河北省廊坊市大廠縣高級實驗中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

河北省廊坊市大廠縣高級實驗中學2023年高三數(shù)學理

下學期期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共1（）小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.設/是。一石）”的展開式中x項的系數(shù)（"=2,3,4,…），若'6+"."，則可

的最大值是（）

9-2舊7-2布32

A.25B.C.50D.33

參考答案：

【答案】D

【解析】

試U分析：由已知4=

觴、JA“T-_____5____-]

"」如+7區(qū).,（R+TKIJ-（R+7XB+2）-7J5+9

n

由于＞=再+匕在（QJH）是漏星檄，在（舊，田）是增由松，目”=2,3.4,…，

n

所以，”=4耐，k=4+==與，-取得最大值^^=2,故選。

42M+7X.1竺+933

2

考點：二項式定理，謝?的單喟住.

2.設“X）的定義域為。，若/（X）滿足下面兩個條件則稱“幻為閉函數(shù)：①，（X）是/）

上單調函數(shù)；②存在?6】JQ,使八X）在團用]上值域為日常1.現(xiàn)已知

/（K）=J2XII人為閉函數(shù)，則*的取值范圍是（）

參考答案:

A

略

y/2~iZ

3.化簡：”耳結果為

A.1B.TC.-3

D.皆

參考答案：

A

略

4..正三棱柱的底面邊長為2,側棱長為也,￡）為4G中點，則直線A4

與面總N所成角的正弦值為（）

店y/3y/6

A.~B.~Tc.T

出

D.~2

參考答案：

B

5.（2016?泉州校級模擬）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中

構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個

圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，圖中四

邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當其主視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能

是（）

A.B.C.D.

參考答案：

B

【考點】簡單空間圖形的三視圖.

【專題】應用題；數(shù)形結合；定義法；空間位置關系與距離.

【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘

（方蓋）.根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案.

【解答】解：?.,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的

方形傘（方蓋）.

...其正視圖和側視圖是一個圓，

V俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上

.?.俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，

故選：B

【點評】本題考查了幾何體的三視圖，屬于基礎題.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

A.2B.4C.6D.12

參考答案:

c

【考點】程序框圖.

【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦不滿足條

件就退出循環(huán)，從而到結論.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得

k=0,s=0

滿足條件k<3,執(zhí)行循環(huán)體，s=0,k=l

滿足條件kV3,執(zhí)行循環(huán)體，s=2,k=2

滿足條件k<3,執(zhí)行循環(huán)體，s=6,k=3

不滿足條件k<3,退出循環(huán)，輸出s的值為6.

故選：C.

7設全集U=R,A={x全—>vi},B={x|y=ln(1-x)},則圖中陰影部分表示的集合為

)

A.{x|x^l}B.{x|xWl}C.{x|O<xWl}D.{x|lWx<2}

參考答案：

D

【考點】Venn圖表達集合的關系及運算.

【專題】計算題；集合.

【分析】由題意，2一"?<1,i-x>o,從而解出集合A、B,再解圖中陰影部分表示的集

-口.

【解答】解：

/.x(x-2)<0,

.,.0<x<2；

.,.A={X|2、'A2><1}=(o,2)；

又,；B={x|y=ln(l-x)}=(-8,1),

???圖中陰影部分表示的集合為［1,2)；

故選D.

【點評】本題考查了學生的識圖能力及集合的化簡與運算，屬于基礎題.

8.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當xG[O,1]時，f(x)=x,

則函數(shù)y=f(x)-logslxl的零點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

參考答案：

C

【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質；52：函數(shù)零點的判定定理；54：根的存在性及根的個數(shù)

判斷.

【分析】在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log：,x|的圖象，這兩個函

數(shù)圖象的交點個數(shù)即為所求.

【解答】解：?.?偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),故函數(shù)的周期為2.

當xd[0,1]時，f(x)=x,故當xG[-l,0]時，f(x)=-x.

函數(shù)y=f(x)-log3|x的零點的個數(shù)等于函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log31x〕的圖象的

交點個數(shù).

在同一個坐標系中畫出函數(shù)y=f(X)的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象，如圖所示：

9.

焦點在了軸上的橢圓用離心率為2,則制的值為

22

(A)2(B)2(C)4(D)4

參考答案:

答案：D

/(X)=2x3--X34-W

10.已知函數(shù)2（m為常數(shù)）圖象上A處的切線與X-》+3=°平

行，則點A的橫坐標是（）

——1_1—1_￡

A.B1C.3或2D.芋或］

參考答案:

D

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若'2x’的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15,則展開式中所有項的系數(shù)之和

為—,

參考答案：

1

64

【考點】二項式系數(shù)的性質.

【分析】求出展開式的通項，令廠2求出展開式第3項的二項式系數(shù)，列出方程求出n；

令二項式中的x=l求出展開式的所有項的系數(shù)和.

1r

TCrYn-2r

【解答】解：展開式的通項為r+1-2LnX

當r=2時是展開式中第3項的二項式系數(shù)為015

解得n=6

令二項式中的x=l得

口「_1

展開式中所有項的系數(shù)之和為2-64.

1

故答案為：64.

