概率統(tǒng)計簡明教程附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解

大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)叢書

概率統(tǒng)計簡明教程附冊

學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解

刖B

本書是與同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編《概率統(tǒng)計簡明教程）相配套的學(xué)習(xí)輔

導(dǎo)

書，主要面向使用該教材的學(xué)生.也可供有關(guān)教師作教學(xué)參考。概率統(tǒng)計是用

隨機數(shù)學(xué)模式描述和解釋客觀世界，作為一個數(shù)學(xué)分支來說，

同其他的數(shù)學(xué)分支有很大的差異。它在思想內(nèi)涵和邏輯思維方式上有自身的

特點，初學(xué)者往往不易把握。這本學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書的編寫.希望能對讀者掌握該門

課程

的特點.提高學(xué)習(xí)質(zhì)量有所裨益。

本書按該教材的章節(jié)順序編排,以方便讀者使用。本書作為教材的輔導(dǎo)

書，

其各章內(nèi)容除了應(yīng)有的基本要求、內(nèi)容提要、學(xué)習(xí)要點、題解外，還對學(xué)生在學(xué)

習(xí)中遇到的共同性的重要問題，以釋疑解難的形式予以分析、解答。此外，還

有例題剖析與增補.選擇教材中一些重要例題以及補充少量典型例子，對解題

思路、使用原理和方法進(jìn)行剖析，最后，為滿足讀者加強練習(xí)的需要,補充少量

習(xí)題（附答案和提示）。

本書的第1一3章以及第12章由柴根象撰寫：第4一6章由蔣鳳瑛撰寫；

第

7-11章由楊筱函撰寫；最后.由柴根象統(tǒng)稿、定稿。

本書的出版,得到了高等教育出版社有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)的大力支持,借此表示衷心

