2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是(

)A.y=x?2 B.y=x2

C.y=x2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=α，BC=a，那么AB的長(zhǎng)為(

)A.asinα B.acosα C.3.關(guān)于二次函數(shù)y=?2(x?1)2的圖象，下列說法正確的是(

)A.開口向上 B.經(jīng)過原點(diǎn)

C.對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的 D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(?1,0)4.下列條件中，不能判定a/?/b的是(

)A.a/?/c，b/?/c B.a?=?c，5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜邊BC上的高AH=3，矩形DEFG的邊DE在邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，如果GF正好經(jīng)過△ABC的重心，那么BD?EC的積等于(

)

A.4 B.1 C.1625 D.6.某同學(xué)對(duì)“兩個(gè)相似的四邊形”進(jìn)行探究.四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)A1，點(diǎn)B與點(diǎn)B1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1，點(diǎn)D與點(diǎn)D1分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知ABA1B1=k.該同學(xué)得到以下兩個(gè)結(jié)論：①四邊形ABCD和四邊形A1BA.①正確，②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤，②正確 C.①和②都錯(cuò)誤 D.①和②都正確二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。7.若yx=12，則yx+y8.A、B兩地的實(shí)際距離AB=250米，畫在地圖上的距離A′B′=5厘米，那么地圖上的距離與實(shí)際距離的比是______．9.某印刷廠一月份印書50萬冊(cè)，如果第一季度從2月份起，每月印書量的增長(zhǎng)率都為x，三月份的印書量為y萬冊(cè)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式是______．10.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，如果AB=5，那么AP=______．11.在直角坐標(biāo)平面中，將拋物線y=?(x+1)2+2，先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么平移后的拋物線表達(dá)式是______12.如果一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式：______．13.如圖，一輛小車沿著坡度為1：2.4的斜坡從A點(diǎn)向上行駛了50米，到達(dá)B點(diǎn)，那么此時(shí)該小車上升的高度為______米.

14.如圖，梯形ABCD中，AB/?/CD，且ABCD=43，若AB=m，AD=n.請(qǐng)用m，

15.如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線m于點(diǎn)A、B、C，交直線n于點(diǎn)D、E、F，且l1//l2//l3，AB=2BC

16.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如果AD：BC=2：3，那么S△EDF：S△AEB=______．

17.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)O，如果△OBC是等邊三角形，那么tan∠ABC=______．18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在B′處，聯(lián)結(jié)BB′，CB′，若∠BB′C=90°，則BB′=______．

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題10分)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)x…01234…y…30?1？3…(1)由表格信息，求出該二次函數(shù)解析式，并寫出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如果該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P(5,t)是圖象上一點(diǎn)，求△PAD的面積．20.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，連接DE、EF.已知ED/?/BC，EF/?/AB，AD=3，DB=9．

(1)求BFFC的值；

(2)若△ABC的面積為16，求四邊形BFED的面積．21.(本小題10分)

已知：如圖，△ABC中，AB=15，BC=14，sinB=45，AD⊥BC于D．

(1)求AC的長(zhǎng)；

(2)如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，求22.(本小題10分)

如圖，A處有一垂直于地面的標(biāo)桿AM，熱氣球沿著與AM的夾角為15°的方向升空，到達(dá)B處，這時(shí)在A處的正東方向200米的C處測(cè)得B的仰角為30°(AM、B、C在同一平面內(nèi)).求A、B之間的距離.(結(jié)果精確到1米，2≈1.414)23.(本小題12分)

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE/?/BC，∠BDC=∠DEC.求證：

(1)△ADE∽△ACD；

(2)CD24.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0)、點(diǎn)A(1,3a)，此拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為B．

(1)求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)如果該拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，且∠ADC的正切值為2，求a的值；

(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、P.聯(lián)結(jié)PA，如果點(diǎn)P在y軸上，PA/?/x軸，且25.(本小題14分)

在△ABC中，AC=BC.點(diǎn)D是射線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，點(diǎn)F在線段BC上，直線DF交直線AB于點(diǎn)E，CD2=CF?CB．

(1)如圖，如果點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上．

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE，如果CE/?/BD，CE=2，求EF的長(zhǎng)．

(2)如果DF：DE=1：2，求：AE

答案和解析1.【答案】B

解：y=x?2不符合二次函數(shù)的定義，它不是二次函數(shù)，則A不符合題意；

y=x2符合二次函數(shù)的定義，它是二次函數(shù)，則B符合題意；

y=x2?(x+1)2整理得y=?2x?1，不符合二次函數(shù)的定義，它不是二次函數(shù)，則C不符合題意；

y=2x2不符合二次函數(shù)的定義，它不是二次函數(shù)，則D不符合題意；

故選：2.【答案】A

解：∵∠C=90°，∠A=α，BC=a，

∴sinα=BCAB，

∴AB=asinα，

故選：A3.【答案】C

解：A、∵a=?2<0，∴拋物線開口向下，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、∵當(dāng)x=0時(shí)，y=?2(0?1)2=?2，∴函數(shù)圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、∵a=?2<0，∴拋物線開口向下，∴對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的，正確，符合題意．

