對于數列，若（，，為常數）或（，為常數），則此數列是等差數列，其中常數叫做等差數列的公差．知識點詮釋：定義中要求“同一個常數”，必須與無關．等差中項如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項，即．知識點詮釋：①兩個數的等差中項就是兩個數的算術平均數．任意兩實數，的等差中項存在且唯一．②三個數，，成等差數列的充要條件是．知識點二、等差數列的通項公式等差數列的通項公式首相為，公差為的等差數列的通項公式為：，推導過程：（1）歸納法：根據等差數列定義可得：，所以，，，……當n=1時，上式也成立所以歸納得出等差數列的通項公式為：（）．（2）疊加法：根據等差數列定義，有：，，，…把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，所以．（3）迭代法：所以．知識點詮釋：①通項公式由首項和公差完全確定，一旦一個等差數列的首項和公差確定，該等差數列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等差數列通項公式的推廣已知等差數列中，第項為，公差為，則．證明：因為，所以所以由上可知，等差數列的通項公式可以用數列中的任一項與公差來表示，公式．可以看成是時的特殊情況．知識點三、等差數列的性質等差數列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當時．②下標成公差為的等差數列的項，，，…組成的新數列仍為等差數列，公差為．③若數列也為等差數列，則，，（k，b為非零常數）也是等差數列．④仍是等差數列．⑤數列（為非零常數）也是等差數列．【方法技巧與總結】等差數列中對稱設項法的應用1、某兩個數是等差數列中的連續(xù)兩個數且知其和，可設這兩個數為：，，公差為；2、三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：，，，公差為；3、四個數成等差數列且知其和，常設成，，，，公差為．【典型例題】題型一：等差數列的判斷例1．（2023·高二課時練習）已知數列是等差數列，下面的數列中必為等差數列的個數是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·湖北孝感·高二校聯考期末）設是數列的前項積，則“”是“是等差數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2023·重慶·高二統考學業(yè)考試）下列數列中等差數列的是（

）A． B． C．變式1．（2023·廣東惠州·高二統考期末）在數列中，若（為常數），則稱為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷：①若是等方差數列，則是等差數列；②不是等方差數列；③若是等方差數列，則（為常數）也是等方差數列；④若既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列.其中正確命題序號為（

）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④變式2．（2023·高二課時練習）給出下列四個命題：①公比的等比數列是嚴格遞增數列；②數列可以看作是一個定義在正整數集上的函數；③在平面直角坐標系中，表示數列的圖象是一些離散的點；④數列是等差數列.其中正確命題的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式3．（2023·陜西咸陽·高二統考期中）若數列為等差數列，則下列說法中錯誤的是（

）A．數列，，，…，…為等差數列B．數列，，，…，，…為等差數列C．數列為等差數列D．數列為等差數列【方法技巧與總結】對于數列，若（，，為常數）或（，為常數），則此數列是等差數列，其中常數叫做等差數列的公差．題型二：等差數列的通項公式及其應用例4．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學校聯考期中）已知等差數列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．例5．（2023·全國·高二隨堂練習）已知數列前n項和為．(1)試寫出數列的前5項；(2)數列是等差數列嗎？(3)你能寫出數列的通項公式嗎？例6．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）求等差數列8，5，2，…的第20項；（2）是否為等差數列，，，…的項？如果是，是該數列的第幾項？如果不是，說明理由．變式4．（2023·高二課時練習）已知等差數列8，5，2，…．(1)求該數列的第20項．(2)試問是不是該等差數列的項？如果是，指明是第幾項；如果不是，試說明理由．(3)該數列共有多少項位于區(qū)間內？變式5．（2023·全國·高二專題練習）已知數列的前項和為，且，.求數列的通項公式.變式6．（2023·高二課時練習）等差數列中，(1)已知，，求首項與公差；(2)已知，，求通項．變式7．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數列10，7，4，…．(1)求這個數列的第10項；(2)是不是這個數列中的項？呢？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由．變式8．（2023·高二課時練習）等差數列中，，公差為整數，若，．(1)求公差的值；(2)求通項．變式9．（2023·河北邢臺·高二校聯考階段練習）在等差數列中，若，則公差（

）A．2 B．4 C．3 D．5變式10．（2023·福建龍巖·高二?？茧A段練習）已知等差數列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】等差數列通項公式的求法與應用技巧（1）等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差即可．（2）等差數列的通項公式中共含有四個參數，即，，，，如果知道了其中的任意三個數，那么就可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數．題型三：等差數列的證明例7．（2023·全國·高二課堂例題）已知數列中，在時恒成立，求證：是等差數列．例8．（2023·全國·高二專題練習）在數列中4，，．求證：數列{}是等差數列；例9．（2023·高二課時練習）已知，若，且（為正整數）.(1)寫出數列的前5項；(2)證明是等差數列，并求.變式11．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知數列滿足，且，．(1)設，證明：數列為等差數列；(2)求數列的通項公式．變式12．（2023·高二課時練習）數列滿足，，設.(1)數列是等差數列嗎？試證明；(2)求數列的通項公式．變式13．（2023·江蘇揚州·高二?？茧A段練習）已知數列滿足，且.(1)求；(2)證明：數列是等差數列.變式14．（2023·海南·高三海南中學校考階段練習）已知數列滿足：，且．(1)求證：是等差數列，并求的通項公式；(2)是否存在正整數m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．變式15．（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習）已知數列{}滿足．(1)求證：數列是等差數列；(2)求數列{}的通項公式．【方法技巧與總結】證明等差數列的方法（1）定義法或數列是等差數列．（2）等差中項法數列為等差數列．（3）通項公式法數列{an}的通項公式形如（，為常數）數列為等差數列．題型四：等差中項及應用例10．（2023·陜西渭南·高二統考期末）在等差數列中，已知，則．例11．（2023·高二課時練習）與的等差中項是．例12．（2023·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎炔顢盗袧M足，則.變式16．（2023·山西大同·高二山西省渾源中學?？计谀┯懈F等差數列的各項均為正數，若，則的最小值是.變式17．（2023·西藏日喀則·高二統考期末）在等差數列中，若，則.變式18．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學?？计谥校┮阎獢盗袧M足，且，，則．【方法技巧與總結】若a，A，b成等差數列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項．題型五：等差數列的實際應用例13．（2023·陜西漢中·高二校聯考期中）《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺例14．（2023·四川綿陽·統考三模）在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知雨水的晷長為尺，立冬的晷長為尺，則冬至所對的晷長為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例15．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是重慶一中建校90周年，則重慶一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年變式19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學校?？既＃┝暯娇倳浱岢觯亨l(xiāng)村振興，人才是關鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構成一個等差數列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元變式20．（2023·江蘇蘇州·高二統考期末）單分數（分子為1，分母為正整數的分數）的廣泛使用成為埃及數學重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分數都表示為一些單分數的和．例如，，……，現已知可以表示成4個單分數的和，記，其中，，是以101為首項的等差數列，則的值為（