【點評】本題考查了二項式這部分的兩個重要的題型：求展開式的特定項、求展開式的系

數(shù)和問題.

12.將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個

筆筒中至少放兩支筆，有_L種不同的放法.(用數(shù)

字作答)

參考答案：

112

略

13.下列說法正確的是.(只填序號)

①函數(shù)了=/(X)的圖象與直線1的交點個數(shù)為o或1；

②“a+cM+d”是“。"且0小的充分而不必要條件；

③命題“存在xeR,使得/+2x+5=0”的否定是“對任意xeR,都有

x3+2X+5HO”.

參考答案：

(1)(3)

14.已知函數(shù)/(x)=2"且/(x)=g(x)+/r(x),其中g(x)為奇函數(shù)，為(x)為偶函數(shù)，若

不等式2。g(x)+A(2z)20對任意x€UZ恒成立,則實數(shù)4的取值范圍是.

參考答案：

r17)

—.400

「12)

15.如圖，某房地產公司要在一塊矩形寬闊地面上開發(fā)物業(yè)，陰影部分是不能開發(fā)的古建

4

筑群，且要求用在一條直線上的欄柵進行隔離，古建筑群的邊界為曲線y=l-互x?的一部

分，欄柵與矩形區(qū)域邊界交于點M,N.則4MON面積的最小值為.

參考答案：

2

3

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用.

【分析】設MN為曲線y=l-與x?的切線，切點為(m,n),由拋物線的方程，求出導數(shù)，

求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，分別令x=0,y=0可得M,N的坐標,

求得△MNO的面積，再由導數(shù)求得單調區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到所求值.

4

【解答】解：設MN為曲線y=l-百/的切線，切點為(m,n),

448

可得丫口-與父的導數(shù)為丫，3x,

48

即有直線MN的方程為y-(1-3n2)=-(x-m),

43+4m.

令x=0,可得y=l+3m2,再令y=0,可得x=8m(m>0)?

143+4if|29+16m4+24in2

即有△MON面積為S=2(1+3m2)?8m

-21

由S'=48(-m+48m2+24)=0,解得m=2

當m>2時，S'>0,函數(shù)S遞增；當OVmV麗，S'<0,函數(shù)S遞減.

即有m=2處取得最小值，且為3.

2

故答案為：豆

【點評】本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運用函數(shù)的導數(shù)，求得切線方程，再

由單調性求最值，考查運算能力，屬于中檔題.

x+y-3>?

?x-2y+3S?

16.在條件〔左一尸一$4°下，目標函數(shù)z=x+2y的最小值為.

參考答案：

4

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】由題意作出其平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義轉化求解可得.

【解答】解：由題意作出其平面區(qū)域：

_z_zZ

z=x+2y可化為y=-2x+2,2相當于直線y=-2x+2的縱截距，

則當過點（2,1）時，有最小值，

即z的最小值為2+2=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細致認真，屬于中檔題.

17.已知扇形的周長為20?，當扇形的面積最大時，扇形圓心角的弧,度數(shù)是

參考答案：

2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

2x

18.已知函數(shù)f(x)=ln(1+ax)-x+2(a>0)

1

(1)當a=2時，求f(x)的極值；

1

(2)若ae(2,1),f(x)存在兩個極值點x”x2,試比較f(x。+f(x2)與f(0)

的大小

n(n-1)

(3)求證e>n!(n]2,n2N)

參考答案：

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用.

【專題】函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用.

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間，即可得到極值；

2

(2)求出導數(shù)，求得極值點，再求極值之和，構造當0<t<l時，g(t)=21nt+%-2,

運用導數(shù)，判斷單調性，即可得到結論；

211

(3)當0<tVl時，g(t)=21nt+7-2>0恒成立，即lnt+7-1>0恒成立，設t=7i

1

(n》2,nGN),B|JInn+n-l>0,即有n-l>lnn,運用累加法和等差數(shù)列的求和公式

及對數(shù)的運算性質，即可得證.

12x

【解答】解:(1)f(x)=ln(1+2x)-x+2,定義域.x+2戶0解得x>-2,

14x-2

2

f'(x)=玄-(x+2)幺(x+2),即有(-2,2)遞減，(2,+8)遞增,

故f(x)的極小值為f(2)=ln2-1,沒有極大值.

2x1

(2)f(x)=ln(1+ax)-x+2(a>0),x>-a,

4ax2-4(1-a)

a---------5------------------5

f'(x)=l+ax-(x+2)=(1+ax)(x+2)'

1112-a(1-a)