的謝意。

由于我們對編寫此類輔導(dǎo)書缺乏經(jīng)驗，且限于水平,書中難免有不當(dāng)和疏

漏

之處，敬請同行和讀者批評指正。

編者

2004年3月

目錄

第一章隨機事件...............................................1

一、基本要求（1）二、內(nèi)容提要（1）三、學(xué)習(xí)要點（2）四、釋疑解難（2）

五.、例題分析及增補（3）六、習(xí)題解答（4）練習(xí)1（6）

第二章事件的概率..............................................7

一、基本要求（7）二、內(nèi)容提要（7）三、學(xué)習(xí)要點（8）四、糅疑解難（9）

五、例題分析及增補（11）六、習(xí)題解答（12）練習(xí)2（16）

第三章條件概率與事件的獨立性................................17

一、基本要求（17）二、內(nèi)容提要（17）三、學(xué)習(xí)要點（18）四、釋疑解難（18）

五、例題分析及增補（19）六、習(xí)題解答（21）練習(xí)3（26）

第四章隨機變量及其分布.......................................28

一、基本要求（28）二、內(nèi)容提要（28）三、學(xué)習(xí)要點（30）四、釋疑解難（30）

五、例題分析及增補（33）六、習(xí)題解答（36）練習(xí)4（47）

第五章二維隨機變量及其分布..................................49

一、基本要求（49）二、內(nèi)容提要（49）三、學(xué)習(xí)要點（53）四、釋疑解難（53）

五、例題分析及增補（54）六、習(xí)題解答（59）練習(xí)5（67）

第六章隨機變量的函數(shù)及其分布................................69

一、基本要求（69）二、內(nèi)容提要（69）三、學(xué)習(xí)要點（71）四、釋疑解難（71）

五、例題分析及增補（72）六、習(xí)題解答（76）練習(xí)6（85）

第七章隨機變量的數(shù)字特征....................................87

一、基本要求（87）二、內(nèi)容提要（87）三、學(xué)習(xí)要點（90）四、釋疑解難（91）

五、例題分析及增補（92）六、習(xí)題解答（97）練習(xí)7（104）

第八章統(tǒng)計與統(tǒng)計學(xué).........................................106

一、基本要求（106）二、內(nèi)容提要（106）三、學(xué)習(xí)要點（106）

第九章統(tǒng)計量和抽樣分布.....................................107

一、基本要求（107）二、內(nèi)容提要（107）三、學(xué)習(xí)要點（109）四、釋疑解難（109）

五、例題分析及增補（109）六、習(xí)題解答（111）練習(xí)9（115）

第十章點估計...............................................I*

一、基本要求（117）二、內(nèi)容提要（117）三、學(xué)習(xí)要點（H9）四、釋疑解難（119）

五、例題分析及增補（119）六、習(xí)題解答（122）練習(xí)10（127）

第十一章區(qū)間估計............................................129

一、基本要求（129）二、內(nèi)容提要（129）三、學(xué)習(xí)要點（131）四、釋疑解難（131）

五、例題分析及增補（132）六、習(xí)題解答（134）練習(xí)0（138）

1

第十二章假設(shè)檢驗............................................139

一、基本要求（139）二、內(nèi)容提要（139）三、學(xué)習(xí)要點（140）四、釋疑解難（141）

五.、例題分析及增補（142）六、習(xí)題解答（144）練習(xí)12（150）

參考書目....................................................151

11

第一章隨機事件

一、基本要求

1.了解隨機試驗的特點.

2.會用文字或式子描述隨機事件.

3.知道事件之間的四種關(guān)系及三種運算.

4.會用事件的關(guān)系和運算描述較為復(fù)雜的隨機事件.

二、內(nèi)容提要

1.隨機試驗的概念具有以下兩個特點的試

驗稱之為隨機試驗：

(1)試驗的所有可能結(jié)果是已知的或是可以確定的；

(2)每次試驗將要發(fā)生什么樣的結(jié)果是事先無法預(yù)知的.

隨機試驗又依其可否在相同條件下重復(fù)進(jìn)行分為：可重復(fù)試驗及不叮重復(fù)

試驗.本書絕大部分涉及的都是可重復(fù)試驗.

2.樣本空間和隨機事件

試驗所有可能結(jié)果的全體構(gòu)成樣本空間；稱試驗的每一個可能結(jié)果為樣本

點，樣本空間為全體樣本點的集合；隨機事件是對隨機試驗中出現(xiàn)的某些現(xiàn)象或

某種情況的陳述；它可以用試驗的某些可能結(jié)果加以描述，因而是樣本空間的子

集.往后也簡稱隨機事件為事件.

3.事件的關(guān)系隨機事件之間有

如卜.四種關(guān)系：

(1)包含關(guān)系稱力蘊含了⑸如果/發(fā)生必導(dǎo)致8發(fā)生，且記之為

⑷5.8.

(2)相等關(guān)系稱力與8相等，如果⑷5.8,刃5.力同時成立.

(3)互斥關(guān)系稱力與8互斥，如果A,8不能在一次試驗中同時發(fā)生.

(4)互補關(guān)系稱/與8互補，如果力，8在?次試驗中必發(fā)生一個且只

能發(fā)生一個.

4.事件的運算

1

隨機事件之間有如卜.三種運算：

（1）并的運算/與8的并產(chǎn)生這樣一個事件，即力，8至少發(fā)生一個,

記之為力U8.

（2）交的運算/與8的交產(chǎn)生這樣一個事件，即48同時發(fā)生，記之為

或AB.

（3）差的運算/與8的差產(chǎn)生這樣一個事件,即月發(fā)生且8不發(fā)生，記

之為4瓦或A-B.

三、學(xué)習(xí)要點

本章的重點是事件的概念及事件的關(guān)系和運算曲隨機試驗的特點決定了

事件的隨機性，這是本書學(xué)習(xí)一開始必須抓住的一個要點.其次，通過例題及習(xí)

題的訓(xùn)練要掌握運用事件的關(guān)系和運算,描述較為復(fù)雜的事件，這是本章學(xué)習(xí)的

基本要求.

四、釋疑解難

問L1樣本空間有什么性質(zhì)？

答樣本空間有以下兩個性質(zhì)：（1）每次試驗必有屬于樣本空間中的某個樣

木點發(fā)生；（2）樣本空間中的任意兩個不同的樣本點不會在同?次試驗中出現(xiàn).