D、由函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，原說法錯(cuò)誤，不符合題意．

故選：C．

4.【答案】D

解：∵a//c,b//c，

∴a/?/b；

∵a=?c,b=2c，

∴a//c//5.【答案】B

解：設(shè)△ABC的重心是O，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于M，

∴AO=2OM，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴GF/?/DE，∠GDE=∠FED=90°，

∴AK：KH=AO：OM，

∴AK=2KH，

∵AH=3，

∴KH=13AH=1，

∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∵∠EFC+∠C=90°，

∴∠B=∠EFC，

∵∠BDG=∠CEF=90°，

∴△BDG∽△FEC，

∴BD：FE=GD：EC，

∴BD?CE=FE?DG，

∵FG/?/BC，GD⊥BC，KH⊥BC，F(xiàn)E⊥BC，

∴DG=FE=KH=1，

∴BD?CE=1×1=1．

故選：B．

△ABC的重心是O，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于M，由三角形重心的性質(zhì)，得到AO=2OM，由矩形的性質(zhì)推出GF/?/DE，∠GDE=∠FED=90°，由平行線分線段成比例得到AK：KH=AO：OM，因此AK=2KH，即可求出KH=13AH=1，由余角的性質(zhì)推出∠B=∠EFC，又∠BDG=∠CEF=90°，即可證明△BDG∽△FEC，推出6.【答案】D

解：∵四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是相似的圖形，ABA1B1=k，

∴四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是相似比為k，

∴四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1的面積比等于k2，四邊形ABCD和四邊形7.【答案】13解：∵yx=12，

∴x=2y，

∴yx+y=y8.【答案】1：5000

解：∵250米=25000厘米，

∴比例尺=5：25000=1：5000；

故答案為：1：5000．

根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，直接求出即可．

本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計(jì)算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一．9.【答案】y=50(1+x)解：根據(jù)題意得：y=50(1+x)2．

故答案為：y=50(1+x)2．

利用三月份的印書量=一月份的印書量×(1+每月印書量的增長(zhǎng)率)2，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

10.【答案】5解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，AB=5，

∴AP=5?12AB=55?511.【答案】y=?(x+2)解：拋將拋物線y=?(x+1)2+2，先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，那么平移后的拋物線表達(dá)式是：yy=?(x+1+1)2+2?2，即y=?(x+2)2．12.【答案】y=x2(解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，在y軸的右側(cè)部分是上升的．

∴二次函數(shù)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，且開口向上，

∴符合條件的函數(shù)解析式為：y=x2(答案不唯一)．

13.【答案】25013解：設(shè)小車上升的高度為x米，

∵斜坡AB的坡度為1：2.4，

∴AC=2.4x米，

由勾股定理得：x2+(2.4x)2=502，

解得：x=25013(負(fù)值舍去)，

∴小車上升的高度為25013米，

故答案為：25013．

設(shè)小車上升的高度為x14.【答案】n+解：∵AB/?/CD，ABCD=43，AB=m，

∴DC=34m，

∴AC=15.【答案】2

解：∵l1/?/l2/?/l3，AB=2BC，

∴ABBC=DEEF=2，

∵DE=DF?EF=6?EF，

∴6?EFEF=2，

解得EF=216.【答案】1：2

解：過點(diǎn)F作BC的垂線，交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BK⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，

∵AD/?/BC，

∴FG⊥AD．

∴四邊形BHGK為矩形，

∴BK=GH．

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

∵AD：BC=2：3，

∴DE：BC=1：3．

∵AD/?/BC，

∴∠FED=∠FBC，∠FDE=∠FCB，

∴△DEF∽△CBF，

∴FG：FH=DE：BC=1：3，

∴FG：GH=FG：BK=1：2，

∴S△EDF：S△AEB=(12DE?FG)：(12AE?BK)=FG：BK=1：2．

故答案為：1：2．

過點(diǎn)F作BC的垂線，交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BK⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，可得四邊形BHGK為矩形，則BK=GH.由題意可得DE：BC=1：3，證明△DEF∽△CBF，則FG：FH=DE：BC=1：3，即FG：GH=FG：BK=1：2，將17.【答案】3解：如圖：連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于H，

∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BE與CD相交于點(diǎn)O，

∴O是△ABC的重心，

∴AH是△ABC的中線，

∵AB=AC，

∴AH⊥BC，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBH=60°，

∴OH=3BH，

∵O是△ABC的重心，

∴AH=3OH=33BH，

∴tan∠ABC=AHBH=33．

故答案為：33．

如圖：連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于H，由O是△ABC的重心，得到AH是△ABC的中線，由等腰三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC18.【答案】125解：過點(diǎn)A作AE⊥BB′于點(diǎn)E，

∵將邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在B′處，

∴AB=AB′，

∵AE⊥BB′，

∴BE=B′E，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ABE+∠B′BC=90°，

∵∠BB′C=90°，

∴∠B′BC+∠BCB′=90°，

∴∠ABE=∠BCB′，

∵∠AEB=∠BB′C，

∴△ABE∽△BCB′，

∴ABBC=AEBB′，

設(shè)BE=B′E=x，

∴BB′=2x，AE=AB2?BE2=4?x2，

∴23=4?x22x，

解得x=65(負(fù)值舍去)，

∴BE=65，

∴BB′=2BE=19.【答案】解：(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,3)，(4,3)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,?1)，

