浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題含解析

浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生2．如圖，在正方體中，，分別是，中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．3．用長(zhǎng)為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱軸截面面積為（）A．8 B． C． D．4．將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，則在區(qū)間上的最小值為（）A． B． C． D．5．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．9 B．18 C．27 D．366．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知為直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C．-2 D．9．在△ABC中,,則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積是__________.12．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為________13．在銳角△中，，，，則________14．函數(shù)的反函數(shù)為__________.15．若函數(shù)是奇函數(shù)，其中，則__________．16．已知，，若，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線，直線l與、、都垂直，垂足分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C（高速線右側(cè)邊緣），直線與、與的距離分別為1米、2千米，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在直線和上，滿足，記.（1）若，求AM的長(zhǎng)度；（2）記的面積為，求的表達(dá)式，并問(wèn)為何值時(shí)，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范圍.18．已知點(diǎn)，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求的值．19．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.21．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄，（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算出，附：線性回歸方程，其中為樣本平均值.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：A中兩事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中兩事件既是互斥事件又是對(duì)立事件；D中兩事件是互斥但不對(duì)立事件考點(diǎn)：互斥事件與對(duì)立事件2、D【解題分析】

如圖，平移直線到，則直線與直線所成角，由于點(diǎn)都是中點(diǎn)，所以，則，而，所以，即，應(yīng)選答案D．3、B【解題分析】

分別討論當(dāng)圓柱的高為4時(shí)，當(dāng)圓柱的高為2時(shí)，求出圓柱軸截面面積即可得解.【題目詳解】解：當(dāng)圓柱的高為4時(shí)，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，當(dāng)圓柱的高為2時(shí)，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，則，則圓柱軸截面面積為，綜上所述，圓柱的軸截面面積為，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱軸截面面積的求法，屬基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

先按照?qǐng)D像變換的知識(shí)求得的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)求最值的方法，求得在上的最小值.【題目詳解】圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，由得，故在區(qū)間上的最小值為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個(gè)數(shù)，算出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個(gè)數(shù)，得到結(jié)果．設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應(yīng)抽取×90=18人．故選B．考點(diǎn)：分層抽樣點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)分層抽樣問(wèn)題，容易出錯(cuò)的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)，但一般不難，故也是一個(gè)重要的得分點(diǎn)，不容錯(cuò)過(guò)6、D【解題分析】

根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosθ的值，據(jù)此分析可得答案．【題目詳解】設(shè)與的夾角為θ，由、的坐標(biāo)可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

利用直線與平面平行、垂直的判斷即可?！绢}目詳解】對(duì)于A.若，，則或，所以A錯(cuò)對(duì)于B.若，，則，應(yīng)該為，所以B錯(cuò)對(duì)于D.若，，則或，所以D錯(cuò)。所以選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與平面垂直和直線與平面平行的性質(zhì)。屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】按三角函數(shù)的定義，有.9、C【解題分析】

直接利用正弦定理余弦定理化簡(jiǎn)得到，即得解.【題目詳解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案為：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理水平.10、A【解題分析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對(duì)大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【題目詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因?yàn)椋傻肂為銳角，所以．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

計(jì)算，等腰三角形計(jì)算面積，作底邊上的高，計(jì)算得到答案.【題目詳解】，過(guò)C作于D，則故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形面積計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.12、.【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，然后利用反三角函數(shù)的定義得出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵就是利用三角函數(shù)的定義求出的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.【題目詳解】由正弦定理，可得，所以，又由△為銳角三角形，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用，其中解答中熟記正弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由得，即，把與互換即可得出【題目詳解】由得所以把與互換，可得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡(jiǎn)單.15、【解題分析】

定義域上的奇函數(shù)，則【題目詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，所以,又，則所以填【題目點(diǎn)撥】定義域上的奇函數(shù)，我們可以直接搭建方程，若定義域中則不能直接代指.16、【解題分析】

先算出的坐標(biāo)，然后利用即可求出【題目詳解】因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以即，解得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是向量在坐標(biāo)形式下的相關(guān)計(jì)算，較簡(jiǎn)單.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），當(dāng)時(shí)，；（3）.【解題分析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根據(jù)的范圍得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等變換和正弦函數(shù)的值域得出答案.【題目詳解】（1）由題意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，時(shí)，取得最大值1，；（3），由題意可知，令，.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查對(duì)基本知識(shí)的掌握，考查分析能力，屬于中檔題.18、（1）或．（2）【解題分析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【題目詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),方程為．由圓心到直線的距離知,此時(shí),直線與圓相切．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓相切與相交時(shí)的求解.注意直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【題目詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）先利用時(shí)，由求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列，得出該數(shù)列的公比，可求出；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式得出，并將裂項(xiàng)為，利用裂項(xiàng)法求出，于此可證明出所證不等式成立.【題目詳解】（1）由題可得.當(dāng)時(shí)，，即.由題設(shè)，，兩式相減得.所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.（2），則，所以因?yàn)?，所以，即證.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用求通項(xiàng)，以及裂項(xiàng)法求和，利用求通項(xiàng)的原則是，另外在利用裂項(xiàng)