2024屆北京市懷柔區(qū)市級名校數(shù)學高一第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆北京市懷柔區(qū)市級名校數(shù)學高一第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知為等差數(shù)列，，則的值為（）A．3 B．2 C． D．12．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，3．已知等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A．31 B．15 C．8 D．74．設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，若的前四項之和等于第五項起以后所有項之和，則數(shù)列是（）A．公比為的等比數(shù)列B．公比為的等比數(shù)列C．公比為或的等比數(shù)列D．公比為或的等比數(shù)列5．已知的模為1，且在方向上的投影為，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°6．利用隨機模擬方法可估計無理數(shù)π的數(shù)值，為此設(shè)計右圖所示的程序框圖，其中rand()表示產(chǎn)生區(qū)間(0,1)上的隨機數(shù),P是s與n的比值，執(zhí)行此程序框圖，輸出結(jié)果P的值趨近于()A．π B．π4 C．π27．已知正方體的個頂點中，有個為一側(cè)面是等邊三角形的正三棱錐的頂點，則這個正三棱錐與正方體的全面積之比為（）A． B． C． D．8．若直線與直線互相平行，則的值為（）A．4 B． C．5 D．9．在區(qū)間上隨機選取一個實數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．10．《五曹算經(jīng)》是我國南北朝時期數(shù)學家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實用算術(shù)書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約有（）A．57.08斜 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線和，若，則a等于________.12．在等比數(shù)列中,若,則__________.13．已知等差數(shù)列，，，，則______.14．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________15．若無窮數(shù)列的所有項都是正數(shù)，且滿足，則______．16．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)當時,求函數(shù)的最小值.18．正項數(shù)列：，滿足：是公差為的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列.（1）若，求數(shù)列的所有項的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整數(shù)，滿足?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．甲，乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量的數(shù)據(jù)為：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100,102,99，100，100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.20．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點A為圓心,r=2為半徑作一個圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.21．一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖如下：溫度20253035產(chǎn)卵數(shù)/個520100325（1）根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，5201003251.6134.615.78

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】因為為等差數(shù)列，故解得.故選：D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列下標和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解題分析】

利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得，進而求得.【題目詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，由于，故解得，所以.故選：B.【題目點撥】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量的計算，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)題意可得，帶入等比數(shù)列前和即可解決?！绢}目詳解】根據(jù)題意，若的前四項之和等于第五項起以后所有項之和，則，又由是公比為的無窮等比數(shù)列，則，變形可得，則，數(shù)列為的奇數(shù)項組成的數(shù)列，則數(shù)列為公比為的等比數(shù)列；故選：B．【題目點撥】本題主要考查了利用等比數(shù)列前項和計算公比，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解題分析】

根據(jù)投影公式，直接得到結(jié)果.【題目詳解】，.故選A.【題目點撥】本題考查了投影公式，屬于簡單題型.6、B【解題分析】

根據(jù)程序框圖可知由幾何概型計算出x，y任?。?，1）上的數(shù)時落在x2【題目詳解】解:根據(jù)程序框圖可知P為頻率，它趨近于在邊長為1的正方形中隨機取一點落在扇形內(nèi)的的概率π×故選：B【題目點撥】本題考查的知識點是程序框圖，根據(jù)已知中的程序框圖分析出程序的功能，并將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】所求的全面積之比為：，故選A.8、C【解題分析】

根據(jù)兩條存在斜率的直線平行，斜率相等且在縱軸上的截距不相等這一性質(zhì)，可以求出的值.【題目詳解】直線的斜率為，在縱軸的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸的截距不等于，于是有且，解得，故本題選C.【題目點撥】本題考查了已知兩直線平行求參數(shù)問題.其時本題也可以運用下列性質(zhì)解題：若直線與直線平行，則有且.9、B【解題分析】

根據(jù)求出的范圍，再由區(qū)間長度比即可得出結(jié)果.【題目詳解】區(qū)間的長度為；由，解得，即，區(qū)間長度為，事件“”發(fā)生的概率是.故選B.【題目點撥】本題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型，熟記概率計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

