等式的性質(zhì)與方程的解集 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊

2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集新授課2.1等式1.能運(yùn)用等式的性質(zhì)及恒等式進(jìn)行代數(shù)變形2.會求一元一次方程以及一元二次方程的解集

回顧：下列等式的性質(zhì)怎么用符號語言表示？若a=b，則?c，a+c=b+c.知識點(diǎn)1：等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；(2)等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.若a=b，則?c≠0，ac=bc.思考：c≠0有什么作用，可以去掉嗎？c在不為零的條件下，a=b是ac=bc的充要條件.

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).因此上述等式性質(zhì)中的“加上”與“乘以”，如果分別改為“減去”與“除以”，結(jié)論仍成立.

思考：將下列含有字母的等式進(jìn)行分類，并說出分類的標(biāo)準(zhǔn)等式①②④⑥對任意實(shí)數(shù)都成立，而等式③⑤只是存在實(shí)數(shù)使其成立.知識點(diǎn)2：恒等式④(a+b)c=ac+bc；⑤

m(m-1)=0；⑥

t3+1=(t+1)(t2-t+1).①

a2-b2=(a+b)(a-b)；②(x+y)2=x2+2xy+y2；③3x-6=0；恒等式是進(jìn)行代數(shù)變形的依據(jù)之一.

(x+y)2=x2+2xy+y2

(x-

z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2用-z替換y

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等.例1

化簡(2x+1)2-(x-1)2解：(方法一）可以利用兩數(shù)和的平方公式與兩數(shù)差的平方公式展開，然后合并同類項(xiàng)，=3x2+6x（方法二）可以將2x+1和x-1分別看成一個整體，然后使用平方差公式=3x(x+2)=3x2+6x(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]DC(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.下面我們介紹另外一個經(jīng)常會用到的恒等式：對任意的x,a,b,都有可以利用這個恒等式來進(jìn)行因式分解.11=a+b=Cab給定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得C=a+b且D=ab,1十字相乘法x2+Cx+D=(x+a)(x+b).則1·a1·b+十字相乘法11=5231x2+5x+61·31·2+=(x+2)(x+3)思考：觀察恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd，探討Ex2+Fx+G的因式分解方法.十字相乘法的一般形式.Ex2+Fx+Gac=ad+bc=Fbdadbc+=(ax+b)(cx+d)3x2+11x+1013=112556+=(x+2)(3x+5)(1)x2+7x+10；(2)7x2-19x-6.

練一練解：(1)x2+7x+10分解因式：所以x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)7x2-19x-6所以7x2-19x-6=(x-3)(7x+2).11=72552+17=-19-322-21+

方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.一般地,把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.知識點(diǎn)3：方程的解集

利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形，結(jié)合任意兩個非零的實(shí)數(shù)，它們的乘積不可能是零這一結(jié)論，可以得到方程的解集.例2

求方程x2-5x+6=0的解集.

解：因?yàn)閤2-5x+6=(x-2)(x-3),所以原方程可以化為(x-2)(x-3)=0因此所求解集為{2,3}.從而可知x-2=0或x-3=0,即x=2或x=3,

如果一個一元二次方程可以通過因式分解化為(x-x1)(x-x2)=0的形式，就能方便地得出原方程的解集.歸納總結(jié)例3

求關(guān)于x的方程ax=2的解集，其中a是常數(shù).

當(dāng)a=0時，方程變?yōu)?x=2,這個方程無解，此時解集為?.解：當(dāng)a≠0時，在等式ax=2的兩邊同時乘以，得

，此時解集為.綜上，當(dāng)a≠0時，解集