現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

第4章計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

ComputerAidedDesign(CAD)

主講：姜華

E-mail：751366751@4.3工程數(shù)據(jù)的處理方法三、列表函數(shù)表的插值計(jì)算設(shè)有一用數(shù)據(jù)表格給出的列表函數(shù)，如下表所示：由于列表函數(shù)只能給出結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，當(dāng)自變量為結(jié)點(diǎn)的中間值時(shí)，就要用插值法求取其函數(shù)值。列表函數(shù)xx1x2x3…xi…xnyy1y2y3…yi…yn

插值法的基本思想：是在插值點(diǎn)附近選取幾個(gè)合適的結(jié)點(diǎn)，用這些選取的點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)g(x)，在此小段上用g(x)代替原來(lái)函數(shù)f(x)，這樣插值點(diǎn)的函數(shù)值就用g(x)的值來(lái)代替。插值的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如何構(gòu)造一個(gè)既簡(jiǎn)單又具有足夠精度的函數(shù)g(x)。1.一維列表函數(shù)表的插值

（1）線性插值

線性插值就是構(gòu)造一個(gè)線性函數(shù)g(x)來(lái)代替原先的函數(shù)f(x)，如圖4-8所示。

插值步驟如下：圖4-8線性插值①?gòu)谋砀裰羞x取兩個(gè)相鄰的自變量xi

、xi+1

，滿(mǎn)足下列條件：

x

i

<x<

x

i+1；②過(guò)（x

i,y

i

）及（xi+1,yi+1）兩點(diǎn)連直線g(x)代替原來(lái)的函數(shù)f(x)，則x的函數(shù)值y為（4-6）(2)拋物線插值

在f(x)上取三點(diǎn)，過(guò)此三點(diǎn)作拋物線g(x)，以用來(lái)替代

f(x)，可以獲得比線性插值精度高的結(jié)果，如圖4-9所示。過(guò)三點(diǎn)（xi－1,yi－1

）及（xi,yi）、（

xi+1,yi+1）作拋物線方程，則

用線性函數(shù)g(x)來(lái)代替f(x)時(shí)，僅利用了兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的信息，因此誤差較大，為了減少誤差可利用三個(gè)結(jié)點(diǎn)上的信息，采用拋物線插值。圖4-9拋物線插值算法示意圖

（4-7）

在拋物線插值中，如何選取合適的三個(gè)點(diǎn)是關(guān)鍵所在，選取方法歸納如下：

設(shè)已知插值點(diǎn)x

，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y：（1）從已知函數(shù)表格中選取二點(diǎn)，它們滿(mǎn)足下列條件

（2）比較的值，取其值小者作為取點(diǎn)延伸方向，從表格中選取第三點(diǎn)作為拋物線方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，即三個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即三個(gè)點(diǎn)；（3）若三個(gè)點(diǎn)。（4）若三個(gè)點(diǎn)。四、數(shù)據(jù)的公式擬合方法

在實(shí)際工程問(wèn)題中，時(shí)常需要用一定的數(shù)學(xué)方法將一系列測(cè)試數(shù)據(jù)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合成近似的經(jīng)驗(yàn)公式，這種建立經(jīng)驗(yàn)公式的過(guò)程也稱(chēng)為曲線擬合，或稱(chēng)數(shù)據(jù)公式化。

工程應(yīng)用中，一般采用最小二乘法多項(xiàng)式擬合。所求曲線并不要求嚴(yán)格通過(guò)所有結(jié)點(diǎn)，而是盡可能反映所給數(shù)據(jù)的趨勢(shì)。

曲線擬合，目前一般采用最小二乘法擬合。擬合公式的類(lèi)型通?？梢赃x取線性方程、代數(shù)多項(xiàng)式或一些初等函數(shù)。由編程人員根據(jù)線圖或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)分布形態(tài)來(lái)決定。1.最小二乘法的多項(xiàng)式擬合已知：由線圖或?qū)嶒?yàn)所得m個(gè)點(diǎn)的值：圖4-12最小二乘法多項(xiàng)式擬合用一個(gè)n次多項(xiàng)式

y(x)來(lái)擬合，如圖4-12所示，設(shè)擬合公式為：（4-10）

而且m>>n，則每一結(jié)點(diǎn)處的偏差為：

為獲得最佳擬合曲線，根據(jù)最小二乘法原理，即要求每一結(jié)點(diǎn)的偏差Di的平方和最小，則結(jié)點(diǎn)偏差的平方和為：（4-11）這表明偏差平方和是系數(shù)