根據(jù)圓錐的周長求出底面半徑，再計算圓錐的體積，從而估算堆放的稻谷數(shù)．【題目詳解】設(shè)圓錐形稻谷堆的底面半徑為尺，則底面周長為尺，解得尺，又高為尺，所以圓錐的體積為（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷約有61.73（斛．故選：．【題目點撥】本題考查了椎體的體積計算問題，也考查了實際應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)兩直線互相垂直的性質(zhì)可得，從而可求出的值.【題目詳解】直線和垂直，.解得.故答案為：【題目點撥】本題考查了直線的一般式，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的值，熟記兩直線垂直系數(shù)滿足：是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、80【解題分析】

由即可求出【題目詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以即故答案為：80【題目點撥】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡單13、【解題分析】

利用等差中項的基本性質(zhì)求得，，并利用等差中項的性質(zhì)求出的值，由此可得出的值.【題目詳解】由等差中項的性質(zhì)可得，同理，由于、、成等差數(shù)列，所以，則，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用等差中項的性質(zhì)求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1-2點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.15、【解題分析】

先由作差法求出數(shù)列的通項公式為，即可計算出，然后利用常用數(shù)列的極限即可計算出的值.【題目詳解】當時，，可得；當時，由，可得，上式下式得，得，也適合，則，.所以，.因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用作差法求數(shù)列通項，同時也考查了數(shù)列極限的計算，考查計算能力，屬于中等題.16、65π【解題分析】

本題首先可以通過題意畫出圖像，然后通過三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】如圖所示，作AB中點D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過點E作平面ABC的垂線，在垂線上取一點O，使得PO=OC。因為三棱錐底面是一個邊長為23的等邊三角形，E所以三棱錐的外接球的球心在過點E的平面ABC的垂線上，因為PO=OC，P、C兩點在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點即為球心，因為平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，D為AB中點，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面積為S=4πr【題目點撥】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過三棱錐的幾何特征來確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當時，，當時，，當時，.【解題分析】

將函數(shù)的解析式化成二次函數(shù)的形式，然后把作為整體，并根據(jù)的取值范圍，結(jié)合求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法進行求解即可．【題目詳解】由題意得．∵，∴．當，即時，則當，即時，函數(shù)取得最小值，且；當，即時，則當，即時，函數(shù)取得最小值，且；當，即時，則當，函數(shù)取得最小值，且．綜上可得．【題目點撥】解答本題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求解，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時要結(jié)合拋物線的開口方向和對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）84；（2）1033；（3）存在，【解題分析】

（1）由題意可得：，即為：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；可得的值；（2）由題意可得，故有；即，即必是2的整數(shù)冪，要最大，必需最大，，可得出的最大值；（3）由是公差為的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，可得與，可得k與m的方程，一一驗算k的值可得答案.【題目詳解】解：（1）由已知，故為：2，4，6，8，10，12，14，16；公比為2，則對應(yīng)的數(shù)為2，4，8，16，從而即為：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；此時（2）是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故，從而，而首項為2，公比為2的等比數(shù)列且，故有；即，即必是2的整數(shù)冪又，要最大，必需最大，，故的最大值為，所以，即的最大值為1033（3）由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列知，，而是公比為2的等比數(shù)列，則，故，即，又，，則，即，則，即顯然，則，所以，將，代入驗證知，當時，上式右端為8，等式成立，此時，綜上可得：當且僅當時，存在滿足等式【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項的和，屬于難題，注意靈活運用各公式解題與運算準確.19、（1）；，，；（2）乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【解題分析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與方差的公式，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合平均數(shù)與方差的意義，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可得：；，所以，；（2）兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)與方差，熟記公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）22.【解題分析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數(shù)量積的坐標表示的表達式，利用三角函數(shù)知識可求最值【題目詳解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,設(shè)∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴當sin(θ+φ)=1時,的最大值為22.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)與平面向量的綜合，而輔助角公式是解決三角函數(shù)的最值的常用方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．21、（I）選擇更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型；（II）；（III）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在以下.【解題分析】

（I）由于散點圖類似指數(shù)函數(shù)的圖像，由此選擇.（II）對；兩邊取以為底底而得對數(shù)，將非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸的問題，利用回歸直線方程的計算公式計算出回歸直線方程，進而化