空間解析幾何復(fù)習(xí)課課件

主要內(nèi)容

典型例題空間解析幾何復(fù)習(xí)課一、主要內(nèi)容〔一〕向量代數(shù)〔二〕空間解析幾何向量的線性運算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念〔一〕向量代數(shù)1、向量的概念共線向量、共面向量重要概念:零向量、向量的模、單位向量、(1)加法：2、向量的線性運算(2)減法：(3)向量與數(shù)的乘法：4、數(shù)量積(點積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標(biāo)表達式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式5、向量積(叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達式//6、混合積〔1〕兩個向量與垂直；與平行×=；三個向量共面。

〔2〕向量積模的幾何意義：7。幾何意義與關(guān)系〔3〕用向量法證平面幾何題?！?〕向量的加減、數(shù)乘、內(nèi)積和混合運算以及加減、內(nèi)積、外積的坐標(biāo)運算；要求：〔1〕向量的重要概念；直線曲面曲線平面參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面一般方程參數(shù)方程一般方程對稱式方程點法式方程一般方程空間直角坐標(biāo)系〔二〕空間解析幾何橫軸縱軸豎軸定點

空間直角坐標(biāo)系空間的點有序數(shù)組空間直角坐標(biāo)系共有一個原點,三個坐標(biāo)軸,三個坐標(biāo)面,八個卦限.它們距離為兩點間距離公式:點P〔x,y,z〕關(guān)于原點，坐標(biāo)軸，坐標(biāo)面的對稱點.1、平面[1]平面的點法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程[4]兩平面位置特征：//[5]特殊的平面方程：坐標(biāo)面如xoy面：z=02、空間直線[1]空間直線的一般方程[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對稱式方程[4]直線方程各種形式的互化，如射影式化為對稱式[5]特殊的直線的方程[6]直線與平面的交點X軸,y軸,z軸的標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程[7]點到直線的距離LdP1是L外一點,設(shè)直線L,求P0到L的距離d.

設(shè)為L上任一點，如圖SS又于是點到直線的距離公式

1)如果兩個平面交于一條直線，那么以直線為軸的有軸平面束的方程是其中是不全為零的任意實數(shù)。[8]有軸平面束與平行平面束的方程2)由平面決定的平行平面束〔即與平面的全體平面〕的方程是，其中是任意實數(shù).〔1〕用點法式求平面的方程；〔2〕求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、一般方程；〔3〕運用有軸平面束和平行平面束求平面的方程；〔4〕求直線在平面內(nèi)的投影〔射影〕直線的方程。要求：曲面方程的定義：2、曲面〔1〕曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.〔2〕坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.研究空間曲面的兩個根本問題：[1]柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.要求：求母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。從柱面方程看柱面的特征：(1)平面1.橢圓柱面xyzO2.雙曲柱面類似討論柱面F(y,z)=0,F(x,z)=0[2]錐面

在空間通過一定點且與定曲線相交的一族直線所生成的曲面叫做錐面，這些直線都叫做錐面的母線，那個定點叫做錐面的頂點，定曲線叫做錐面的準(zhǔn)線。頂點準(zhǔn)線要求：1。求錐面方程的方法；2。由方程判斷是錐面。母線[3]旋轉(zhuǎn)曲面一條曲線繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.這條曲線叫母線。要求：求旋轉(zhuǎn)曲面的方程；坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面；由方程判斷旋轉(zhuǎn)曲面。

求旋轉(zhuǎn)曲面的方程設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線，1.旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程(一般位置)注：ⅰ寫出這母線上任意一點的緯圓方程或母線族ⅱ寫出參數(shù)的約束條件ⅲ消去參數(shù)得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程〔或柱面、錐面的方程〕旋轉(zhuǎn)軸為直線當(dāng)M1遍歷整個母線Γ

時，得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，這些緯圓生成旋轉(zhuǎn)曲面分析：lM1S旋轉(zhuǎn)曲面又可看作以軸l

為連心線的一族緯圓生成的曲面

設(shè)母線，⑴繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面方程；

⑵繞y

軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面方程。2.特殊位置的旋轉(zhuǎn)曲面方程方程特點:[4]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.〔1〕橢球面〔2〕橢圓拋物面〔3〕馬鞍面〔4〕單葉雙曲面〔5〕圓錐面要求：1。用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線〔即截痕〕的形狀，寫出交線的方程；2。求交線為橢圓、雙曲線的頂點、焦點坐標(biāo)；3。求焦點的軌跡。3、空間曲線

空間曲線的一般方程C：要求：〔1〕求圓的方程；〔2〕寫出平行于坐標(biāo)面的平面與二次曲面的交線的方程。

在空間直角坐標(biāo)系下，

直線L：

旋轉(zhuǎn)生成的圓C的方程.設(shè)M1(x1,y1,z1)是空間中的一點，求它繞M1P0Oxyz(看P119例題2)

分析:圓C可以看成下面的兩個曲面的交。1、過點M0且與軸垂直的平面2、以P0(x0,y0,z0)點為中心，的P0M1長度為半徑的球面。l例1化簡.

