尷尬“估算”-理性教學(xué)

2023年主題教學(xué)論文〔小學(xué)數(shù)學(xué)〕2023年主題教學(xué)論文〔小學(xué)數(shù)學(xué)〕【內(nèi)容摘要】估算是計算教學(xué)中必不可少的重要內(nèi)容，無論是估計運算的結(jié)果，還是確定數(shù)的取值范圍，都在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用。自“估算〞進(jìn)入數(shù)學(xué)課程后，其難教、難學(xué)是不爭的事實。究其原因在于理論研究的缺乏、課程設(shè)計及實踐經(jīng)驗的缺乏，以及估算在解決問題策略上的多樣性和計算結(jié)果的不確定性等因素造成的。本文通過對學(xué)生估算現(xiàn)狀分析入手，探尋切實可行的有效策略?！娟P(guān)鍵詞】估算教學(xué)理性分析應(yīng)對策略【正文】估算是計算教學(xué)中必不可少的重要內(nèi)容，無論是估計運算的結(jié)果，還是確定數(shù)的取值范圍，都在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用。估算作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容最初僅限于培養(yǎng)計算能力，是計算教學(xué)的輔助手段。2023年公布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對估算教學(xué)作了具體的描述。第一學(xué)段：能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會估算在生活中的作用；第二學(xué)段：在解決問題的過程中，能選擇適宜的方法進(jìn)行估算。但是，不可否認(rèn)，自“估算〞進(jìn)入數(shù)學(xué)課程后,其難教、難學(xué)已是不爭的事實。雖然教科書中參加了估算，但事實上這一內(nèi)容并未真正融入數(shù)學(xué)課程，與相關(guān)內(nèi)容以及教師的教和學(xué)生的學(xué)仍是一種對立關(guān)系。讓我們一起來看看估算教學(xué)中的一些現(xiàn)狀?！盀殡y〞估算【案例一】人教版《數(shù)學(xué)》三年下冊第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法〞第31頁第4題如下列圖：面對此類題，大局部學(xué)生采用的是估算進(jìn)行解答，因為對于學(xué)生來說，只要題中出現(xiàn)“大約〞字眼，尤其是題中的問題出現(xiàn)“大約〞字眼，肯定是要用“估算〞的。困惑：為什么學(xué)生面對問題中出現(xiàn)的“大約〞“約〞字眼就想到用估算，是老師平時錯誤數(shù)學(xué)信息的提示，還是凡“大約〞就一定要“估算〞錯誤思想的“根深蒂固〞？【案例二】一次公開課上，某老師出示了如下一道題：一班學(xué)生238人，二班學(xué)生158個學(xué)生，399個座位夠嗎？老師把學(xué)生分成6個小組進(jìn)行了討論，其中有5個小組用了老師課上強調(diào)的“既湊整算得快，又與實際結(jié)果相差得盡可能小〞的思路，將238估計為240，158估計為160，240+160=400，所以399個座位不夠；而其中有1個小組進(jìn)行了精確計算，發(fā)現(xiàn)399個座位夠。面對學(xué)生不同的答案，教師說道：“確實，有些問題是不能用估算解決的，必須進(jìn)行精確計算〞。學(xué)生在上完課與教師的交流中這樣說道：“因為今天是公開課，所以才用到估算，平時，對于這種題目，我們的老師都讓我們用精確計算的……〞上課老師陷入了為難中。困惑：“估算〞教學(xué)只是走形式，“估算〞教學(xué)只是“做秀〞，學(xué)生既沒有感受估算其中的簡化思想，也沒有觸及估算的真正意義，學(xué)生估算意識的培養(yǎng)和估算能力的提高從所談起？【案例三】教師出示以下題目，請學(xué)生進(jìn)行估算。東方書報亭10月上旬的營業(yè)額〔單元：元〕，你能估計出這個月上旬的營業(yè)額嗎？日期12345678910營業(yè)額206201206204205198196198195203生1：我把這些數(shù)都估成200，200×10=2000〔元〕生2：我把206、205看作210，其他的數(shù)都看作200，210×3+200×7=2030〔元〕，其他學(xué)生也表示同意。