問L2如何判定在一次特定試驗下事件月是否發(fā)生？

答事件力在該次試驗發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)包含在月中的樣本點在該次試驗下

發(fā)生例如擲一枚骰子的隨機試驗，事件力為出現(xiàn)偶數(shù)點，則當(dāng)且僅當(dāng)擲骰子的

結(jié)果出現(xiàn)2點，4點或6點之?時.事件/在該次試驗出現(xiàn).由此可見，一事件

在

一次試驗中是否發(fā)生，只有當(dāng)做了這次試驗之后才能判定，在試驗之前是無法預(yù)

知的（必然事件與不可能事件是僅有的兩個例外）.

問1.3并事件與交事件有何差別？

答我們以兩個事件為例，/與B的并事件AU8是由三部分樣本點組成，

即C）同時屬于/及歷（II）只屬于4

6111）只屬于8（見卜圖L1九而力與8

的交事件則僅僅由上述第（1）部分

的那些樣本點組成.

下面是一個實際例子：有線路甲、乙，

甲是并聯(lián)線路，乙是串聯(lián)線路（見圖1.2）.

記A,為元件/導(dǎo)通，/=1,2,…，心而

2

-d1I~~12I------HnI-

(甲)并聯(lián)線路(乙)申聯(lián)線路

圖L2

事件A為線路導(dǎo)通，今要求分別對甲乙兩種線路用諸人，或71，表示事件2.

對線路甲，只要1號到〃號元件中有一個導(dǎo)通線路就導(dǎo)通因而欲使線路甲

不通，必須從1號元件到。號元件每一-個都不通，也就是詒力廠4,同時

發(fā)生.西■麗Q444n….對線路乙，只有1號元件到A號元件均導(dǎo)通，線

路乙才能導(dǎo)通.因而只要1號到〃號元件中有一個不通，則線路乙不通，唬以,

力=4U4U…UA?.

而L4記兩種陳述有何差別？

(1)4,4,…，4有一個發(fā)生；

(2)4,4,…，4恰有一個發(fā)生.

答在陳述(1)(2)中都包含了A,AA只發(fā)生一個的情況，?但在陳

述

(2)排除了4,4,…，4,中有2個或2個以上同時發(fā)生的情況,而對陳述(\)

并未將這些情況排除在外事實上我們可表述如下.?

{A\,Ai,,An有一個發(fā)生/=4U4U…UAn；

{A,A,-,A,恰有一個發(fā)生/=『4k4P_447=45..燈4:7“一1

An.

五、例題分析及增補

例7有兩門火炮同時向一架飛機射擊，考察事件/=/擊落飛機)，依常

識；擊落飛機等價于擊中駕駛員'或者同時擊中兩個發(fā)動機如記8=，擊

中第7個發(fā)動機),/=1,2,C=，擊中駕駛員r受用8,C表示事件力"2)求Z.

析(1)依題中提示的常識‘，'力發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)或者擊中駕駛員這一事件發(fā)

生(即。發(fā)生人或者同時擊中兩個發(fā)動機這一事件發(fā)生.

而依事件運算的定義，后者即BR.因此力發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)C發(fā)生或者RR

發(fā)生，再由事件運算的定義，應(yīng)有/=CLB8.

(2)對(1)得出的結(jié)果，兩次運用對偶律

A.—CT\13\i3>—"O")(RUBz),

再使用運算規(guī)則分配律，得到力=C4U。區(qū).

3

例1.1將一枚均勻硬幣相繼投擲三次，觀察出現(xiàn)的面，記A,=(恰有，個

正面/=1,2,3,4=/有一個正面8=/沒有一個正面上。=，至多一個正面上

D=侄少二個正面人

(1)試寫出該試驗的樣本空間；

(2)試用4,4,4表示A,B,C,D.

解(1)我們用三元有序?qū)?a,a,aj表示一個試驗結(jié)果，其中a,表示第/

次投擲出現(xiàn)的面，a取+裳示出現(xiàn)正面，取-裝示出現(xiàn)反面，則一共有T=

8個可能試驗結(jié)果，于是樣本空間為；

C=(+++),(++-),(+~~),

(~~~),

(-+---+)」+-+),(-+

+)}.-----

(2)A=AUAi,B=A=AiA>A,

C=A\=AAA<UAi,D=AiAi.

