2024屆湖南省邵陽市邵東縣邵東一中高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆湖南省邵陽市邵東縣邵東一中高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（）A． B． C． D．2．已知向量，且，則（）A． B． C． D．3．已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量＝，＝(cosA，sinA)，若與夾角為，則acosB＋bcosA＝csinC，則角B等于()A． B． C． D．4．已知平面上四個互異的點、、、滿足：，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形5．已知滿足，且，那么下列選項中一定成立的是()A． B． C． D．6．是()A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)7．設點是函數(shù)圖象士的任意一點，點滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程在上有且只有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標為（）A． B． C． D．10．在中，是上一點，且，則（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的最小值為_______．12．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項______.13．如圖，圓錐形容器的高為圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐形容器倒置，水面高為，則等于__________．（用含有的代數(shù)式表示）14．把數(shù)列的各項排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．15．若點在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=________.16．棱長為，各面都為等邊三角形的四面體內(nèi)有一點，由點向各面作垂線，垂線段的長度分別為，則=______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA上，設；(2)點M是圓弧AB的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關于直線OM對稱，頂點C、F分別在半徑OB、OA上，設；試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？18．某百貨公司1～6月份的銷售量與利潤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份123456銷售量x（萬件）1011131286利潤y（萬元）222529261612附：（1）根據(jù)2～5月份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過萬元，則認為得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？（參考公式：，）19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，等式成立？20．已知，且（1）當時，解不等式；（2）在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）設，求點到面的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知、、成等比數(shù)列,即可得關于的等式,化簡即可得解.【題目詳解】等比數(shù)列的前n項和為,若,,根據(jù)等比數(shù)列前n項和性質(zhì)可知,、、滿足：化簡可得故選：D【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及簡單應用,屬于基礎題.2、A【解題分析】

直接利用向量平行的充要條件列方程求解即可.【題目詳解】由可得到.故選A【題目點撥】利用向量的位置關系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.3、B【解題分析】

根據(jù)向量夾角求得角的度數(shù)，再利用正弦定理求得即得解.【題目詳解】由已知得：所以所以由正弦定理得：所以又因為所以因為所以所以故選B.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積和正弦定理，屬于中檔題.4、C【解題分析】

由向量的加法法則和減法法則化簡已知表達式，再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質(zhì)得解.【題目詳解】設邊的中點，則所以在中，垂直于的中線，所以是等腰三角形.故選C.【題目點撥】本題考查向量的線性運算和數(shù)量積，屬于基礎題.5、D【解題分析】

首先根據(jù)題意得到，，結合選項即可找到答案.【題目詳解】因為，所以.因為，所以.故選：D【題目點撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于簡單題.6、A【解題分析】

將函數(shù)化為的形式后再進行判斷便可得到結論．【題目詳解】由題意得，∵，且函數(shù)的最小正周期為，∴函數(shù)時最小正周期為的偶函數(shù)．故選A．【題目點撥】判斷函數(shù)最小正周期時，需要把函數(shù)的解析式化為或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．7、B【解題分析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分。利用點到直線的距離公式，求出最小值。【題目詳解】函數(shù)化簡得。圓心坐標,半徑為2.所以【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，屬于基礎題。8、A【解題分析】

先輔助角公式化簡,先求解方程的根的表達式,再根據(jù)在上有且只有三個實數(shù)根列出對應的不等式求解即可.【題目詳解】.又在上有且只有三個實數(shù)根,故,解得或,即或,.設直線與在上從做到右的第三個交點為,第四個交點為.則,.故.故實數(shù)的取值范圍為.故選：A【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的根求解參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意先求解根的解析式,進而根據(jù)區(qū)間中的零點個數(shù)列出區(qū)間端點滿足的關系式求解即可.屬于中檔題.9、C【解題分析】

縱豎坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)．【題目詳解】點關于平面對稱的點的坐標為．故選C．【題目點撥】本題考查空間直角坐標系，屬于基礎題．10、C【解題分析】

利用平面向量的三角形法則和共線定理，即可得到結果．【題目詳解】因為是上一點，且，則．故選：C．【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算和共線定理的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

運用基本不等式求出結果.【題目詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【題目點撥】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.12、【解題分析】

直接利用數(shù)列的遞推關系式和疊加法求出結果．【題目詳解】因為，所以當時，.時也成立.所以數(shù)列的通項.【題目點撥】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，疊加法在數(shù)列中的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎題．13、【解題分析】

根據(jù)水的體積不變，列出方程，解出的值，即可得到答案.【題目詳解】設圓錐形容器的底面面積為，則未倒置前液面的面積為，所以水的體積為，設倒置后液面面積為，則，所以，所以水的體積為，所以，解得.【題目點撥】本題主要考查了圓錐的結構特征，以及圓錐的體積的計算與應用，其中解答中熟練應用圓錐的結構特征，利用體積公式準確運算是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.14、【解題分析】

利用第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，得的位置即可求解【題目詳解】因為第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，所以應該在第11行倒數(shù)第二個數(shù)，所以的位置為.故答案為：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個數(shù)成等差是關鍵，是基礎題15、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點求出冪函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求法，即可求解．【題目詳解】因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，則，所以原函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：【題目點撥】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求法，以及反函數(shù)的求法，其中熟記反函數(shù)的求法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、．【解題分析】

根據(jù)等積法可得∴三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、方式一最大值【解題分析】

試題分析：(1)運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；（2）重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當選擇公式進行變形；（3）把形如化為，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值和對稱性.試題解析：解（1）在中，設，則又當即時，（Ⅱ）令與的交點為，的交點為，則，于是，又當即時，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式下矩形面積的最大值為方式一：考點：把實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題.18、(1)；（2）見解析.【解題分析】

（1）求出，由公式，得的值，從而求出的值，從而得到關于的線性回歸方程；（2）將月份和月份的銷售量值代入回歸直線方程，求出預測值，并計算預測值與實際值之間的誤差，結合題意來判斷（1）中所得回歸直線方程是否理想。【題目詳解】（1）計算得，，，則，；故關于的回歸直線方程為．（2）當時，，此時；當時，，此時．故所得的回歸直線方程是理想的．【題目點撥】本題考查回歸直線方程的應用，解題的關鍵就是弄清楚最小二乘法公式，并準確代入數(shù)據(jù)計算，著重考察計算能力，屬于中等題。19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，得出，解出該不等式即可得出函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得出關于的方程，解出即可.【題目詳解】（1）由，得，所以，函數(shù)定義域為；（2）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合題意，所以，當時，等式成立.【題目點撥】本題考查了對數(shù)運算以及簡單的對數(shù)方程的求解，解題時不要忽略真數(shù)大于零這一條件的限制，考查運算求解能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）當時，可得，即為，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，討論，根據(jù)的范圍，由恒成立思想，可得的范圍.試題解析：（1）當時，解不等式，得，即，故不等式的解集為.（2）由在恒成立，得在恒成立，①當時，有，得，②當時，有，得，故實數(shù)的取值范圍.21、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般用到線面垂直的性質(zhì)定理，即先要證線