這時一個學(xué)生站起來：老師，我也算出來，比他們算得更準(zhǔn)確，得2023元。困惑：在統(tǒng)計類題型中，“估算〞是不是等同于“簡算〞？“簡算〞可以代替“估算〞？【案例四】某校期末考試卷上一道估算題：每個籃球49元，要買8個籃球，請你估計400元夠嗎？閱卷時老師發(fā)現(xiàn)，全班學(xué)生幾乎都是用精算算出結(jié)果的，即49×8=392〔元〕，392﹤400，所以夠了。學(xué)生這樣解答算不算對？給不給分？大局部的教師認(rèn)為：①雖然學(xué)生采用了精確計算的方法，只要結(jié)果是正確的，就應(yīng)該給予肯定。②學(xué)生沒有認(rèn)真審題，不能判分。困惑：“估算〞的結(jié)果是否有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)？“估算〞評價的多樣性，尤其把精確計算也納入到“估算〞評價方法，會不會讓學(xué)生更愛“精算〞而棄“估算〞！綜合上述的案例，我們大致可以概括當(dāng)前估算教學(xué)的現(xiàn)狀為：學(xué)生對估算的價值認(rèn)識不夠；教師自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)〔估算知識〕欠缺，對估算教學(xué)內(nèi)容把握不準(zhǔn)；教材編寫不夠合理，估算教學(xué)遭遇許多為難；估算教學(xué)效果難以檢測和評價；受傳統(tǒng)的精確計算占統(tǒng)治地位的影響，學(xué)生習(xí)慣精算，不愿估算；深度剖析看得出估算這一課程內(nèi)容在教學(xué)實踐中存在很多問題。理論研究的缺乏、課程設(shè)計及實踐的經(jīng)驗缺乏，以及估算在解決問題策略上的多樣性和計算結(jié)果的不確定性等因素都讓老師們與學(xué)生對估算“望而卻步〞。因此需要明晰估算作為課程內(nèi)容的本質(zhì)屬性，提示矛盾產(chǎn)生的原因，進(jìn)而尋求估算融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的途徑，實現(xiàn)估算的課程目標(biāo)。一、從“大約〞看“估算〞本質(zhì)“大約〞一詞是伴隨著估算進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書的。查閱《新華漢語詞典》“大約〞的解釋是，“大約〞作為副詞后接數(shù)量時，一般表示不十分準(zhǔn)確但比擬接近的意思，“大約〞并不是一個具有嚴(yán)格意義的數(shù)學(xué)術(shù)語，因此在不同語境的使用中，其含義是會出現(xiàn)差異的?！惨弧场盁o法準(zhǔn)確〞的“大約〞所謂的“無法準(zhǔn)確〞的“大約〞指的是，無法用具體的精確的數(shù)字來表達(dá)其數(shù)量特征。就如上述案例一中指到的“青蛙大約活6年〞，“海龜大約活128年〞，這些所說“青蛙〞和“海龜〞，不是一只而是一類。當(dāng)然不可能每一只青蛙都可以活6年，每一只海龜都可以活128年，這里所使用的“大約〞反映的是一類動物壽命的普遍現(xiàn)象，即“青蛙的壽命都近似于6年〞以及“海龜?shù)膲勖冀朴?28年〞。這里的“6年〞或“128年〞應(yīng)當(dāng)是動物學(xué)家對大量青蛙和海龜觀察取證后所得到的平均值，因此，這里的“大約〞實際是統(tǒng)計中的“平均〞的意思，因此也可以說“青蛙的平均壽命是6年〞以及“海龜?shù)钠骄鶋勖?28年〞。諸如此類的問題表達(dá)中外表看有“大約〞，但并不屬于需要估算的問題?！盁o法準(zhǔn)確〞的“大約〞的另一種情況是路程、速度中的表達(dá)。比方在一些作業(yè)中經(jīng)常會碰到這種題目：“小明每分鐘走65米，從學(xué)校到家走了10鐘，小明家離學(xué)校大約有多少米？〞題目中表達(dá)的“小明每分鐘走65米〞，并不說明小明每分鐘真的都剛剛好是65米，行走過程中時快時慢的速度是很正常的事情。這里的“每分鐘走65米〞也是一個統(tǒng)計意義的平均值，因此也可以表述為，“小明平均每分鐘走65米〞。題目中的問題“小明家離學(xué)校大約有多少米〞中的“大約〞，并不是要求運算估算進(jìn)行解答的，而是伴隨著前面的“大約走65米〞而出現(xiàn)的。此類題目還有許多如“王亮正在看的故事書有60頁，每頁有20行字，平均每行大約有25個字，這本書大約有多少個字？〞等，這些題中的“大約〞只是承接前句中的“約〞，所以屬于精確計算，不需要估算。