例L2對某小區(qū)的住戶進(jìn)行抽樣調(diào)查.記事件/為被抽到的住戶有私家

車，8為被抽到的住戶是白領(lǐng)，。為被抽到的住戶是足球迷.

(1)試述事件/inBnEj含義；

(2)何時成立?inJ?Ac=c；

(3)什么條件下關(guān)系式⑷5.8成立.

解(1)/n/a示抽到的住戶是有私家車的白領(lǐng)，但非足球迷；

(2)欲使力只須。5./口8.因此只要該小區(qū)的住戶凡是足球

迷，都是有私家車的白領(lǐng)，則成立Anc=c；

(3)當(dāng)該小區(qū)的住戶中，有私家車的都是白領(lǐng)時，包含關(guān)系力15.8成立.

六、習(xí)題解答

1.用集合的形式寫出下列隨機試驗的樣本空間與隨機事件A：

(1)拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件/={兩次出現(xiàn)的面相同};

(2)記錄某電話總機一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，事件力={一分鐘內(nèi)呼叫次

數(shù)不超過3次};

(3)從一批燈泡中隨機抽取一只，測試其壽命，事件/={壽命在2()00

到

2500h之間).

解(1)。={(+,+),(+,

(-,-)).

(2)記X為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則

Q={X=klk=0,l,2,-},A={X=klk=0,l,2,3).

(3)記X為抽到的燈泡的壽命(單位：h),則

4

Q={XIXGfO,+8",月={兇XG(2GGG,2

500)}.

2.袋中有10個球，分別編有號碼1至10,從中任取1球，設(shè)力=/取得球

的號碼是偶數(shù)),8=/取得球的號碼是奇數(shù)九。=儆得球的號碼小于5九間下列

運算表示什么事件：

(1)月UB；(2)月B；(3)月C(IF力C,,石>月C；(Q)5UC；(V月-C,

解(1)月U8=C是必然事件；

(2)月8=是不可能事件；

(3)月。=/取得球的號碼是2,4〃

(4)取得球的號碼是1,3,5,6,7,8,9,108

(5)7廠C=f取得球的號碼為奇數(shù).且不小于5/=f取得球的號碼為5,7,91

(6)RT=MU=/取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)/=/取得球的號碼為

6,8,107；

(7)月-。=方。=(取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)/=，取得球的號碼

為

6,8,10；.

3.在區(qū)間［0,2］上任取--數(shù)，記力=把1,B=xA與炬飛一?

求下列事件的表達(dá)式彳11月UB；陪月B；Ci"B；(4)+uB.

解(1)月UB=把32;

(2)建BA-|O<A<-1<A<2nB

=2ux|l<A<-^—；

(3)因為月15.8,所以月B=；

(4)Ux|O<x-2〈正2

=1OWx<，或］VxWl或為〈把2.

4.用事件力.8,C的運算關(guān)系式表示下列事件：

(1)月出現(xiàn)，8,。都不出現(xiàn)6己為E)；

(2)月，8都出現(xiàn)，。不出現(xiàn)6己為E)；

(3)所有三個事件都出現(xiàn)(記為B)；

(4)三個事件中至少有一個出現(xiàn)(記為K)\

(5)三個事件都不出現(xiàn)(記為￡>；；

(6)不多于一個事件出現(xiàn)(記為E-J-,

(7)不多于兩個事件出現(xiàn)(記為B)\

(8)三個事件中至少有兩個出現(xiàn)(記為E).

3

解(1)E=MBC；2)K=MBC；

⑶E=麻；(A)&=鄧BUC；

⑸B=~PTB~C；66)&=F。咫。~7TBC；

(7)E=方宛二9方UTV(?))E=月加紀(jì)UBC.

5.一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè)月

表示事件第/次抽到廢品7/=1,2,3,試用方表示下列事件：

(1)第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；

(2)只有第一次抽到廢品；

(3)三次都抽到廢品；

(4)至少有一次抽到合格品；

(5)只有兩次抽到廢品.