的函數(shù)。為使其最小，取對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)等于零：求各偏導(dǎo)數(shù)并經(jīng)整理得到：（4-12）令得即（4-13）亦可寫(xiě)成下面的方程組：（4-13）

上式中待求的系數(shù)共有(n+1)個(gè)，

方程也是(n+1)個(gè)，因此組成線性聯(lián)立方程組，

解此線性聯(lián)立方程，即可求得多項(xiàng)式

y(x)中的各項(xiàng)系數(shù)。

在求得多項(xiàng)式y(tǒng)(x)中的各項(xiàng)系數(shù)后，

n次多項(xiàng)式(4-10)便確定：例：有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表所示，它有7個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)要求用二次多項(xiàng)式擬合。一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

點(diǎn)號(hào)1234567Xi-3-2-10123Yi4230-1-2-5解：設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為：

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及經(jīng)驗(yàn)公式可知：m＝7，n＝2，代入公式，得以下三個(gè)方程：

j＝0時(shí)

j＝1時(shí)

j＝2時(shí)把Xi，Yi

用上表中的值代入，得求解得：最后得到擬合的經(jīng)驗(yàn)公式為工程中設(shè)計(jì)資料中的很多經(jīng)驗(yàn)公式，就是對(duì)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)數(shù)表通過(guò)曲線擬合的方法得來(lái)的。最小二乘法的多項(xiàng)式擬合時(shí)要注意以下問(wèn)題：1）多項(xiàng)式的冪次不能太高，一般小于7，可先用較低的冪次，如誤差較大則再提高。2）一組數(shù)據(jù)或一條線圖有時(shí)不能用一個(gè)多項(xiàng)式表示其全部，此時(shí)應(yīng)分段處理，分段大都發(fā)生在拐點(diǎn)或轉(zhuǎn)折之處。2.最小二乘法的其他函數(shù)的擬合除代數(shù)多項(xiàng)式外，根據(jù)情況還可采用：

(1)冪函數(shù)

(2)指數(shù)函數(shù)

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)

例如，若已知m組數(shù)據(jù)，i＝1，2，…，m，假設(shè)所擬合的指數(shù)函數(shù)曲線形式為：lgy=lga+blgx令：對(duì)上式指數(shù)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得

先將已知數(shù)據(jù)代入式中，求得相應(yīng)的值，再代入式得到在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的一個(gè)線性方程。與多項(xiàng)式曲線擬合相似，采用最小二乘法就可以得到上式中的系數(shù)v和b，再由lga

＝v

求得系數(shù)a。代入上式，得4.5

計(jì)算機(jī)圖形處理與三維造型二維圖形的基本幾何變換類(lèi)型包括：●平移變換●

比例變換●旋轉(zhuǎn)變換●

對(duì)稱(chēng)變換●

錯(cuò)切變換三、二維圖形的幾何變換(1)平移變換將二維圖形從平面的一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置，可用平移變換。平移變換后，圖形只發(fā)生位置改變，形狀大小及姿態(tài)均不變化。設(shè)Tx為x向平移量，Ty為y向平移量，平移變換的變換矩陣為：平移變換結(jié)果可見(jiàn)圖4-16。圖4-16平移變換(2)比例變換

設(shè)Sx為x

向的比例系數(shù)，

Sy為y

向的比例系數(shù)，則比例變換的變換矩陣為：

當(dāng)Sx，Sy<1時(shí)，圖形縮?。?/p>

Sx，Sy>1時(shí)，圖形放大；

Sx，Sy＝1時(shí)，圖形不變化。

圖4-17所示的比例變換中，Sx＝Sy＝2。

圖4-17比例變換(3)旋轉(zhuǎn)變換

點(diǎn)或平面圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度θ之后成為變換后的點(diǎn)或圖形，如圖4-18所示。

旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，θ取正值；順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，θ取負(fù)值。旋轉(zhuǎn)變換后，圖形的形狀及大小不發(fā)生變化，只改變姿態(tài)。圖4-18旋轉(zhuǎn)變換(4)對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換有多種，圖4-19表示了對(duì)稱(chēng)于x、y

