山東青島平度第三中學2024屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題含解析

山東青島平度第三中學2024屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓與圓恰有三條公切線，則實數(shù)的值是（）A．4 B．6 C．16 D．362．直線與直線的交點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．小金同學在學校中貫徹著“邊玩邊學”的學風，他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這七個圓環(huán)全部套到木樁上，則所需的最少次數(shù)為（）A． B． C． D．4．在正四棱柱中，，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．5．圓的半徑是，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π7．如圖所示，等邊的邊長為2、為的中點，且也是等邊三角形，若以點為中心按逆時針方向旋轉后到達的位置，則在轉動過程中的取值范圍是（)A． B． C． D．8．閱讀程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果為()A． B． C． D．9．設，表示兩條直線，，表示兩個平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．若，均為銳角，且，，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結構解決如下問題:若三個正實數(shù)，滿足,，，則_______.12．不共線的三個平面向量，，兩兩所成的角相等，且，，則__________．13．等比數(shù)列滿足其公比_________________14．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．15．某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是16．設為等差數(shù)列的前n項和，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，為了測量河對岸、兩點的距離，觀察者找到一個點，從點可以觀察到點、；找到一個點，從點可以觀察到點、；找到一個點，從點可以觀察到點、．并測量得到以下數(shù)據(jù)，，，，，米，米．求、兩點的距離．18．近年來，我國自主研發(fā)的長征系列火箭的頻頻發(fā)射成功，標志著我國在該領域已逐步達到世界一流水平.火箭推進劑的質量為，去除推進劑后的火箭有效載荷質量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度，假設，，，是以為底的自然對數(shù)，，.（1）如果希望火箭飛行速度分別達到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時，求的值（精確到小數(shù)點后面1位）.（2）如果希望達到，但火箭起飛質量最大值為，請問的最小值為多少（精確到小數(shù)點后面1位）？由此指出其實際意義.19．已知.（1）求；（2）求的值.20．如圖，已知點和點，，且，其中為坐標原點.（1）若，設點為線段上的動點，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及對應的的值.21．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

兩圓外切時，有三條公切線．【題目詳解】圓標準方程為，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴，．故選C．【題目點撥】本題考查圓與圓的位置關系，考查直線與圓的位置關系．兩圓的公切線條數(shù)：兩圓外離時，有4條公切線，兩圓外切時，有3條公切線，兩圓相交時，有2條公切線，兩圓內切時，有1條公切線，兩圓內含時，無無公切線．2、B【解題分析】

聯(lián)立方程組，求得交點的坐標，即可得到答案.【題目詳解】由題意，聯(lián)立方程組：，解得，即兩直線的交點坐標為，在第二象限，選B.【題目點撥】本題主要考查了兩條直線的位置關系的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.3、B【解題分析】

假設樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求出數(shù)列的通項公式，從而得出的值，可得出結果.【題目詳解】假設樁上有個圓環(huán)，將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數(shù)為，可這樣操作，先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環(huán)從木樁套到木樁上，至少需要的次數(shù)為，所以，，易知.設，得，對比得，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，因此，，故選：B.【題目點撥】本題考查數(shù)列遞推公式的應用，同時也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項，解題的關鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.4、A【解題分析】

計算的面積，根據(jù)可得點到平面的距離．【題目詳解】中，，，∴的邊上的高為，∴，設到平面的距離為，則，又，∴，解得．故選A．【題目點撥】本題涉及點面距離的求法，點面距可以通過建立空間直角坐標系來求得點面距離，或者尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即可;當點面距離不好求時，也可以根據(jù)等積法把點到平面的距離歸結為一個容易求得的幾何體的體積.5、C【解題分析】

先將化為弧度數(shù)，再利用扇形面積計算公式即可得出．【題目詳解】所以扇形的面積為：故選：C【題目點撥】題考查了扇形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6、C【解題分析】由三視圖可知，此組合體上部是一個母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C7、D【解題分析】

設，，則，則，將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，化簡得到，再由余弦函數(shù)的性質，即可得到范圍.【題目詳解】設，，則，則，由于，則，則．故選：D【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查運算能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】