解(1)月U月；(2)月方方；(3)月月月;

(CFUFUF；(5)月月FU月F月UF月月.

6.接連進(jìn)行三次射擊,設(shè)月=/第/次射擊命中九/=1,2,3,8=/三次射擊

恰好命中二次乙。=，三次射擊至少命中二次”試用力表示8和C.

解B=月月了U月一萬月U一月月月,

C=月月2月月U月月.

練習(xí)1

1.1某品牌產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)，然后由一家公司銷售，今從該公司銷售的該

種產(chǎn)品中隨機抽取一件，事件分為抽到的產(chǎn)品為合格品，事件Ji,Ji,Ji分別表示抽到的產(chǎn)

品為甲、乙、丙廠家生產(chǎn)的.試解釋下面事件等式的意義：月=力為u月月u月月.

1.2一檢驗員檢驗?zāi)嘲嘟M一天生產(chǎn)的0個產(chǎn)品的質(zhì)量，邢件力為第，,個產(chǎn)品為合格

品試用月，月，…，方表示下列事件：

(1)沒有一個次品；

(2)至少有一個次品；

(3)至多有一個次品；

(4)至少有兩個合格品.

1.3說明與5.5當(dāng)且僅當(dāng)為B=力.

答案和提示

1.2(1)月月…月;

(2)"Wu77u-u77；

(3)月月…月然//??,?,月1U月7/月U…U月月,…7//

(4)月4U4月U…U月月U…U月…月.

6

第二章事件的概率

一、基本要求

1.了解概率的統(tǒng)計定義及直觀意義.

2.學(xué)會正確使用占典概型及幾何概型確定概率的公式，計算簡單事件的

概率.

3.知道概率的公理化定義及概率的性質(zhì)，并能運用概率的性質(zhì)計算事件的

概率.

二、內(nèi)容提要

1.概率的概念

概率是隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，因而是隨機事件不確定性的度量.

概率的統(tǒng)計定義揭示了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，即概率是頻率的穩(wěn)定值.在實

際應(yīng)用中可用作概率的近似計算.

2.占典概型及概率的確定稱有以下兩個特

點的隨機試驗為占典概型：（1）（有限性）試

驗的可能結(jié)果只有有限個；

（2）（等可能性）各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的.

其事件的概率的計算公式為：

向一有利r方的樣本點數(shù)二女

5一樣本點總數(shù)一n，

3.幾何概型及概率的確定

兒何概型是古典概型的推廣，即保留等可能性而去掉有限性的限制，即容許

試驗可能結(jié)果有無窮多個.

其計算概率的公式為：

P（旬二竺勾

其中C為所有可能試驗結(jié)果所處的某空間區(qū)域，S，,是C的一個子區(qū)域，為事件

力的樣本點在區(qū)域。中的相對位置.

7

4.概率的公理化定義及性質(zhì)

滿足以F三個公理的一個集函數(shù)稱之為概率：

公理1（非負(fù)性）對每一事件與OW/Y例W1.

公理2（規(guī)范性）PQ—1.

公理3（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件月,月，…，有

88

PU月-VP（月）.

概率有如下性質(zhì)：一

（1）P（7-o；

（2）凡用一\-P（同;

（3）P（B）—P（用+P（B）-P（月B）；

（4）蕭取B,那P（B-用一P（B）-P（用，AP（用SP（B）.

三、學(xué)習(xí)要點

本章重點是能正確使用古典概型的計算公式；了解并正確運用概率的性質(zhì).

注意：這里的要點是正確例如要使用古典概型的求概率公式，必須判斷二個前

提條件，即有限性和等可能性.下面看二個例F.

例21擲兩枚均勻硬幣,觀察出現(xiàn)的面，求事件為一/一正一反/發(fā)生的概

率.

解法一樣本空間a=｛二正，二反，一正一反｝，包含了三個樣本點，而月

含有其中之一，因而/￥力一1/3.

解法二樣本空間c一"正，正九（反，反九（正，反九位，正）人包含了

四個樣本點，而為含有其中二個，因而ZY旬一2/4=1/2.