由于2<aVl,貝Ua(1-a)e(0,4),-a<-a

2—a(1-a)

ax2-4(1-a)=0,解得x=±a

4^/1-a

f(x.)+f(xz)=ln[l+2da(—a)]+ln[l-2，a(La)]-2^1-a+2^,

―4^/1-a

--a+2\[a

4-4a2

KPf(X,)+f(x2)=ln[(1-2a)1+2a-1=in[(1-2a)1+2a-1-

2

12

2

設t=2a-l,當工<a<l,0<t<l,則設f(x,)+f(x2)=g(t)=lnt+t-2,

2

當0Vt<l時，g(t)=21nt+,-2,

2_2.2(t-1)

g'(t)=-t-t2=t"2<0

g(t)在ovtvi上遞減，g(t)>g(1)=0,即f(xD+f(x2)>f(0)=0恒成立,

綜上述f(x。+f(x2)>f(0)；

21

(3)證明：當0<t<l時，g(t)=21nt+%-2>0恒成立，即lnt+7-l>0恒成立，

11

設t=n(n22,nGN),BPInrH-n-l>0,即有n-l>lnn,

即有l(wèi)>ln2,2>ln3,3>ln4,…，n-l>lnn,

即有1+2+3+…+(n-1)>ln2+ln3+ln4+-+lnn=ln(2X3X4X…Xn)=ln(n!),

n(n-1)

則2>In(n!),

n(n-1)

-9-

故e>n!(n，2,nGN).

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值，同時考查構造函數(shù)，運用導數(shù)判斷單

調性，運用單調性比較大小，運用已知不等式和累加法證明不等式的方法，屬于中檔題.

19.(本小題滿分12分)已知向量

-k.開rnn

a=k0*(x-?n(x--)),b=(c?(x--),?m(x+-))/(幻=。J_I

I」-I

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期；⑵求函數(shù)/《X)在區(qū)間12'2］上的值域.

參考答案：

解；(1)/(.v)=cos(2x----)+2”3工---,>in(x+--)=sin(lx-----)4分

3JJ6

..函教/(*的an、正周s,r=￥，七分

因為/(.v)=$in(2.v-^)在區(qū)間.芻上單調逐墻,在區(qū)間百百上的調逐漏

612332

所以當X=g時./(.、?)取最大值I.9分

又〃唱=邛＜吟4；?當I一甜/(3取最小值一，

所以函數(shù)/(.丫)在區(qū)間.令上的值域為［-*』1分

XX*X

d_3+(-1)?

20.己知“€此數(shù)列&J滿足，-，數(shù)列"｝滿足

勺=&+%+4++4＞；又知數(shù)列也)中，4=2,且對任意正整數(shù)掰》,

b：=心

(I)求數(shù)列W和數(shù)列上｝的通項公式；

(H)將數(shù)列｛2｝中的第巧項，第%項，第的項，……,第4項，……刪去后，

剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列｛cj,求數(shù)列上」的前2013項和.

參考答案：

_3+(-1)"_3x"

解：?■一~勺=&+4+4++42.............3

分

又由題知：令冽=1,則

3=叩=2」,務=討=厘…々=討=2”...........

5分

若4=2",則￥=泮，4=2",所西=唾恒成立

若女W工當加=1,4'=3：不成立，所以

%=2，..........................6分

(II)由題知將數(shù)列中的第3項、第6項、第9項……刪去后構成的新數(shù)列

｛%｝中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項分別是可=2,%=4公比均是

J.......9分

弓B=?+q+q++%/+g+q+q++C加口)

2x(1-*)4)<(1-y)20乂產-6

1-81-8~.......................................................12

分

略

21.(13分)已知數(shù)列｛&/兩足a『2an-1+2“-1(n>2),且a【=5.

a+入

—)

(1)若存在一個實數(shù)入，使得數(shù)列2n為等差數(shù)列，請求出A的值;

(2)在⑴的條件下,求出數(shù)列｛&｝的前n項和S..

參考答案：

考點：數(shù)列的求和；等差關系的確定.

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義建立條件關系即可求出X的值；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前n項和S”.即可求解.

解答：解：(1)假設存在實數(shù)X符合題意.

an+X_an-l+X

則2n2n-1必為與n無關的常數(shù)，

a+X&n-l+入an-2an-l-X2n-l-,1+X

--n-----------=------------------------=1_----

nn

...2n2n-l2=2“2,

a?+Xa?-1+iJ.,

一~山j,得入=-1

要使2n2n是與n無關的常數(shù)，則2n

an+入

(——)

故存在實數(shù)入=-1.使得數(shù)列2n為等差數(shù)列.

an-&n-1-1

-----------j-=1

(2)由⑴可得2n2n

a—1A

.d=l,且首項為!-=~|=2

??乙乙,

a-1

—_=2-(n-1)=n-l

2n,

n

an=(n+1)2+1

令bn=(n+1)2n且前n項和為Tn,

23

.Tn=2X2+3X2+4X2+-+(n+1)2n…①

23n

2Tn=2X2+3X2++-+nX2(n+1)2”一…②

23nn1=nn-1

?~Tn=4+2+2+-+2-(n+1)2-2+(2+—+2)+(n-l)2

=2n"-(n+2)2"”=-n?2"I

Tr>n-1

???152.

?S=nw2n=n

??ii

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式，以及等差數(shù)列數(shù)，要求熟練掌握相應的通項公式和

前n項和公式，以及利用錯位相減法求熟練的和，考查學生的計算能力.

22.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(aGR)

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［e,+8)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當a=l且kWz時，不等式k(x-1)<f(x)在x6(1,+°°)上恒成立，求k的

最大值.

參考答案：

【考點】：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【專題】：綜合題；導數(shù)的概念及應用.