〔二〕不同與“近似值〞的“大約〞我們知道：如果一個數(shù)能確切地表示一個量的真正值〔準(zhǔn)確值〕，那么這個數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)，求準(zhǔn)確數(shù)的計算叫精確計算；近似地表示某個量的準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)叫近似數(shù)，求近似數(shù)的計算叫近似計算。近似計算按照一定的規(guī)那么進(jìn)行計算的，計算結(jié)果的誤差不能超過允許的范圍。估算，即大致推算，一般指根據(jù)實際需要、具體條件和要求，粗略地求出結(jié)果的計算。特別是“近似計算〞，一般是“無法準(zhǔn)確〞的情況下，不得已而為之的計算，比方大家都知道的圓周率就是一個圓的周長與這個圓的直徑的比值，由于這個比值是無理數(shù)，因此無法用整數(shù)或有限的十進(jìn)小數(shù)表達(dá)出來，不得已而采用四舍五入取近似值，最后只能說“圓周率大約是3.14〞或者“近似于3.14〞，雖然結(jié)果不是準(zhǔn)確的，但人的主觀意愿還是追求盡量準(zhǔn)確。因此近似計算與估算是有本質(zhì)上的差異的，不能將二者混為一堂。上述案例二中的學(xué)生三種計算方法中，簡算是簡算，估算是估算，“估算〞不等同于“簡算〞，“簡算〞不可以代替“估算〞，只能說通過“簡算〞來求“估算〞的結(jié)果。二、從“多元性〞看“估算〞屬性估算的方法和策略是靈活多樣的，它沒有精確度的硬性要求，它的結(jié)果是多元的，一般而言，估算的結(jié)果難說對與錯，只有好與差之分。另外，由于估算受個體目標(biāo)的影響，這就使得估算相對于通常計算所追求的“準(zhǔn)確〞來說就具有了不確定性。這種不確定性自然就導(dǎo)致了估算方法的個性化和多樣化特征。這種不確定性和方法的個性化多樣化統(tǒng)稱為估算的開放性?！惨弧硵?shù)據(jù)重塑與算式轉(zhuǎn)換估算的開放性首先表現(xiàn)在數(shù)據(jù)重塑、算式轉(zhuǎn)換。所謂數(shù)據(jù)重塑是指在進(jìn)行估算時，將參加計算的數(shù)據(jù)進(jìn)行改變進(jìn)而進(jìn)行簡算。在估算的思考過程中，數(shù)據(jù)重塑和算式轉(zhuǎn)換是經(jīng)常同時出現(xiàn)的。但要注意兩者的不同，比方，對于“8946+7212+7814〞的估算，如果把注意力放在數(shù)據(jù)的改變上，就會將算式改變?yōu)椤?000+7000+8000〞，從而得到估算的結(jié)果為24000，其中只有數(shù)據(jù)發(fā)生了變化，算式的結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)現(xiàn)變化，因此，它屬于數(shù)據(jù)重塑的思維過程。如果從整體觀察算式“8946+7212+7814〞，會發(fā)現(xiàn)三個數(shù)據(jù)都非常接近8000，想到變加法為乘法，算式就變成了“8000×3〞，其結(jié)果也是24000。這樣的過程使得算式的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，因此，屬于算式轉(zhuǎn)換的思維過程。所以，前面的案例二，日期12345678910營業(yè)額206201206204205198196198195203當(dāng)學(xué)生把這些數(shù)都估成200，200×10=2000〔元〕，這是算式轉(zhuǎn)換的思維過程，而學(xué)生把206、205看作210，其他的數(shù)都看作200，210×3+200×7=2030，也同時用到了“數(shù)據(jù)重塑〞與“算式轉(zhuǎn)換〞而進(jìn)行的算簡，是非常好的估算方算，要大力表現(xiàn)學(xué)生，但要告訴學(xué)生，這是估算的一種思維方式，但不等于“簡算〞?！捕秤澔パa估算的開放性其次表現(xiàn)在“盈虧互補〞上。盈虧互補實際上是追求估算結(jié)果盡量準(zhǔn)確而進(jìn)行的思維過程，是伴隨在數(shù)據(jù)重塑和算式轉(zhuǎn)換之中或之后進(jìn)行調(diào)整的過程。這一思維過程是與問題的情境及問題的目標(biāo)緊密相關(guān)的。比方前面的案例三，“一班學(xué)生238人，二班學(xué)生158個學(xué)生，399個座位夠嗎？