以上兩種解法是由于對樣本空間取不同的劃分，因而得到不同的解所謂樣

本空間的劃分，即將樣本空間。分割成一些兩兩不交子集，每個子集可由若干

個樣本點組成，有些教材也稱這些子集為基本事件在本例Q可看成。的?個

劃分，其中基本事件（一正一反）有兩個樣本點HE,反九（反，正）組成.對樣本

空間進(jìn)行劃分有時會使求解變得容易.但樣本空間的劃分必須滿足等可能性這

一條件，即各個基本事件的發(fā)生是等可能的.由此可知解法-是錯誤的，解法二

是正確的.事實上，在C中三個基本事件f二正九/二反）,f一正一反/不是等可

能的.

例22設(shè)為8為二個事件，/V用一Q6,P（B）-Q.\,P（月B）—Q2,求

P

（月-B）.

解法一P（月-B）-P（月-P（B）-Q6-Q4=Q2.

8

解法二P（月-B）—P（月-月B）—P（月-P（即）S-Q2=QA.

以上解法都是使用概率的性質(zhì)（4）,但解法一是錯的，解法二正確.此四性質(zhì)

（4）的條件是815.用但此例的月8并不知道是否符合這?條件，因而不能直接

使用性質(zhì)（4,.然而正如解法二，作事件的恒等變換月一B一月一加以后，則有

月引5.為因此可用性質(zhì)僅九

四、釋疑解難

問21對于有放回抽取與無放回抽取這兩種情況，在計算概率時有何差

別？

答有放回和無放回抽取這兩種情形，使用的計數(shù)公式是不同的，因而概率

計算是不同的加：從1到〃個數(shù)字中有放回地連續(xù)抽取/力個，一共有4個不

同的可能結(jié)果，,而如改成無放回抽取，則共有n（n-\）-（n-m+U個可能結(jié)果

在應(yīng)用中須判明究竟是有放回還是無放回，這一點是重要的.

下面看一個例子:將切個球隨機地放入〃個盒子中建/加，分兩種情況

求事件力彳指定的一盒沒有球/的概率"U每盒至多只能放一個球"2」盒子容

納的球數(shù)沒有限制.

這是個球入盒的問題，等價于從編號1到〃的盒子中隨機抽取m次（每次

一盒，的抽取問題.在情形門，對應(yīng)無放回抽取，而情形（2）則是有放回抽取.因

而

藥情形力年（n-\-m+\）n^m

~n（n-V-（n-m+\）-n-n'.而在情形

（2、。（切_屹17--1.

nn

問22在古典概型的概率計算中，把握等可能性是難點之一.現(xiàn)見一例:

擲兩枚骰子，求事件月一，點數(shù)之和等于54的概率.下面的解法是否正確7如不

正確，錯在哪里，解法?,因試驗可能結(jié)果只有兩個，一是點數(shù)之和為5,另一個是

點數(shù)之和不等于5,而事件力只含有其中的一種，因而P（/D-V2.

答此解法是錯誤的，這種解法是對樣本空間進(jìn)行了不正確的劃分，分割出

的兩部分不是等可能的，因而不能據(jù)此進(jìn)行計算.

正確的解法如卜：擲二枚骰子的樣本空間可形象地表為：。?

1,2,….6）,數(shù)對（7,〃表示二枚骰子分別出現(xiàn)的點數(shù)，因而一個數(shù)對即對應(yīng)著一

個樣本點，一共含有6'2-36個這樣的數(shù)對，每個數(shù)對出現(xiàn)的可能性都等于1/36.

而事件力只含有“，4九（2,3）,（4,1九（3,2）這樣四個數(shù)對.因而P（用一2

一62

_1

1.

9

問23在幾何概型的概率計算中,關(guān)鍵在于正確地刻畫出事件目所對應(yīng)

的子區(qū)域S〃,在下例中找出S”是什么？

例(即習(xí)題二第9題)甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?h,假定它

們在一晝夜的時間段中隨機地到達(dá)，試求這兩觸船中至少有一艘在?？坎次粫r

必須等待的概率.

