2024屆湖北省鄂州市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆湖北省鄂州市數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．2．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且公比，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知向量，滿足：則A． B． C． D．5．已知直線，，若，則（）A．2 B． C． D．16．在中，，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內(nèi)的一組基底；D．若，都是單位向量，則.8．袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個 D．恰有一個白球；一個白球一個黑球9．已知向量滿足.為坐標(biāo)原點，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．10．等比數(shù)列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為_______．12．在中，角、、所對應(yīng)邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______13．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，則________.14．不等式的解集是_________________15．某市三所學(xué)校有高三文科學(xué)生分別為500人，400人，300人，在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從三所高三文科學(xué)生中抽取容量為24的樣本，進(jìn)行成績分析，則應(yīng)從校高三文科學(xué)生中抽取_____________人．16．若，且，則的最小值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的前n項和.18．某城市交通部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中x的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.19．已知圓.（1）求圓的半徑和圓心坐標(biāo)；（2）斜率為的直線與圓相交于、兩點，求面積最大時直線的方程.20．如圖長方體中，，分別為棱，的中點（1）求證:平面平面；（2）請在答題卡圖形中畫出直線與平面的交點（保留必要的輔助線），寫出畫法并計算的值（不必寫出計算過程）．21．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設(shè)出圓心，由點到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【題目詳解】因為兩條直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設(shè)圓心坐標(biāo)為,則點到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：.【題目點撥】本題主要考查求解圓的方程,同時又進(jìn)一步考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線性質(zhì)等.本題也注重考查審題能力,分析問題和解決問題的能力.難度較易.2、D【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解題分析】

由可得，結(jié)合可得結(jié)果.【題目詳解】，，，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

利用向量的數(shù)量積運算及向量的模運算即可求出．【題目詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積運算和向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

當(dāng)為,為,若,則,由此求解即可【題目詳解】由題,因為,所以,即,故選:D【題目點撥】本題考查已知直線垂直求參數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題6、B【解題分析】

將,分別代入中,整理可得,即可得到,進(jìn)而得到結(jié)論【題目詳解】由題可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故選B【題目點撥】本題考查三角形形狀的判定,考查和角公式,考查已知三角函數(shù)值求角7、C【解題分析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【題目詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結(jié)論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結(jié)論不成立，所以D錯誤．故選C．【題目點撥】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

由題意逐一考查所給的事件是否互斥、對立即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，逐一分析所給的選項：在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立．在B中，至少有一個白球和至少有一個紅球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個白球和紅、黑球各一個兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，故C成立；在D中，恰有一個白球和一個白球一個黑球兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立；本題選擇C選項.【題目點撥】“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．9、A【解題分析】

不妨設(shè)，由得出點的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【題目詳解】不妨設(shè)則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【題目點撥】本題主要考查了集合的應(yīng)用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.10、B【解題分析】

將與用首項和公比表示出來，解方程組即可.【題目詳解】因為，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【題目點撥】本題考查求解等比數(shù)列的基本量，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

推導(dǎo)出a1＝1，a2＝2×1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出數(shù)列{an}的通項公式．【題目詳解】∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2時，22n﹣2，∴數(shù)列{an}的通項公式為．故答案為：．【題目點撥】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系，考查運算求解能力，分類討論是本題的易錯點，是基礎(chǔ)題．12、18【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式找到的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】根據(jù)題意，，因為的平分線交于點，且，所以而所以，化簡得則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，即最小值為.故答案為：【題目點撥】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計算能力，屬于中等題型13、【解題分析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】拋物線的焦點F為，當(dāng)斜率不存在時，易知，故；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【題目點撥】本題考查了拋物線中線段長度問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14、【解題分析】

可先求出一元二次方程的兩根，即可得到不等式的解集.【題目詳解】由于的兩根分別為：，，因此不等式的解集是.【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的求解，難度不大.15、8【解題分析】

利用分層抽樣中比例關(guān)系列方程可求.【題目詳解】由已知三所學(xué)?？?cè)藬?shù)為500+400+300=1200，設(shè)從校高三文科學(xué)生中抽取x人，由分層抽樣的要求及抽取樣本容量為24，所以，，故答案為8.【題目點撥】本題考查分層抽樣，考查計算求解能力，屬于基本題.16、【解題分析】

將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【題目詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【題目點撥】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）直接利用等比數(shù)列公式計算得到答案.（2），，利用錯位相減法計算得到答案.【題目詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，顯然.，.兩式聯(lián)立得:，，.（2），所以.則，①，②，①-②得：.所以.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列通項公式，錯位相減法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.18、（1）0.02（2）平均數(shù)77，中位數(shù)（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程能求出x．（2）由頻率分布直方圖能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．（3）滿意度評分值在[50，60）內(nèi)有5人，其中男生3人，女生2人，記“滿意度評分值為[50，60）的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A，利用古典概型能求出2人均為男生的概率．【題目詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設(shè)為m，則，解得.（3）滿意度評分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為記“滿意度評分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A則總基本事件個數(shù)為10個，A包含的基本事件個數(shù)為3個，利用古典概型概率公式可知.【題目點撥】本題考查頻率平均數(shù)、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；（2）或．【解題分析】

（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離，計算出直線截圓的弦長，利用基本不等式可得出的最大值以及等號成立時對應(yīng)的的值，利用點的到直線的距離可解出實數(shù)的值.【題目詳解】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，因此，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為；（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離，則，且，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由點到直線的距離公式得，解得或.因此，直線的方程為或．【題目點撥】本題考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化，以及直線截圓所形成的三角形的面積，解題時要充分利用幾何法將直線截圓所得弦長表示出來，在求最值時，可利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、(1)見證明；(2)；畫圖見解析【解題分析】

（1）推導(dǎo)出平面，得出，得出，從而得到，進(jìn)而證出平面，由此證得平面平面．（2）根據(jù)通過輔助線推出線面平行再推出線線平行，再根據(jù)“一條和平面不平行的直線與平面的公共點即為直線與平面的交點”得到點位置，然后計算的值．【題目詳解】（1）證明：在長方體中，，分別為棱，的中點，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因為在中，，所以，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面（2）如圖所示：設(shè)，連接，取中點記為，過作，且，則.證明：因為為中點，所以且；又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因為，所以，且平面，所以平面；又因為，則，平面，即點為直線與平面的交點；因為，所以，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為，.【題目點撥】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．21、(1);(2).【解題分析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三