）A．505 B．404 C．303 D．202變式21．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）“孫子定理”是中國古代求解整除問題的方法，是數論中一個重要定理，又稱“中國剩余定理”．現有如下一個整除問題：將1至2021這2021個數中，能被3除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則此數列共有（

）A．133項 B．134項 C．135項 D．136項【方法技巧與總結】（1）解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列．合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系，抽象出數列的模型，并能用有關知識解決相應的問題，是數學建模的核心素養(yǎng)的體現．題型六：的應用例16．（2023·全國·高二單元測試）（1）在等差數列中，已知，，求首項與公差d；（2）已知數列為等差數列，，，求．例17．（2023·全國·高三專題練習）在等差數列中，已知求及．例18．（2023·全國·高二課時練習）已知數列為等差數列，且公差為．（1）若，，求的值；（2）若，，求公差．變式22．（2023·全國·高二課時練習）在等差數列中：（1）已知，求首項與公差d；（2）已知，求．【方法技巧與總結】靈活利用等差數列的性質，可以減少運算．令，即變?yōu)?，可以減少記憶負擔．題型七：等差數列性質的應用例19．（2023·安徽馬鞍山·高二統考期中）等差數列中，若，則的值為（

）A．36 B．24 C．18 D．9例20．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┮阎堑炔顢盗?，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例21．（2023·甘肅嘉峪關·高二統考期末）若方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則（

）A．1 B．C． D．變式23．（2023·北京·高三?？茧A段練習）已知等差數列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式24．（2023·廣東廣州·統考二模）首項為﹣21的等差數列從第8項起開始為正數，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d變式25．（2023·上海虹口·高二校考期末）已知函數是定義在上的嚴格增函數且為奇函數，數列是等差數列，，則的值（

）A．恒為正數 B．恒為負數 C．恒為 D．可正可負變式26．（2023·遼寧·高三校考階段練習）已知數列為等差數列，且，則（

）A． B． C． D．變式27．（2023·高二課時練習）設為正項等差數列的公差，若，，則下列結論錯誤的是（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結】等差數列運算的兩種常用思路（1）基本量法：根據已知條件，列出關于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質法：觀察等差數列中項的序號，若，且，則．題型八：等差數列中對稱設項法的應用例22．（2023·全國·高二單元測試）（1）三個數成等差數列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數．（2）四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為，首末兩項的積為，求這四個數．例23．（2023·全國·高二專題練習）已知四個數成等差數列，中間兩項之和為2，首末兩項之積為，求這四個數．例24．（2023·寧夏·平羅中學高二階段練習）四個數成遞增等差數列，四個數之和等于，中間兩個數之積為，求這四個數．變式28．（2023·全國·高二課時練習）（1）已知四個數成等差數列且是遞增數列，這四個數的平方和為94，首尾兩數之積比中間兩數之積少18，求此等差數列；（2）已知等差數列是遞增數列，且其前三項之和為21，前三項之積為231，求數列的通項公式．【方法技巧與總結】等差數列中對稱設項法的應用1、某兩個數是等差數列中的連續(xù)兩個數且知其和，可設這兩個數為：，，公差為；2、三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：，，，公差為；3、四個數成等差數列且知其和，常設成，，，，公差為．【過關測試】一、單選題1．（2023·河北邢臺·高二校聯考階段練習）在等差數列中，若，則（

）A．12 B．18 C．6 D．92．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？计谥校┰诘炔顢盗兄校?，，則（

）A．39 B．76 C．78 D．1173．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？茧A段練習）已知等差數列中，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）已知數列滿足，則（

）A．9 B． C．11 D．5．（2023·甘肅嘉峪關·高二統考期末）若方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則（

）A．1 B．C． D．6．（2023·河北保定·高三河北易縣中學校考階段練習）現有一張正方形剪紙，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，若經過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數總和為（

）A．33 B．34 C．36 D．377．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學?？计谥校┰跀盗兄?，，，則（

）A． B． C． D．8．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知數列的通項公式分別為，將各項并在一起，相等的項即為一項，從小到大排列成一個新的數列，則（

）A．14155 B．6073 C．4047 D．4045二、多選題9．（2023·高二課時練習）已知等差數列的公差，則下列四個命題中真命題為（

）A．數列是遞增數列 B．數列是遞增數列C．數列是遞增數列 D．數列是遞增數列10．（2023·湖南岳陽·高二統考期末）已知各項均為正數的等差數列