設(shè)拋物線解析式為y=a(x?2)2?1，

把(0,3)代入得3=a×(0?2)2?1，

解得a=1，

∴拋物線解析式為y=(x?2)2?1；

(2)把P(5,t)代入y=(x?2)2?1得t=9?1=8，【解析】(1)利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,?1)，設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?2)2?1，然后把(0,3)代入求出a即可；

(2)先利用拋物線解析式確定P(5,8)，A(0,3)，然后用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△PAD20.【答案】解：(1)∵ED/?/BC，EF/?/AB，

∴ADBD=AEEC，BFFC=AEEC，

∴ADBD=BFFC，

∵AD=3，DB=9，

∴BFFC=39=13；

(2)∵AD=3，DB=9，

∴AB=AD+DB=12，

∵DE//BF，

∴△ADE∽△ABC，

∴ADAB=312=14，S△ADES△ABC=(ADAB【解析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可；

(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ADE的面積是1，同理可得△EFC的面積是9，根據(jù)四邊形BFED的面積=S△ABC?21.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，

∴sin∠ABC=ADBA=45，

∵AB=15，

∴AD=12，

∴BD=AB2?AD2=9，

∴CD=BC?BD=14?9=5，

∴AC=AD2+CD2=13；

(2)過E作EH⊥CD于H，

∵AD⊥BC，

∴EH/?/AD，

∴AE：EC=DH：HC，

∵E是邊AC【解析】(1)由銳角的正弦求出AD長(zhǎng)，由勾股定理求出BD長(zhǎng)，得到CD長(zhǎng)，由勾股定理即可求出AC長(zhǎng)．

(2)過E作EH⊥CD，由平行線分線段比例定理，推出DH=CH=12CD=52，得到EH是△ADC的中位線，因此EH=12AD=6，求出BH=BD+DH=232，即可求出22.【答案】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

由題意得：AC=200米，∠BAC=90°+15°=105°，∠C=30°，

∴∠ABD=180°?∠BAC?∠C=45°，

在Rt△ACD中，∠C=30°，

∴AD=12AC=100(米)，

在Rt△ABD中，AB=ADsin45°=10022【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意可得：AC=200米，∠BAC=105°，∠C=30°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABD=45°，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AD=100米，再在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23.【答案】證明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE，

∴∠ADE=∠ACD，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD；

(2)∵DE/?/BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∵∠BDC=∠DEC，

∴△DEC∽△BDC，

∴CDBC=DECD，

∴CD2=DE?BC．

∴CD2BC2【解析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理解答即可；

(2)利用三角形的內(nèi)角和定理的推論和相似三角形的判定定理得到△DEC∽△BDC，利用相似三角形的性質(zhì)得到CD2=DE?BC，再證明△ADE24.【答案】解：(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，解得b=2a，c=0，

得拋物線的解析式為y=ax2+2ax，

則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1；

(2)把y=0代入y=ax2+2ax，解得x=?2，x=0(點(diǎn)O的橫坐標(biāo)，舍去)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?2,0)，

過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為F，

∵D(?2,0)，A(1,3a)，

∴DF=3，AF=3a，

∵∠ADC的正切值為2，

∴AFDF=2，即3a3=2，

解得a=2；

(3)由條件可得如下圖象，過點(diǎn)E作EG垂直于PA的延長(zhǎng)線，垂足為G，

∵PA/?/x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3a)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3a)，

由新拋物線是原拋物線平移得到，且頂點(diǎn)B(?1,?a)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P，

即原拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移4a個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，

設(shè)新拋物線的解析式為y=ax2+3a，

由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3a)，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,7a)

∴PG=2，EG=4a，

∵∠EPA=∠CBO，∠EGP=∠OCB=90°，

∴△BCO∽△PGE，

∴CBPG=【解析】(1)把O(0,0)，A(1,3a)代入y=ax2+bx+c，求出a和b的數(shù)量關(guān)系，即可求出拋物線對(duì)稱軸；

(2)把y=0代入y=ax2+2ax求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為F，在直角三角形ADF中求出DF和AF的長(zhǎng)，根據(jù)∠ADC的正切值為2列方程求出a；

(3)根據(jù)條件畫出圖象，過點(diǎn)E作EG垂直于PA的延長(zhǎng)線，垂足為G，通過原拋物線上的點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、P得到原拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移4a個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，再證明△BCO∽25.【答案】(1)①證明：如圖1，∵CD2=CF?CB，

∴CDCB=CFCD，

∵∠FCD=∠DCB，

∴△FCD∽△DCB，

∴∠CDF=∠CBD，

∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∴∠A+∠CDF=∠ABC+∠CBD，

∵∠DEB=∠A+∠CDF，∠DBE=∠ABC+∠CBD，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=BD．

②解：如圖1，