安福中學(xué)高二（課改班）上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2013。12。5一．選擇題（本大題共有10個小題,每小題5分，共50分.）1。下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．(x+B．（log2x)′=C．(3x)′=3xlog3eD．（x2cosx)′=-2xsinx2．觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是(）A．n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2）＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2）＝(2n－1）2C．n＋(n＋1)＋（n＋2)＋…＋（3n－1）＝n2D．n＋（n＋1)＋（n＋2)＋…＋（3n－1)＝（2n－1）23．①若; ②若;③若；④若a與b異面,且相交；⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.其中真命題的個數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)eq\o（FB,\s\up6（→)）⊥eq\o(AB，\s\up6（→)）時，其離心率為eq\f(\r（5）－1，2）,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓",可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝（)A．eq\f(\r(5)＋1，2) B．eq\f(\r（5)－1,2） C．eq\r(5)－1 D．eq\r（5）＋15．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是（）A． B． C． D．6．若命題“存在x∈R，2x2－3ax＋9＜0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是()A.［－2eq\r(2),2eq\r(2)］B。［－2,2]C.［－eq\r(2)，eq\r（2）]D.(－2eq\r(2），2eq\r（2)）7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（）A．直線B．圓C．拋物線D．雙曲線8．在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是(） A．3 B．2 C．1 D．09．已知P(x,y)是直線上一動點，PA，PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為（）A。3B.C。D.210.若在曲線f(x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”.下列方程：①；②，③；④對應(yīng)的曲線中存在“自公切線"的有（) A．①=2\＊GB3②=3\＊GB3③ B。=3\＊GB3③④ C．．②③ D．②③④二．填空題（每小題5分，共25分）11．設(shè)p：｜4x－3｜≤1；q：（x－a）（x－a－1）≤0,若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是________．12．一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為），則該棱錐的體積是________．左視圖左視圖13．設(shè)0<x<1,a、b為正常數(shù)，則的最小值為________．14．已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點,若是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是________．15．在拋物線上取橫坐標(biāo)為的兩點，過這兩點引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切，則拋物線頂點的坐標(biāo)為________．三．解答題：本大題共6小題,滿分75分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，，x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，））求:（Ⅰ）z＝x＋2y－4的最大值；（Ⅱ）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值;（Ⅲ）z＝eq\f(2y＋1,x＋1）的范圍．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象過點P（0，2）,且在點M處的切線方程為.(Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。18．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1,n＝1,2,3,…。（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ)猜想數(shù)列｛Sn｝的通項公式，并給出嚴(yán)格的證明．19．（本小題滿分12分）在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。(Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小;（Ⅲ）求點B到平面CMN的距離。20．（本小題滿分13分）設(shè)拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=－m(m〉0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A,B．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0,－l）時，求過M，A,B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；（Ⅱ）當(dāng)m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由。21．(本小題滿分14分)已知橢圓上任一點P,由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C.（Ⅰ)求曲線C的方程；(Ⅱ）過點D（0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點且平行于軸的直線上一動點，滿足(O為原點）,問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由。高二課改班第二次月考數(shù)學(xué)答案（1)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（B)A．(x+B．(log2x)′=C．(3x）′=3xlog3eD．(x2cosx)′=—2xsinx（2)觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…,可以得出的一般結(jié)論是(B)．A．n＋（n＋1)＋（n＋2)＋…＋（3n－2）＝n2B．n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋(3n－2)＝（2n－1）2C．n＋（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋（n＋2)＋…＋（3n－1)＝（2n－1）2(3)已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：若; ②若；③若；④若a與b異面，且相交；⑤若a與b異面,則至多有一條直線與a,b都垂直。其中真命題的個數(shù)是 （A） A．1 B．2 C．3 D．4(4)如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，F(xiàn)為左焦點，當(dāng)eq\o（FB,\s\up6（→））⊥eq\o(AB，\s\up6(→）)時，其離心率為eq\f(\r（5）－1，2），此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e＝（A)．A。eq\f（\r(5）＋1,2） B。eq\f(\r(5）－1,2） C.eq\r(5）－1 D。eq\r（5)＋1(5）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2,AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是(D) A． B． C． D．(6）若命題“存在x∈R，2x2－3ax＋9＜0"為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(A）A。[－2eq\r(2）,2eq\r（2)］。B。[－2,2］C.［－eq\r（2）,eq\r（2）］D.（－2eq\r(2）,2eq\r(2）)（7）如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是(C)A．