2024屆安徽省六安二中河西校區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆安徽省六安二中河西校區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎金萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年2．某學(xué)生4次模擬考試英語作文的減分情況如下表：顯然與之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為()A． B．C． D．3．的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．4．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知分別為內(nèi)角的對邊,若,b=則=()A． B． C． D．6．已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知，其中，則（）A． B． C． D．9．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球10．?dāng)?shù)列中，對于任意，恒有，若，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當(dāng)時，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為________.12．不等式的解集是______．13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____14．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.若對任意，都有恒成立，則的取值范圍是_____15．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時21海里的速度航行，一個燈塔M原來在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過40分鐘后，測得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來的距離是_____海里．16．圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側(cè)面積是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．18．已知的三個內(nèi)角、、的對邊分別是、、，的面積，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，邊上的高，求的值.19．設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量,,.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值.21．正項(xiàng)數(shù)列：，滿足：是公差為的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列.（1）若，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整數(shù)，滿足?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】試題分析：設(shè)從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點(diǎn)】增長率問題，常用對數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時要注意把哪個數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．2、D【解題分析】

求出樣本數(shù)據(jù)的中心，代入選項(xiàng)可得D是正確的.【題目詳解】，所以這組數(shù)據(jù)的中心為，對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證，可知只有過樣本點(diǎn)中心.【題目點(diǎn)撥】本題沒有提供最小二乘法的公式，所以試題的意圖不是考查公式計(jì)算，而是要考查回歸直線過樣本點(diǎn)中心這一概念.3、B【解題分析】

由角度與弧度的關(guān)系轉(zhuǎn)化．【題目詳解】-150．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查角度與弧度的互化，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)系式：．4、B【解題分析】

根據(jù)大邊對大角定理知邊長為所對的角不是最大角，只需對其他兩條邊所對的利用余弦定理，即這兩角的余弦值為正，可求出的取值范圍．【題目詳解】由題意知，邊長為所對的角不是最大角，則邊長為或所對的角為最大角，只需這兩個角為銳角即可，則這兩個角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來決定，并利用余弦定理結(jié)合余弦值的符號來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其關(guān)系如下：為銳角；為直角；為鈍角.5、D【解題分析】

由已知利用正弦定理可求的值，根據(jù)余弦定理可得，解方程可得的值．【題目詳解】，，，由正弦定理，可得：，由余弦定理，可得：，解得：，負(fù)值舍去．故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

根據(jù)在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.【題目詳解】,使得在區(qū)間上為增函數(shù)可得當(dāng)時，滿足整數(shù)至少有,舍去當(dāng)時，，要使整數(shù)有且僅有一個,須,解得:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)值,解題關(guān)鍵是掌握正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解法和結(jié)合三角函數(shù)圖象求參數(shù)范圍,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.7、C【解題分析】

先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是可求出，再利用參變量分離法得到，利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最小項(xiàng)的值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】當(dāng)時，，即，得；當(dāng)時，由，得，兩式相減得，得，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，.，由，得，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，其最小項(xiàng)為，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)，其關(guān)系式為，其次考查了數(shù)列不等式與參數(shù)的取值范圍問題，一般利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化問題，屬于中等題．8、D【解題分析】

先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再根據(jù)二倍角正切公式得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以，因此，從而，，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項(xiàng)A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項(xiàng)B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項(xiàng)D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項(xiàng)C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.10、D【解題分析】因?yàn)?所以

,

.選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和.【題目詳解】數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當(dāng)時，則，所以（常數(shù)），故，所以數(shù)列的前項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.從項(xiàng)開始，由于，所以奇數(shù)項(xiàng)為、偶數(shù)項(xiàng)為，所以，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，同時也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.12、【解題分析】

由題可得，分式化乘積得，進(jìn)而求得解集．【題目詳解】由移項(xiàng)通分可得，即，解得，故解集為【題目點(diǎn)撥】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案?！绢}目詳解】設(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學(xué)校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

代入求得，利用遞推關(guān)系式可得，從而可證得和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得通項(xiàng)；根據(jù)恒成立不等式可得到不等式組：，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，，解得：由得：是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，恒成立，解得：即的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，從而分別求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)所需的單調(diào)性得到不等關(guān)系.15、【解題分析】

畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【題目詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是能通過題意將航海問題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問題.16、【解題分析】分析：由已知中圓錐的底面半徑是，高是，由勾股定理，我們可以計(jì)算出圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到結(jié)論.詳解：圓錐的底面半徑是，高是，圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積公式，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐側(cè)面積公式，意在考查對基本公式的掌握與理解，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1，從而得到{an}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項(xiàng)和為Sn==n（n+1），再由=a1Sk+1，求得正整數(shù)k的值．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1．∴{an}的通項(xiàng)公式an=1+（n﹣1）1=1n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項(xiàng)和為Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+1成等比數(shù)列，∴=a1Sk+1，∴4k1=1（k+1）（k+3），k="2"或k=﹣1（舍去），故k=2．考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由面積公式推出，代入所給等式可得，求出角C的余弦值從而求得角C；（Ⅱ）首先由求出邊c，再由面積公式代入相應(yīng)值求出邊b，利用余弦定理即可求出邊a.【題目詳解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，將代入中得，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解題分析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【題目詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當(dāng)b＝c＝1時，等號成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．20、（1）1（2）【解題分析】

（1）.若,則，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求的值；

（2）.若與的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求的值．【題目詳解】（1）由，則即，所以所以（2），又與的夾角為，則即即由，則所以，即【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）84；（2）1033；（3）存在，【解題分析】

（1）由題意可得：，即為：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；可得的值；（2）由題意可得，故有；即，即必是2的整數(shù)冪，要最大，必需最大，，可得出的最大值；（3）由是公差為的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，可得與，可得k與m的方程，一一驗(yàn)算k的值可得答案.【題目詳解】解：（1）由已知，故為：2，4，6，8，10，12，14，16；公比為2，則對應(yīng)的數(shù)為2，4，8，16，