軸和坐標(biāo)原點(diǎn)o

的幾種對(duì)稱(chēng)變換。圖4-19

對(duì)稱(chēng)變換(a)相對(duì)于x軸的對(duì)稱(chēng)變換

(b)相對(duì)于y

軸的對(duì)稱(chēng)變換

(c)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的對(duì)稱(chēng)變換

①相于x軸的對(duì)稱(chēng)變換

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸為x軸，則對(duì)稱(chēng)變換的變換矩陣為：②相于y軸的對(duì)稱(chēng)變換設(shè)對(duì)稱(chēng)軸為y軸，則對(duì)稱(chēng)變換的變換矩陣為：③相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o

的對(duì)稱(chēng)變換

相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o

的對(duì)稱(chēng)變換，其變換矩陣為：其特點(diǎn)是：變換前后x

坐標(biāo)值保持不變，而y

坐標(biāo)值符號(hào)相反。其特點(diǎn)是：變換前后y

坐標(biāo)值保持不變，而x坐標(biāo)值符號(hào)相反。

其特點(diǎn)是：變換前后x、y

坐標(biāo)值符號(hào)都相反。

(5)錯(cuò)切變換

錯(cuò)切變換用于描述幾何形體的扭曲和錯(cuò)切變形。常用的錯(cuò)切變換有兩種：①沿

x軸方向的錯(cuò)切變換；②沿y軸方向的錯(cuò)切變換。

圖4-20錯(cuò)切變換

(a)沿x軸方向的錯(cuò)切變換

(b)沿y軸方向的錯(cuò)切變換

(1)沿x向的錯(cuò)切變換

經(jīng)此變換后，y坐標(biāo)不變，使圖形在x向發(fā)生錯(cuò)切變形。設(shè)SHx為切變系數(shù)，變換矩陣為：

(2)沿y

向的錯(cuò)切變換變換后，x坐標(biāo)不變，使圖形在y向發(fā)生錯(cuò)切變形。設(shè)SHy為切變參數(shù)，變換矩陣為：3.組合變換

上述基本變換是以原點(diǎn)為中心的簡(jiǎn)單變換。在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)復(fù)雜的變換往往是施行多個(gè)基本變換的結(jié)果。對(duì)一圖形連續(xù)進(jìn)行多個(gè)基本變換，就形成了組合變換。相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。

幾種典型的組合變換：◆平移組合變換◆比例組合變換◆旋轉(zhuǎn)組合變換◆相對(duì)于任意點(diǎn)的比例變換◆繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換◆對(duì)任意直線的對(duì)稱(chēng)變換（1）平移組合變換連續(xù)兩次平移變換的組合矩陣T為：

（4-16）

上式表明：連續(xù)兩次的平移變換，其平移矢量實(shí)質(zhì)上是兩次平移矢量的和。（2）比例組合變換連續(xù)兩次比例變換的組合矩陣為：

（4-17）上式表明：連續(xù)兩次的比例變換，其結(jié)果是兩次比例因子的乘積。（3）旋轉(zhuǎn)組合變換

（4-18）上式表明：連續(xù)兩次的旋轉(zhuǎn)變換，其結(jié)果是兩次旋轉(zhuǎn)角度的疊加。

連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)變換的組合矩陣為：

（4）相對(duì)于任意點(diǎn)的比例變換

(1)將圖形向坐標(biāo)原點(diǎn)方向平移，平移矢量為，使任意點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合；

(2)對(duì)圖形施行比例變換；

(3)將圖形平移回原始位置，平移矢量為。因此，相對(duì)于任意點(diǎn)的比例變換組合矩陣T為：如圖4-21所示，平面圖形對(duì)任意點(diǎn)作比例變換，該變換需通過(guò)以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：圖4-21相對(duì)于任意點(diǎn)的比例變換（4-19）（5）繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換

如圖4-22所示，平面圖形繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，該變換需通過(guò)以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：

(1)將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn)，使任意點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合；

(2)將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角；

(3)將旋轉(zhuǎn)中心平移回原來(lái)位置。因此，繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換組合矩陣T為：圖4-22繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換（6）對(duì)任意直線的對(duì)稱(chēng)變換

如圖4-23所示，假設(shè)圖中所示任意直線用直線方程表示，該直線在x

軸和y

軸上的截距分別為－C/A和－C/B，直線與

x軸的夾角為，則。圖4-23對(duì)任意直線的對(duì)稱(chēng)變換