同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

課時(shí)5同角三角函數(shù)的基本關(guān)系新授課1.理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其推導(dǎo)．2.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明．目標(biāo)一：理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其推導(dǎo)．

任務(wù)：結(jié)合三角函數(shù)的定義，借助單位圓探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

如圖，設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A，則△OAP是直角三角形，且OP=1.問(wèn)題：

1.sinα與cosα之間有什么數(shù)量關(guān)系？2.tanα與sinα、cosα之間有什么數(shù)量關(guān)系關(guān)系（其中

）？解：1.由圖利用勾股定理可知：

，結(jié)合三角函數(shù)的定義可知：

，當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，公式也成立.2.當(dāng)

時(shí)，由三角函數(shù)的定義可知

.歸納總結(jié)平方和關(guān)系：商關(guān)系：目標(biāo)二：會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明．

任務(wù)1：求解下列三角函數(shù)值，并嘗試歸納求解的方法及注意事項(xiàng).

若

，求cosα，tanα的值.解：∵

，∴α是第三、第四象限角，

當(dāng)α是第三象限角時(shí)，

cosα=，tanα=;

當(dāng)α是第四象限角時(shí)，

cosα=，tanα=.歸納總結(jié)1.已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．2.若角α所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角α所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果．注意：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號(hào)．

任務(wù)2：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)、求值.若角α是第二象限角，化簡(jiǎn)：tanα

.

解：原式＝tanα

，

因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sinα>0，cosα<0，

所以原式＝

.歸納總結(jié)1.切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)種類以便化簡(jiǎn).2.對(duì)含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.3.對(duì)于化簡(jiǎn)高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用“1”的代換，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)目的.注意：應(yīng)用平方關(guān)系式求sinα或cosα?xí)r，牢記其正負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定的.

任務(wù)3：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明關(guān)系式.求證：

證明：

，

，左邊=

=右邊.

所以原式成立.歸納總結(jié)1.證明恒等式的一般思路如下：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡(jiǎn)；(2)左右開(kāi)工，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)．2.常用的技巧：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)．3.證明或求解時(shí)要有“整體代換”思想．練一練求證：

證明：右邊====