例3

用向量法證明：連結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.例2向量，互相垂直，向量與，的夾角都為600，且=1，=3，=2，計算：，二、典型例題1．向量代數(shù)例４證明直徑上的圓周角是直角．例５證明三角形三條高交于一點．例4

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.例3

用向量方法證明：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證設(shè)ΔABC兩邊AB，AC之中點分別為M，N，那么所以且上一頁返回解三角形ABC的面積為例6解由題設(shè)條件得解得例1兩點，〔1〕求過點M1且與直線垂直的平面方程；〔2〕求線段的垂直平分面的方程。2.直線與平面解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求直線與該平面的交點N,令代入平面方程得,交點取所求直線的方向向量為所求直線方程為另解求兩平面的交線分析:關(guān)鍵是求得直線上另外一個點M1.M1在過M且平行于平面P的一個平面P1上,待求直線又與直線相交,交點既在P1上,又在L上,因此是L與P1的交點.

例

3求過點M(-1,2,-3),且平行于平面又與直線相交的直線方程.解

過M作平行于平面P的一個平P1

PMLP1M1求平面P1與直線L的交點P1:

即P1:例4解所求投影直線方程為例1xOyz3?？臻g曲線解：解：或可見，空間曲線的一般方程的表示不是唯一的。例2、寫出軸的方程。

軸可看成兩個平面的交線，如例3、求在坐標(biāo)面上，半徑為R，圓心為原點的圓的方程。例3

方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.

例4在空間直角坐標(biāo)系下，

直線L：

旋轉(zhuǎn)生成的圓C的方程.設(shè)M1(x1,y1,z1)是空間中的一點，求它繞M1P0Oxyz(看P119例題2)

分析:圓C可以看成下面的兩個曲面的交。1、過點M0且與軸垂直的平面2、以P0(x0,y0,z0)點為中心，的P0M1長度為半徑的球面。l

例母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程推導(dǎo)過程P123拋物柱面平面拋物柱面方程：平面方程：上一頁下一頁返回4。曲面〔柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面，二次曲面〕從柱面方程看柱面的特征：〔其他類推〕實例橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，母線//軸母線//軸母線//軸

例2

錐面S的頂點在原點，且準(zhǔn)線為，求錐面S的方程.解答見教材P130例2答案例3解由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為分析：這一族的橢圓方程為即,從而橢圓焦點坐標(biāo)為消去參數(shù)h得測驗題DCBDD一、判斷1、設(shè)a,b,c是兩不共線的矢量，試問以下等式是否成立？〔1〕ab=a2;()(2)a2=|a|2()(3)(ab)2=a2b2

()(4)a(ab)=a2b

()(5)(ab)c=a(bc)()2、設(shè)a,bc是三個非零矢量，試問以下推斷是否正確？(1)如果ab=0,ac=0,那么bc=0;()(2)如果ab=0,ac=0,那么bc=0;()(3)如果ab=0,ac=0,那么(bc)a=0;()(4)如果ab=ac,那么b=c;()(5)如果ab=ac,那么b=c.()

二、填空1、矢量的和統(tǒng)稱為矢量的線性運算；2、兩個矢量a,b垂直

；平行

；三個矢量共面

。3、設(shè)a,b,c為三個不共面的矢量，如果ra=0,rb=0,rc=0，則r=.4、設(shè){a,b,c}是右旋矢量組，且a,b,c兩兩垂直，又知|a|=4,|b|=2,|c|=3,則(a,b,c)=.加法數(shù)乘ab=0ab=0(a,b,c)=002407、點P(1,2,3)關(guān)于x軸的對稱點為。8、點P(1,-1,2)到x軸的距離等于。9、設(shè)那么。

。16、球面的中心坐標(biāo)為，半徑為。17、空間中，在xoy面上，半徑為R,中心在原點的圓的方程為。19、曲面x2+y2+16z2=64與xoz面的交線方程為20、空間曲線對xoy面的射影柱面的方程為。。。30、平面Ax+By+Cz+D=0平行于x軸的充要條件是AB≠0，C=0，D≠0。31、平面x-y+z-5=0的法矢量是，它的方位矢量為。32、直線的對稱式方程為。