2024屆天津市北辰區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆天津市北辰區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知滿(mǎn)足，則（）A．1 B．3 C．5 D．72．在等差數(shù)列中,已知=2,=16,則為()A．8 B．128 C．28 D．143．設(shè)點(diǎn)，，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．4．已知?jiǎng)t的最小值是()A． B．4 C． D．55．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對(duì)弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積為（）A． B． C． D．6．中國(guó)數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加的時(shí)候，它的周長(zhǎng)的極限是圓的周長(zhǎng)，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．7．計(jì)算:A． B． C． D．8．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．9．方程的解所在區(qū)間是（）A． B．C． D．10．三角形的一個(gè)角為60°，夾這個(gè)角的兩邊之比為，則這個(gè)三角形的最大角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______.12．若關(guān)于的不等式的解集為，則__________13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的前1025項(xiàng)的和___________.14．不等式的解集為_(kāi)________________；15．設(shè)滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為_(kāi)____.16．已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．做一個(gè)體積為，高為2m的長(zhǎng)方體容器，問(wèn)底面的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，所用的材料表面積最少？并求出其最小值.18．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，，，求證：三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和同向.19．已知四棱錐中，平面，，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面，并加以證明．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足（，），且，.（1）求和的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

已知兩個(gè)邊和一個(gè)角，由余弦定理，可得。【題目詳解】由題得，，，代入，化簡(jiǎn)得，解得（舍）或.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查用余弦定理求三角形的邊，是基礎(chǔ)題。2、D【解題分析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】依題意，解得，故.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】直線恒過(guò)點(diǎn)且斜率為由圖可知，且故選點(diǎn)睛：本題主要考查了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線恒過(guò)點(diǎn)，直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線與線段無(wú)公共點(diǎn)，作出圖象，由圖求解即可．4、C【解題分析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．5、C【解題分析】

首先根據(jù)圖形計(jì)算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)?，，為等邊三角?所以，矢，弦..故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形面積公式，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)題意的理解，屬于中檔題.6、C【解題分析】

設(shè)出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計(jì)算公式得解.【題目詳解】設(shè)圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

根據(jù)正弦余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)求解.【題目詳解】，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變化，關(guān)鍵在于尋找題目與公式的聯(lián)系.8、C【解題分析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【題目詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

令，則，所以零點(diǎn)在區(qū)間.方程的解所在區(qū)間是，故選D.10、B【解題分析】

由余弦定理，可得第三邊的長(zhǎng)度，再由大角對(duì)大邊可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【題目詳解】解：三角形的一個(gè)角為，夾這個(gè)角的兩邊之比為，設(shè)夾這個(gè)角的兩邊分別為和，則由余弦定理，可得第三邊的長(zhǎng)度為，三角形的最大邊為，對(duì)應(yīng)的角最大，記為，則由正弦定理可得，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)得出弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可得到圓心角.【題目詳解】因?yàn)閳A的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，所以圓弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為1.故答案為：1【題目點(diǎn)撥】此題考查弧長(zhǎng)公式，根據(jù)弧長(zhǎng)求圓心角的大小，關(guān)鍵在于熟記圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng).12、1【解題分析】

根據(jù)二次不等式和二次方程的關(guān)系，得到是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到的值.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，根與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.13、2039【解題分析】

根據(jù)所給分段函數(shù),依次列舉出當(dāng)時(shí)的值,即可求得的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共3個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共7個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共15個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共31個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共63個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共127個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共255個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共511個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.所以由以上可知故答案為:2039【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,由所給式子列舉出各個(gè)項(xiàng),即可求和,屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)后再解不等式．【題目詳解】時(shí)，原不等式可化為，，∴；時(shí)，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值不等式的常用方法是根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解．15、-6【解題分析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，當(dāng)向下平移時(shí)，減小，因此當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為最小值．16、【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)：基本不等式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、長(zhǎng)和寬均為4m時(shí)，最小值為64【解題分析】

利用體積求得ab=16，只需表示出表面積，結(jié)合高為2m，利用基本不等式求出最值即可.【題目詳解】設(shè)底面的長(zhǎng)和寬分別為，因?yàn)轶w積為32，高為c=2m，所以底面積為16，即ab=16所用材料的面積S=2ab+2bc+2ca=32+4（a+b），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號(hào)，答：當(dāng)?shù)酌娴拈L(zhǎng)和寬均為4m時(shí)，所用的材料表面積最少，其最小值為64【題目點(diǎn)撥】與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量共線基本定理即可證明三點(diǎn)共線；（2）根據(jù)平面向量共線基本定理，可設(shè)，由向量相等條件可得關(guān)于和的方程組，解方程組并由的條件確定實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，所?所以共線，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.（2）因?yàn)榕c同向，所以存在實(shí)數(shù)，使，即.所以.因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，所以解得或又因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，三點(diǎn)共線的向量證明方法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見(jiàn)解析（2）存在線段上的中點(diǎn)，使平面，詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用條件判斷CM與PA、AB垂直，由直線與平面垂直的判定定理可證.（2）取PB的中點(diǎn)Q，PA的中點(diǎn)F，判斷四邊形CQFD為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理可證；或取PB中點(diǎn)Q，證明平面CQM與平面DAP平行，再利用兩平面平行的性質(zhì)可證.【題目詳解】解：（1）∵，∴是等邊三角形，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面；（2）取線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，連結(jié)，∴，∵是線段的中點(diǎn)，，∴，∴是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，即存在線段上的中點(diǎn)，使平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間直線與平面的平行、垂直判定與性質(zhì)，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用與的關(guān)系可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，又，故.當(dāng)時(shí)，，②①②得，，整理得.因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.所以，即.（2）由（1）及得，，所以.【題目點(diǎn)撥】本小題考查與的關(guān)系、等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基