〞，如果將238估為240，158估為160，240+160=400，這一過程首先采用了數(shù)據(jù)重塑，如果再采用盈虧互補240估大了2，160估大了2，即240+160=400400-2-2＝396，把算多的局部減去也就輕易地估算出399個座位夠了。盈虧互補作為一種思維方法，不僅在計算中使用，在解決問題中也經(jīng)常出現(xiàn)，比方“雞兔同籠〞中的假設(shè)法，也是蘊含了盈虧互補的思維過程。三、“估算〞具有“風(fēng)險性〞在運用估算解決問題的過程中，策略選擇的思考中存在著諸多的不確定因素，相對于精確計算來說，這些不確定因素一方面是導(dǎo)致其難教、難學(xué)的主要原因。另一方面也是培養(yǎng)學(xué)生良好思維的契機和素材。比方人版二年級上冊作業(yè)本上的一道數(shù)學(xué)題：一件上衣58元，一條褲子43元，買一套大約需要花多少錢？100元夠嗎？學(xué)生在解答入時陷了困境：因為此題如果直接精確計算“58+43〞的結(jié)果為101，立刻就可以得到問題的結(jié)論“100元錢不夠〞。如果估算那么出現(xiàn)了如下的答案：將58與43都估成最接近的整十?dāng)?shù)“60〞與“40〞后，那么60+40=100，那么可以得出“大約100元〞，并且“100元夠了〞結(jié)論。這樣就出現(xiàn)了精確計算與估算結(jié)論不一樣的情況。這樣就讓學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑，并模棱兩可，是相信估算的答案呢，還是精確定計算的答案？這樣，估算策略選擇會有“不可靠〞風(fēng)險。再如，“比擬51×49與52×48〞的大小，如果用精確計算的方法，直接計算出51×49的結(jié)果為2499，52×48的結(jié)果為2496，立刻可以得到51×49﹥52×48的結(jié)論，如果運用估算，就可能將51×49與52×48的每一個數(shù)據(jù)都就近變成整十?dāng)?shù)，那么兩個算式都變成了50×50，這樣比擬的結(jié)果就是兩個算相等，這種結(jié)果自然是不對的。由此看來，估算策略還會出現(xiàn)“無效〞的風(fēng)險。類似于還有不同方法得到不同結(jié)論的情況。比方，前面的案例三：每個籃球49元，要買8個籃球，請你估計400元夠嗎？如果把49放大看成50，8×50等于400，所以買8個籃球400元是夠的。如果把8看成10，49×10等于490，比400大，所以買8個籃球400元是不夠的。同樣的問題運用不同的估算方法得到了不同的結(jié)論，因此，運用估算解決問題會出現(xiàn)“多解不同果〞的風(fēng)險。我們都知道學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中通常都會有“一題多解〞的經(jīng)驗，同樣的問題可以用不同的方法解決，不同的方法應(yīng)當(dāng)?shù)玫酵瑯拥慕Y(jié)果。而不同的估算方法可能會得到不同的結(jié)論，這就使得估算方法還具有“多元〞的特點。正是估算方法所具有的多元、無效和不可靠的特點，使得估算的過程具有了不確定性的特征。因此解題者在運用估算解決問題的過程中自然會出現(xiàn)“拿不準(zhǔn)〞的感覺，這種拿不準(zhǔn)的感覺可能也是許多學(xué)生寧愿使用精確計算也不愿意使用估算的原因所在。所以教師也需要一定等待的心，理解的心，寬容的心看待學(xué)生的估算。理性教學(xué)有了對估算教學(xué)的深度分析后，實際教學(xué)中就會理性的對待。例如觀念上重視，深刻理會估算的價值，將估算意識的培養(yǎng)作為估算教學(xué)的核心目標(biāo)。教學(xué)中落實，教給學(xué)生根本的估算方法，養(yǎng)成良好的估算習(xí)慣?！惨弧巢呗缘暮侠磉x擇新課程改革倡導(dǎo)學(xué)生自主探究、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和發(fā)散思維，但并不是怎么算都可以，怎么做都行。估算教學(xué)應(yīng)教給學(xué)生一定的、普遍的標(biāo)準(zhǔn)，能怎么算都對。小學(xué)生做題時就有了大方向，有了一定的標(biāo)準(zhǔn)，在面對具體題目時再根據(jù)數(shù)據(jù)特點再靈活使用具體方法，學(xué)生的估算才能算得好、算得快。在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書教師用書》中，提出估算的兩個標(biāo)準(zhǔn)是：符合生活實際，計算方便。