空間中的距離+第1課時 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊

1.2.5

空間中的距離

第1課時新授課1.理解兩點之間、點到直線的距離的概念.2.會用向量法求兩點之間、點到直線的距離.

情境：在生活中可以看到很多道路上都有限高桿.主要的作用就是為了防止過高的車輛通過，以保障車輛和路上的設(shè)備設(shè)施的安全.比如限高路段內(nèi)有不能移動的重要電纜、管道，或者涵洞，或者附近有高速路橋、鐵路橋等.圖中所示，限高3.1米.同學(xué)們，你知道3.1m指的哪段距離，數(shù)學(xué)中的距離是如何定義的呢?例如，如圖所示△ABC中，高AD的長就是頂點A到直線BC的距離，即A與直線BC上的點的最短連線的長度.點與點

這些距離都可以歸結(jié)為點與點的距離，而且是所有的點與點之間最短連線的長度.平面中三種距離：點與直線平行線：直線與直線思考：這三種距離有什么共同的特點？F1F2

在幾何學(xué)中，一個圖形F1內(nèi)的任意一點與另一圖形F2內(nèi)的任意一點的距離中的最小值，叫做圖形F1與圖形F2的距離.abc概念生成點與點AB空間中兩點之間的距離：兩個點連線的線段長.知識點一：空間中兩點之間距離思考：如上圖，若已知向量n，那么如何求空間中A，B兩點之間的距離?n|AB|=|

n|

例1如圖所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體AD=3，AB=4，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°，求AC'的長.解：由已知可得AD，AB，AA不共面，而且

從而又因為所以即所求長度為因此思考：還有其他方法解答嗎？練一練1.如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.己知AB=2，AC=3，BD=4，求CD的長.解：如圖，∴CD的長為知識點二：點到直線的距離空間中點A到直線l的距離：經(jīng)過A點的直線l的垂線段的長.BAl思考：如圖，可以如何求空間中點A到直線l的距離?

點到直線的距離也是這個點與直線上點的最短連線的長度.例2

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求點C1到直線BD1的距離.

即E(1-λ，1-λ，λ)，所以

B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，則

則又因為C1E⊥BD1，

從而可知的點C1到直線BD1的距離為

解法二：連接BC1，BD1，作CE⊥BD1交BD1于E點.

ABCDA1B1C1D1E或由

由ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方形，可得歸納總結(jié)用空間向量求點到直線距離的基本方法：①在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，用已知線段的向量表示出直線的一個方向向量；②用已知線段的向量刻畫垂足；③根據(jù)直線與垂線段的垂直關(guān)系（數(shù)量積為0)求垂足的坐標(biāo)；④求出垂線段的向量；⑤求出垂線段的向量的模.

問題：如圖，設(shè)l是過點P平行于單位向量s0的直線，A是直線l外一定點，如何表示點A到直線l的距離？A′AlPs0

所以根據(jù)勾股定理有點A到直線l的距離

例3

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有長方體ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA'=3，求點B到直線A'C的距離.解：因為AB=1，BC=2，AA'=3，

所以點B到直線A'C的距離所以A'(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0).

練一練

已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點，求點A到EF的距離.解：以D