2024屆江蘇省徐州市銅山區(qū)高三上學期11月期中抽測數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE2江蘇省徐州市銅山區(qū)2024屆高三上學期11月期中抽測數(shù)學試題一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，所以.故選：A.2.若，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意知，故，故，則復數(shù)對應的點為，在第四象限，故選：D.3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則a的取值可能為，有6種可能；能夠構(gòu)成三角形時，需滿足，若能夠構(gòu)成鈍角三角形，當5所對角為鈍角時，有，此時；當a所對角為鈍角時，需滿足，此時沒有符合該條件的a值，故能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是，故選：D.4.已知向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，故故選：A.5.已知等比數(shù)列的首項為3，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由題意知等比數(shù)列的首項為3，設(shè)公比為q，由，則，即或，當時，，即，即“”不是“”的充分條件；當時，即，則，即，即，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，故，，故選：C.7.已知為偶函數(shù)，當時，.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由為偶函數(shù)可知的圖象關(guān)于軸對稱，又時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，即.故選：D.8.已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)AB的中點為H，拋物線的焦點為，準線為，設(shè)A、B、H在準線上的射影分別為，則，由拋物線的定義可知，，所以，得,即點H的橫坐標為2，設(shè)直線AB：，代入拋物線方程，得，由，得且.設(shè)，則，解得或（舍去）.所以直線AB：，，所以AB的中垂線方程為，令，解得，即，則，又，所以，所以.故選：C.Q二、多選題9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)10天測得該地PM2.5（PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，單位：）的日均值，依次為，則（）A.前4天的極差大于后4天的極差B.前4天的方差小于后4天的方差C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為31或33D.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同【答案】AD【解析】前4天的極差，后4天的極差，A正確;前4天的平均數(shù)，方差，后4天的平均數(shù)，方差,前4天的方差大于后4天的方差，B選項錯誤;數(shù)據(jù)從小大排列這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，C選項錯誤;這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)與眾數(shù)相同，D選項正確.故選:AD.10.已知函數(shù)在處取得極小值，與此極小值點相鄰的的一個零點為，則（）A. B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上的值域為【答案】ABD【解析】對A，由題意，且周期滿足，故，即，，故.因為在處取得極小值，故，即，又，故，則.由誘導公式，故A正確；對B，，為奇函數(shù)，故B正確；對C，則，不為余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，故C錯誤；對D，則，故，則，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（）A.與是異面直線B.存在點，使得，且平面C.與平面所成角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項，以作坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，由于，故與平行，A錯誤；B選項，設(shè)，因為，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因為，故，平面，故存在點，使得，且平面，B正確；C選項，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點到平面的距離為，D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.若是增函數(shù)，則D.若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于5【答案】ABD【解析】對于A：當時，則，，所以，故A正確；對于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，，故B正確；對于C：在上恒成立，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯誤；對于D：因為，即為的一個零點，當時，有且僅有一個根，此時在上單調(diào)遞增，所以和都只有個零點，不符合題意；當時，則無零點，只有一個零點，不符合題意；當時在和上各有一個零點，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個零點、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD.三、填空題13.已知隨機變量，且，則的值為__________.【答案】0.3【解析】由題意知隨機變量，且，則，故，故，故答案為：0.3.14.已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】令，則，設(shè)的通項為，當時，，即展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.15.已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐內(nèi)切球的半徑為R，則，則圓錐的高為，設(shè)圓錐的母線和高之間的夾角為，則,故該圓錐的內(nèi)切球的體積為，故答案為：.16.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在上，且軸，過點作的平分線的垂線，與直線交于點，若點在圓上，則的離心率為__________.【答案】【解析】由題意知，軸，故將代入中，得，則，即，不妨設(shè)P在雙曲線右支上，則，故；設(shè)為的平分線，由題意知，則，即，而，故，由點在圓上，得；又，則，在中，,即，結(jié)合，即得，即，解得或（舍），故（負值舍去），即的離心率為，故答案為：四、解答題17.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求的標準方程；（2）過點的直線與交于兩點，當時，求直線的方程.解：（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標準方程為.（2）易知直線的斜率不為0，設(shè)，即，，，消去y，得，，，，又，所以，解得，所以直線l的方程為或.18.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答下列問題.已知正項數(shù)列的前項和為，且__________，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）解：若選擇①：，則，相減得到：，，故，，解得，，故數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，故；若選項②：，則，，相減得到：，整理得到，，故，故數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，故；（2）證明：，故.19.在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）設(shè)角的平分線交邊于點，且，若，求的面積.解：（1）由題意可得，即,即，而，故；（2）由，可得，角的平分線交邊于點，設(shè)，則，，即，由，得，即，則，則（負值舍去），故.20.設(shè)有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的5個球，其中甲箱有3個藍球和2個黑球，乙箱有4個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和3個白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.（1）若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量表示最后摸出的2個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望.解：（1）從甲箱中摸出2個球顏色相同的概率為，記事件A為最后摸出的2個球顏色不同，事件B為這2個球是從丙箱中摸出的，則，，，所以；（2）X所有可能取值為2，3，4，則，，，故X的分布列如表：X234P故.21.如圖，在三棱錐中，側(cè)面是銳角三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）設(shè)，點在棱（異于端點）上，當三棱錐體積最大時，若二面角大于，求線段長的取值范圍.（1）證明：過點作于點，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因為，且，所以平面，因為平面，所以.（2）解：設(shè)，因為，可得，即，所以，所以，又由，所以，令，可得，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，即時，三棱錐的體積最大，以為原點，所在的直線分別為軸，以過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，可得，則，設(shè)平面與平面的法向量分別為，由，令，可得，所以，又由，令，可得，所以，設(shè)二面角的平面角的大小為，所以，解得，所以的長的取值范圍為.22.