筆者認(rèn)為，估算的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是三條，而且這三條標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該有分個主次先后：1、符合生活實際；2、計算方便，能夠口算；3、盡量接近準(zhǔn)確值。第一，估算的首要條件是符合生活實際，因為具體情境中的數(shù)學(xué)問題，即使估算再簡便、再接近準(zhǔn)確值，如果違背了客觀規(guī)律，也是站不住腳跟的?！读x務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書教師用書》中明確指出：什么時候應(yīng)估大些，什么時候應(yīng)估小些，應(yīng)視實際情況而定，不能機械的采用“四舍五入法〞來取近似數(shù)，如四年級上冊83頁的第5題：有500噸貨物，每節(jié)車廂限載60噸，需要多少節(jié)車廂才能裝完？此題就必須使用“進(jìn)一法〞來估算：500÷60≈9〔節(jié)〕，因為剩下的貨物再少，也需要再裝1節(jié)車廂才能“裝完〞的。第二，如果估算比擬煩瑣，這樣的估算就失去了估算的價值；所以我們要求學(xué)生在確定了估算符合生活實際后，其次就要確定自己的方法是否比準(zhǔn)確計算簡便，能否口算出結(jié)果。如872+469的估算中，有學(xué)生將872看作870、469看作470，雖然估算得出的結(jié)果1340非常接近準(zhǔn)確值，但計算不簡便，喪失了估算的優(yōu)越性，所以這道題可以這樣估算，都比擬簡便：872+469≈1400872+469≈1369872+469≈1372……〔900〔500〕〔900〕〔500〕第三，在滿足了前兩個條件的前提下，估算結(jié)果還必須接近準(zhǔn)確值。例如839÷6≈，就有學(xué)生將839看作了600，結(jié)果839÷6≈100，與準(zhǔn)確值的誤差非常大，在實際生活中，估算是不允許有這么大的偏差的。所以，我們必須要求學(xué)生再考慮了第三個要素：接近準(zhǔn)確值，一般把數(shù)據(jù)看作比擬接近原數(shù)的整十、整百數(shù)、幾百幾十?dāng)?shù)；因此，839÷6≈，應(yīng)將839看作840，所以839÷6≈140。二、意識的正確培養(yǎng)生活中所有人都在頻繁的使用估算，可在學(xué)習(xí)中學(xué)生卻沒有估算的習(xí)慣，這是因為學(xué)和用別離了。要想培養(yǎng)學(xué)生的估算意識必須把學(xué)和用結(jié)合起來。1.變“可有可無〞為“無處不在〞。長久以來，估算在小學(xué)數(shù)學(xué)的教材中一直作為選學(xué)內(nèi)容，且由于這局部內(nèi)容在編排時，呈現(xiàn)的形式比擬單一，沒能表達(dá)出對學(xué)生估算能力的培養(yǎng)的完整意圖，充當(dāng)著一個可有可無的角色。所以教師要創(chuàng)造性地使用教材，在原來教材中沒有要求估算的地方也要創(chuàng)造時機讓學(xué)生進(jìn)行估算，活化教材，讓學(xué)生感到估算無處不在。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，估算要滲透到計算的每一個環(huán)節(jié)中。如教師引導(dǎo)學(xué)生在系統(tǒng)計算前進(jìn)行估算，可分析解出的得數(shù)取值大概在什么范圍內(nèi)。如在計算2613÷13時，學(xué)生容易漏掉商中間的0，如果先估算一下，2600÷13=200，所以2613除以13的商肯定比200多。計算中進(jìn)行估算，對于四那么混合運算式題，在計算的過程中，既要觀察運算的順序是否正確，還要對每一步單獨運算的結(jié)果進(jìn)行估算，看是否符合計算的有關(guān)規(guī)律。計算后進(jìn)行估算，就是對照分析解出的得數(shù)是否在估算的取值范圍內(nèi)或是否符合客觀實際，從而判斷出在計算過程中有沒有錯誤。2.變“不愿估算〞為“喜歡估算〞。教師在教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的情景，使學(xué)生逐步體驗估算的可行性。當(dāng)估算成為一種習(xí)慣后，發(fā)現(xiàn)在學(xué)生當(dāng)中有一種現(xiàn)象：很多的同學(xué)總是會為自己估算得最接近而洋洋得意。例如：在○里填上“＞〞“＜〞或“=〞。67×98○670047×63○240027×45○32×4631×53○29×49