我們記該事件為月甲、乙到達(dá)時間分別

為x,y(單位：h),則Q―{(x,y)：0<x<24,為

乃24,為求S,注意到，儂生當(dāng)且僅當(dāng)甲乙

到達(dá)時間之差不超過6h,E|J/x-yl<5,

因而

S”T(x,y).-C^A<24,CKj<24,1x-yl<6}.

即圖2.1中陰影部分區(qū)域.所以

/S”T_2X》24-6)

P(用

C242

=1_1￡=1=1_

2116"16,

問24今有某超市抽獎銷售，設(shè)共有〃張券，其中只有?張有獎.問若每

人只能抽一張，第4個人抽到有獎的概率是多少？試就有放回、無放回兩種方式

回答該問題.

答在有放回情形，第4個人抽與第1個人抽情況相同，因而所求概率為

1:在無放回情形，樣本點總數(shù)為n(n-\)-(n-1人而有利樣本點數(shù)

%

(n-\)(n-2)"-[n-1-+所求概率為

)二(n-k+1)1

n(n-\)—(n-k+\)n

值得注意的是：兩種不同的抽樣方式得到的解答是?樣的，而且此概率值與

抽樣次數(shù)A無關(guān)這表明通常抽獎設(shè)計為無放回抽取可簡化抽獎活動的程序，且

對每個參加活動的人來說都是機會均等的.

問25概率為0的事件是否必定為不可能事件？

答不是.反例如下：今向(0,1)區(qū)間隨機投點，事件方為落點恰好在1/2

處'，'顯然事件"E不可能事件，但P(JD-0.

10

五、例題分析及增補

例21設(shè)某電子元件按每100件裝箱，已知指定的一箱中有3件次品.今

從中隨機無放回抽取切件（3W次100九求事件力T至少有一次品/的概率,

解法一直接計算用I勺樣本點數(shù)是比較復(fù)雜的，先進(jìn)行事件分解，令月

/恰好有了個次品/,/T,2,3,則有

月一月U月U月，

且月,月，月互斥因而復(fù)雜事件那概率計算歸結(jié)為較為簡單的事件力的概

率計算我們有

397

m-/

P（月）100

m

最后使用概率的可加性，得到

P（月）P（J^）+P（月）+P（月）

1397+397,397

1001/；?-12m-23m-3

m

解法二先求對立事件方的概率，注意到

397

PE一/Yf沒有次品力,常.

m

再使用概率性質(zhì)，可得：

97

P（用T-PT用Tm

100

m

以上兩種解法，解法二明顯優(yōu)于解法一，且比較兩種解法，還可得到以下恒

等式

397Im

V.一,”3—100.

1m-Ini

例2.2在15個新生中有3個外籍生，今將這15個新生隨機地編入三個班

（每個班5人），求下述事件4B的概率:

力一f每班有一名外籍生

8=｛三名外籍生同在一個班｝

11

解先求樣本點總數(shù),15個人按5,5,5分成三組，共有丁梟亍”不同分

1KI

法（稱之為多項系數(shù)）.每種分法對應(yīng)一-個樣本點，因而樣本點總數(shù)為二.「

為計算有利于月的樣本點數(shù)，注意到3個外籍生分到三個班，各分一個的

19I

分法有3x2x1種，剩卜.12個新生平均分到三個班，有，?!1匹不同的分法.

因而依計數(shù)原理可知，有利于力的樣本點數(shù)為3因47孑；’4產(chǎn)是

。/加o>.12//_.15/__5：ix3/

P（月.4/4/4/5/5/5!15x14x13,

下面計算有利于8的樣本點數(shù),3個外籍生分在同一班有3種不同分法，剩

19I

下12個新生按5,5,2分入三個班，共有展「皆”種不同分法.因而有利「/的

樣本點數(shù)為3x---?所以

0.0.乙.

金12.，勺q.2!324

15//5/5/5!15x14x13'

例23—半徑為r的錢幣隨機地落在邊長為/

的正方形桌面卜4/〉2刀，求事件力一/錢幣不與桌面

的四條邊相交，的概率.