按照程序框圖運行程序，直到時輸出結果即可.【題目詳解】按照程序框圖運行程序輸入，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，滿足，，則，不滿足，輸出故選：【題目點撥】本題考查根據(jù)程序框圖計算輸出結果的問題，屬于基礎題.9、D【解題分析】

對選項進行一一判斷，選項D為面面垂直判定定理.【題目詳解】對A，與可能異面，故A錯；對B，可能在平面內；對C，與平面可能平行，故C錯；對D，面面垂直判定定理，故選D.【題目點撥】本題考查空間中線、面位置關系，判斷一個命題為假命題，只要能舉出反例即可.10、B【解題分析】

先利用兩角和的余弦公式求出，通過條件可求得，進而可得.【題目詳解】解：，因為，則，故，故選：B.【題目點撥】本題考查兩角和的正切公式，注意角的范圍的確定，是基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【題目詳解】設的角、、的對邊分別為、、，在內取點，使得，設，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【題目點撥】本題考查余弦定理的應用，問題的關鍵在于將題中的等式轉化為余弦定理，并轉化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉化思想以及數(shù)形結合思想，屬于中等題.12、4【解題分析】

故答案為：4【題目點撥】本題主要考查向量的位置關系，考查向量模的運算的處理方法.由于三個向量兩兩所成的角相等，故它們兩兩的夾角為，由于它們的模都是已知的，故它們兩兩的數(shù)量積也可以求出來，對后平方再開方，就可以計算出最后結果.13、【解題分析】

觀察式子，將兩式相除即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可知，于是.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列公比的相關計算，難度很小.14、【解題分析】

由韋達定理和兩角和的正切公式可得，進一步縮小角的范圍可得，進而可求．【題目詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結合，，故答案為．【題目點撥】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及韋達定理，屬中檔題．15、3【解題分析】試題分析：，解得.考點：球的體積和表面積16、54.【解題分析】

設首項為，公差為，利用等差數(shù)列的前n項和公式列出方程組，解方程求解即可.【題目詳解】設首項為，公差為,由題意，可得解得所以.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解方程的思想，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、米【解題分析】

在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義求出，最后在中，利用余弦定理求出.【題目詳解】由題意可知，在中，，由正弦定理得，所以米，在中，米，在中，由余弦定理得，所以，米.【題目點撥】本題考查利用正弦、余弦定理解三角形應用題，要將實際問題轉化為三角形的問題，并結合已知元素類型選擇正弦、余弦定理解三角形，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）弄清題意，將相關數(shù)據(jù)代入齊奧爾科夫斯基公式：，即可得出各個等級的速度對應的的值；（2）弄清題意與相關名詞，火箭起飛質量即為，將公式變形，分離出，解不等式即可得，的最小值為.【題目詳解】（1）由題意可得，，，且，，當達到第一宇宙速度時，有，；當達到第二宇宙速度時，有，；當達到第三宇宙速度時，有，.（2）因為希望達到，但火箭起飛質量最大值為，，，即，得，的最小值為比較（1）中當達到第三宇宙速度時，；火箭起飛質量為，此時，達到，但火箭起飛質量最大值為，的最小值為.由以上說明實際意義為：不是火箭的推進劑質量越大，火箭達到的速度越大，當減少推進劑質量，增大火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度，同樣可以達到想要的速度.【題目點撥】本題是一個典型的數(shù)學模型的應用問題，用數(shù)學的知識解決實際問題，這類題目關鍵是弄清題意；建立適當?shù)暮瘮?shù)模型進行解答．屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式，可得，再結合正切的倍角公式，即可求解；（2）由（1）知，結合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解，得到答案.【題目詳解】（1）由，根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式，可得，所以.（2）由（1）知，又由.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關系式和正切的倍角公式的化簡求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關系式和三角恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.20、（1）；（2），或.【解題分析】

（1）設，求出，把表示成關于的二次函數(shù)；（2）利用向量的坐標運算得，令把表示成關于的二次函數(shù)，再求最小值.【題目詳解】（1）設，又，所以，，所以當時，取得最小值.（2）由題意得，，，則=，令，因為，所以，又，所以，，所以當時，取得最小值，即，