直線B．圓C．拋物線D．雙曲線(8）在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是 （B) A．3 B．2 C．1 D．0(9)已知P（x，y)是直線上一動點，PA，PB是圓C:的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為(D）A。3B.C.D.2(10）若在曲線f(x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③;④對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有 （C） A．①=2\*GB3②=3\*GB3③ B。=3\*GB3③④ C．．②③ D．②③④填空題:(11)設(shè)p:|4x－3｜≤1；q：（x－a)(x－a－1）≤0，若p是q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是_[0，］_______．12.一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為），則該棱錐的體積是________．俯視圖（13)設(shè)0〈x<1,a、b為正常數(shù)，則的最小值為________．(14)已知點,分別是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點,若是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是________．(15)在拋物線上取橫坐標(biāo)為的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切,則拋物線頂點的坐標(biāo)為________．16。(12分）已知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y＋2≥0,,x＋y－4≥0，，2x－y－5≤0，）)求：（1）z＝x＋2y－4的最大值;(2）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；（3)z＝eq\f(2y＋1，x＋1）的范圍．作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標(biāo)A(1，3）、B（3，1)、C（7,9）．(1）易知可行域內(nèi)各點均在直線x＋2y－4＝0的上方,故x＋2y－4〉0，將點C(7，9）代入z得最大值為21。（4分）(2）z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋（y－5)2表示可行域內(nèi)任一點（x,y）到定點M（0,5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上,故z的最小值是|MN|2＝eq\f（9,2)。（8分）（3)z＝2×eq\f（y－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)))，x－－1)表示可行域內(nèi)任一點（x，y)與定點Qeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－1,－\f（1，2））)連線的斜率的兩倍，因此kQA＝eq\f（7,4），kQB＝eq\f（3，8)，故z的范圍為eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3,4)，\f（7，2))).(12分）17。（12分）已知函數(shù)的圖象過點P（0,2),且在點M處的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過P（0,2),知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是(Ⅱ)解得當(dāng)當(dāng)故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).18。（12分)設(shè)數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。(1）求a1，a2；(2）猜想數(shù)列｛Sn｝的通項公式，并給出嚴(yán)格的證明．解：(1）當(dāng)n＝1時,x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是（a1－1）2－a1（a1－1)－a1＝0，解得a1＝eq\f（1,2).當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－eq\f（1,2)，于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a2－\f(1，2）））2－a2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(a2－\f（1，2）)）－a2＝0，解得a2＝eq\f(1,6).（2）由題設(shè)知(Sn－1)2－an(Sn－1）－an＝0，即S2n－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時,an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0。（＊)由（1)得S1＝a1＝eq\f（1,2),S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2）＋eq\f（1，6）＝eq\f（2,3)。由（*）式可得S3＝eq\f(3，4）。由此猜想Sn＝eq\f（n，n＋1）,n＝1，2，3，…。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．①n＝1時已知結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k(k∈N＊）時結(jié)論成立,即Sk＝eq\f（k，k＋1）,當(dāng)n＝k＋1時,由(*)得Sk＋1＝eq\f（1，2－Sk），即Sk＋1＝eq\f（k＋1，k＋2)，故n＝k＋1時結(jié)論也成立．綜上，由①、②可知Sn＝eq\f（n，n＋1）對所有正整數(shù)n都成立．19.(12分）在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點。（Ⅰ)證明:AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大??；（Ⅲ)求點B到平面CMN的距離.解法一：(Ⅰ）取AC中點D,連結(jié)SD、DB。∵SA=SC，AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB，∴AC⊥SB. （Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC。過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則NF⊥CM。∴∠NFE為二面角N—CM—B的平面角?！咂矫鍿AC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB。在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在Rt△NEF中,tan∠NFE==2，∴二面角N—CM-B的大小是arctan2.（Ⅲ)在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2。設(shè)點B到平面CMN的距離為h,∵VB—CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h==.即點B到平面CMN的距離為.解法二：（Ⅰ）取AC中點O,連結(jié)OS、OB?！逽A=SC，AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO?！咂矫鍿AC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO。如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.則A（2，0，0）,B（0,2，0),C（-2，0，0),S（0，0，2），M(1，，0），N（0，，）?！?（-4，0，0），=（0，2,2)，∵·=（—4，0,0）·（0,2,2）=0，∴AC⊥SB.(Ⅱ)由（Ⅰ)得=（3,,0），=(-1,0,）.設(shè)n=（x，y,z)為平面CMN的一個法向量，則·n=3x+y=0,取z=1，則x=,y=-，∴n=(，-，1），·n=—x+z=0，又=(0,0，2）為平面ABC的一個法向量，∴cos（n，)==?！喽娼荖-CM-B的大小為arccos。（Ⅲ）由（Ⅰ）(Ⅱ）得=（—1，，0），n=（，-，1）為平面CMN的一個法向量,∴點B到平面CMN的距離d==.20。(13分）設(shè)拋物線C的方程為x2=4y,M為直線l：y=－m（m〉0)上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A,B．（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為(0，－l）時