解取錢幣的圓心為。，由于錢幣總是落在桌面

上，因而圓心。必落在正方形桌面，樣本空間對應(yīng)的

區(qū)域為邊長/的正方形.注意到事件力發(fā)生，當(dāng)且僅

當(dāng)錢幣中心。距該桌面四條邊不小于匚因而事件力

所對應(yīng)的區(qū)域為距C的四條邊均為廣的小正方形S〃

（見圖2一2）.于是

歡用T（1-2r）,,_2r

/1I

三習(xí)題解答

1.從--批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有

1件次品的概率.

解這是無放回抽取,樣本點總數(shù)/?=手，記所求概率的事件為月則有

V

12

4S5

利于邠J樣本點數(shù)在一11.于是

455

“用k」_145,44'5x3!99

P(月--———------------——

n505049x48x2/392,

3

2.一口袋中有5個紅球及2個白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后

放回袋中，然后，再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時袋中各個球被取到的可能

性相同.求

(1)第一次、第二次都取到紅球的概率；

(2)第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；

(3)二次取得的球為紅、白各一的概率；

(4)第二次取到紅球的概率.

解本題是有放回抽取模式，樣本點總數(shù))=7?,記(D(2)(3)(4)題求概率

的事件分別為月,B,C,D.

(1)有利于方的樣本點數(shù)人小，故。(月一］■2譚；

(2)有利于8的樣本點數(shù)k,>-5x2,故P(B)一患；

(3)有利于。的樣本點數(shù)kc-2x5x2,故P(C)~猾

(4)有利于。的樣本點數(shù)k,>-7x5,故P(D)一簟葦-4.

3.一個I」袋中裝有6只球，分別編上號碼1至6,隨機地從這個口袋中取2

只球，試求：(1)最小號碼是3的概率；(2)最大號碼是3的概率.

解本題是無放回模式,樣本點總數(shù)〃=6、5.

(1)最小號碼為3,只能從編號為3,4,5,6這四個球中取2只，且有一次抽

到3,因而有利樣本點數(shù)為2x3,所求概率為鬻=

0x03

(2)最大號碼為3,只能從1,2,3號球中取，且有一次取到3,于是有利樣本

9x99

點數(shù)為2x2,所求概率為公=、

0X010

4.一個盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作無放回抽

樣，接連取2次，每次取1只，試求下列事件的概率：

(1)2只都是合格品；

(2)1只是合格品，1只是不合格品；

(3)至少有1只是合格品.

13

解分別記題(1),(2),(3)涉及的事件為力旦C則

4

(1)p(同一上一^乩一2.

66x5x25'

2

42

p/o>_11=4x2x2=_8,.

(2)P(B)

-6(匹15

2

(3)注意到。一鳳氏且月與8互斥，因而由概率的可加性知

P(C)-P(月+P(B).

5la15

5.擲兩顆骰子，求下列事件的概率：

(1)點數(shù)之和為7；(2)點數(shù)之和不超過5；(3)點數(shù)之和為偶數(shù).

解分別記題(1),(2),(3)的事件為MB,C樣本點總數(shù)/?-62.

(1)方含樣本點含，5本(5,2九門，6九(6,1九/3,4九〈4,3九所以

P(沏」一i；

0b

(2)8含樣本點11,1九門，2九(2,1九門，3九⑶<1,4九<4,1九⑵

2),<2,3九<3,2人所以

105

(3)C含樣本點“，1九a,i),63,\),A,5；,65,1；.(2,2),②4),M,

2),

62,6；,66,2九(3,3九(3,52(5,3),[4,4),(4,6),66,47,65,5；,(6,6人一共

18

個樣本點，所以

p('C)—36-2-,

6.把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機地分配到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍

最多盯住8人，試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率.

解記求概率的事件為月樣本點總數(shù)為而有利力的樣本點數(shù)為5x

一5x4x312

4x3,所以P(月)一53^25-

7一總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位秘書，求下列

事件的概率：

(1)事件4其中恰有?位精通英語'：

(2)事件陰其中恰有二位精通英語7

(3)事件C其中有人精通英語

14

解樣本點總數(shù)為，

3

23

門、0/日々12-2x3?3/-^6—3；

(1)P(月夕—-----聲口1703

J1

3

23

2