2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（二十一）導(dǎo)數(shù)與切線方程 答案版

專題二十一專題二十一導(dǎo)數(shù)與切線方程XXXXXXXXX1．切線方程的求解1．已知，則曲線在點處的切線方程為_________．【答案】【解析】∵點在上，又，，∴曲線在處的切線方程為，即．故答案為．2．曲線過點的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得點不在曲線上，設(shè)切點為，因為，所以所求切線的斜率，所以．因為點是切點，所以，所以，即．設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為，故選B．3．已知函數(shù)（且）．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴所求切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域為，由（1）知，∴，易知，①當(dāng)時，令，得或；令，得．②當(dāng)時，，令，得；令，得或．③當(dāng)時，．④當(dāng)時，，令，得；令，得或．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．2．已知切線方程求參數(shù)的取值范圍1．已知，直線與曲線相切，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與曲線相切，所以設(shè)切點為，則，因為，所以，則切線方程為，因為過點，代入可得．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以切點為，則，故選B．2．已知，直線與曲線相切，則的最小值是________．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，直線的斜率為，所以，，，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值是，故答案為．3．公切線問題1．若曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則________．【答案】或【解析】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程為，設(shè)與相切于點，因為，所以，則，，可得，從而，故答案為．2．已知（e為自然對數(shù)的底數(shù)），，則與的公切線條數(shù)為_______．【答案】2【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線與相切于點，與相切于點，對于，其導(dǎo)數(shù)為，則有，則直線的方程為，即，對于，其導(dǎo)數(shù)為，則有，則直線的方程為，即，直線是與的公切線，則，可得，則或，故直線的方程為或，則與的公切線條數(shù)是2條，故答案為2．3．若函數(shù)與存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，聯(lián)立可得，由題意可得且，可得，令，其中，則．當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，．且當(dāng)時，，當(dāng)時，，如下圖所示：由題意可知，直線與曲線有兩個交點，則，解得，故選D．4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，設(shè)切點為，則，則公切線方程為，即，聯(lián)立，可得，所以，，整理可得，由可得，解得，令，其中，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，且當(dāng)時，，所以，函數(shù)的值域為，故，故選A．5．若存在斜率為的直線與曲線與都相切，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與、的切點分別為、，因為，，所以，，因為直線與、都相切，所以，解得，則兩切點重合，即，，，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，因為時，，所以，，實數(shù)的取值范圍為，故選A．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切．【答案】（1）極大值為，沒有極小值；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，故的極大值為，沒有極小值．（2）設(shè)直線分別切，的圖象于點，，由可得，得的方程為，即；由可得，得的方程，即．比較的方程，得，消去，得．令（），則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因為，所以在上有一個零點；由，得，所以在上有一個零點，所以在上有兩個零點，故有且只有兩條直線與函數(shù)，的圖象都相切．4．其他1．若過點可以作曲線且的兩條切線，則（）A． B．C． D．與的大小關(guān)系與有關(guān)【答案】D【解析】設(shè)切點為，則，所以切線方程為，因為點在切線上，所以，即，令，則，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極小值，因為過點可以作曲線且的兩條切線，所以，即，所以與的大小關(guān)系與有關(guān)，故選D．2．已知函數(shù)，若曲線存在兩條過點的切線，則a的取值范圍是________．【答案】或【解析】由題得，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，又切線過點，可得，整理得，因為曲線存在兩條切線，故方程有兩個不等實根且，若，則，為兩個重根，不成立，即滿足，解得或，故的取值范圍是或，故答案為或．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值為（）A．9 B． C． D．【答案】B【解析】由，則，又，的最小值轉(zhuǎn)化為上的點與上的點的距離的平方的最小值，由，得，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍），可得切點為，切點到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為，故選B．4．如圖所示，動點P，Q分別在函數(shù)，上運動，則的最小值為________．【答案】【解析】如題圖，兩個函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，在定義域上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞增的速度由慢到快，遞增的速度由快到慢，設(shè)動點，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足時，取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)現(xiàn)，該方程組有唯一一組解：，，所以，，所以的最小值為，故答案為．5．設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_______．【答案】【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關(guān)于對稱，∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關(guān)于對稱，|PQ|有最小值，對應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴．故答案為．6．（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A． B．C．， D．【答案】ACD【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，恒成立，不滿足條件；當(dāng)，時，，當(dāng)，滿足條件；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，所以存在，，滿足條件，故選ACD．7．（多選）已知函數(shù)，若的圖象存在兩條相互垂直的切線，則的值可以是（）A． B