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最大值；（2）當時，函數(shù)取得極值，求的值.解：（1）由已知，，則，，曲線在點處的切線方程為，，當時，，當時，，設(shè)線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，則，，，令，則，即在上單調(diào)遞增，令，則，即在上單調(diào)遞減，即，即曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最大值為；（2）由（1），因為當時，函數(shù)取得極值，得，解得或，當時，，設(shè)，則，令，則，明顯在上單調(diào)遞增，，即上單調(diào)遞增，，即在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)上單調(diào)遞增又明顯在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極值，當時，，設(shè)，則，當時，明顯，當時，因為，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極值，故或.現(xiàn)證明，設(shè)，則，令，得，在上單調(diào)遞增，令，得，在上單調(diào)遞減，，即，現(xiàn)證明，設(shè)，則在上恒成立即在上單調(diào)遞增，，即.江蘇省徐州市銅山區(qū)2024屆高三上學期11月期中抽測數(shù)學試題一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，所以.故選：A.2.若，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意知，故，故，則復數(shù)對應的點為，在第四象限，故選：D.3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點數(shù)記為，則a的取值可能為，有6種可能；能夠構(gòu)成三角形時，需滿足，若能夠構(gòu)成鈍角三角形，當5所對角為鈍角時，有，此時；當a所對角為鈍角時，需滿足，此時沒有符合該條件的a值，故能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是，故選：D.4.已知向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，故故選：A.5.已知等比數(shù)列的首項為3，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由題意知等比數(shù)列的首項為3，設(shè)公比為q，由，則，即或，當時，，即，即“”不是“”的充分條件；當時，即，則，即，即，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以，故，，故選：C.7.已知為偶函數(shù)，當時，.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由為偶函數(shù)可知的圖象關(guān)于軸對稱，又時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，即.故選：D.8.已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)AB的中點為H，拋物線的焦點為，準線為，設(shè)A、B、H在準線上的射影分別為，則，由拋物線的定義可知，，所以，得,即點H的橫坐標為2，設(shè)直線AB：，代入拋物線方程，得，由，得且.設(shè)，則，解得或（舍去）.所以直線AB：，，所以AB的中垂線方程為，令，解得，即，則，又，所以，所以.故選：C.Q二、多選題9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)10天測得該地PM2.5（PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標，單位：）的日均值，依次為，則（）A.前4天的極差大于后4天的極差B.前4天的方差小于后4天的方差C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為31或33D.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同【答案】AD【解析】前4天的極差，后4天的極差，A正確;前4天的平均數(shù)，方差，后4天的平均數(shù)，方差,前4天的方差大于后4天的方差，B選項錯誤;數(shù)據(jù)從小大排列這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，C選項錯誤;這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)與眾數(shù)相同，D選項正確.故選:AD.10.已知函數(shù)在處取得極小值，與此極小值點相鄰的的一個零點為，則（）A. B.是奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.在上的值域為【答案】ABD【解析】對A，由題意，且周期滿足，故，即，，故.因為在處取得極小值，故，即，又，故，則.由誘導公式，故A正確；對B，，為奇函數(shù)，故B正確；對C，則，不為余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，故C錯誤；對D，則，故，則，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（）A.與是異面直線B.存在點，使得，且平面C.與平面所成角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項，以作坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，則，由于，故與平行，A錯誤；B選項，設(shè)，因為，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因為，故，平面，故存在點，使得，且平面，B正確；C選項，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點到平面的距離為，D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.若是增函數(shù)，則D.若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于5【答案】ABD【解析】對于A：當時，則，，所以，故A正確；對于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，，故B正確；對于C：在上恒成立，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯誤；對于D：因為，即為的一個零點，當時，有且僅有一個根，此時在上單調(diào)遞增，所以和都只有個零點，不符合題意；當時，則無零點，只有一個零點，不符合題意；當時在和上各有一個零點，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個零點、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD.三、填空題13.已知隨機變量，且，則的值為__________.【答案】0.3【解析】由題意知隨機變量，且，則，故，故，故答案為：0.3.14.已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】令，則，設(shè)的通項為，當時，，即展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.15.已知圓錐的母線長為5，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐內(nèi)切球的半徑為R，則，則圓錐的高為，設(shè)圓錐的母線和高之間的夾角為，則,故該圓錐的內(nèi)切球的體積為，故答案為：.16.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在上，且軸，過點作的平分線的垂線，與直線交于點，若點在圓上，則的離心率為__________.【答案】【解析】由題意知，軸，故將代入中，得，則，即，不妨設(shè)P在雙曲線右支上，則，故；設(shè)為的平分線，由題意知，則，即，而，故，由點在圓上，得；又，則，在中，,即，結(jié)合，即得，即，解得或（舍），故（負值舍去），即的離心率為，故答案為：四、解答題17.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求的標準方程；（2）過點的直線與交于兩點，當時，求直線的方程.解：（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標準方程為.（2）易知直線的斜率不為0，設(shè)，即，，，消去y，得，，，，又，所以，解得，所以直線l的方程為或.18.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答下列問題.已知正項數(shù)列的前項和為，且__________，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）解：若選擇①：，則，相減得到：，，故，，解得，，故數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，故；若選項②：，則，，相減得到：，整理得到，，故，故數(shù)列為首項是，公差為的等差數(shù)列，故；（2）證明：，故.19.在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）設(shè)角的平分線交邊于點，且，若，求的面積.解：（1）由題意可得，即,即，而，故；（2）由，可得，角的平分線交邊于點，設(shè)，則，，即，由，得，即，則，則（負值舍去），故.20.設(shè)有甲?乙?丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的5個球，其中甲箱有3個藍球和2個黑球，乙箱有4個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和3個白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.（1）若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量表示最后摸出的2個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望