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2024屆甘肅省天水市甘谷縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.把十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)為A. B.C. D.2.若長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2,3,6,則此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于()A. B. C. D.3.如圖,正四面體,是棱上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)(),分別記與,所成角為,,則()A. B. C.當(dāng)時(shí), D.當(dāng)時(shí),4.某學(xué)校高一、高二年級(jí)共有1800人,現(xiàn)按照分層抽樣的方法,抽取90人作為樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查.若樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人,則該校高一年級(jí)學(xué)生共有()A.420人 B.480人 C.840人 D.960人5.在中,,,為的外接圓的圓心,則()A. B.C. D.6.由小到大排列的一組數(shù)據(jù),,,,,其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于,那么對(duì)于樣本,,,,,的中位數(shù)可以表示為()A. B. C. D.7.已知正項(xiàng)數(shù)列,若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,則()A.12 B.13 C.14 D.168.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且,則()A. B. C. D.9.設(shè)為正數(shù),為的等差中項(xiàng),為的等比中項(xiàng),則與的大小關(guān)為()A. B. C. D.10.若,且,則下列不等式一定成立的是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,,且(),記,則的值是________.12.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____________.13.?dāng)?shù)列滿足,(且),則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.14.等差數(shù)列前項(xiàng)和為,已知,,則_____.15.已知數(shù)列中,其前項(xiàng)和為,,則_____.16.已知為第二象限角,且,則_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知,,,,求的值.18.某地區(qū)2012年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2012201320142015201620172018年份代號(hào)1234567人均純收入2.93.33.64.44.85.25.9(1)已知y與x線性相關(guān),求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)利用(1)中的線性回歸方程,預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入.(附:線性回歸方程中,,,其中為樣本平均數(shù))19.如圖,圓錐中,是圓的直徑,是底面圓上一點(diǎn),且,點(diǎn)為半徑的中點(diǎn),連.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)當(dāng)是邊長(zhǎng)為4的正三角形時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓,三個(gè)點(diǎn),B、C均在圓上,(1)求該圓的圓心的坐標(biāo);(2)若,求直線BC的方程;(3)設(shè)點(diǎn)滿足四邊形TABC是平行四邊形,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.21.某高校自主招生一次面試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞,其可見(jiàn)部分信息如下,據(jù)此解答下列問(wèn)題:(1)求參加此次高校自主招生面試的總?cè)藬?shù)、面試成績(jī)的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù);(2)若從面試成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中任選三人進(jìn)行隨機(jī)復(fù)查,求恰好有二人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】選C.2、C【解題分析】
設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為,,,由已知面積求得,,的值,得到長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng),進(jìn)一步得到外接球的半徑,則答案可求.【題目詳解】設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為,,,則,解得,,.長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.則長(zhǎng)方體的外接球的半徑為,此長(zhǎng)方體的外接球的表面積等于.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查長(zhǎng)方體外接球表面積的求法,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為長(zhǎng)方體外接球的直徑.3、D【解題分析】作交于時(shí),為正三角形,,是與成的角,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),作交于,同理可得,當(dāng)時(shí),,故選D.4、C【解題分析】
先由樣本容量和總體容量確定抽樣比,用高一年級(jí)抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意需要從1800人中抽取90人,所以抽樣比為,又樣本中高一年級(jí)學(xué)生有42人,所以該校高一年級(jí)學(xué)生共有人.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣,先確定抽樣比,即可確定每層的個(gè)體數(shù),屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】
利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【題目詳解】由正弦定理可得,因此,,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】
根據(jù)不等式的基本性質(zhì),對(duì)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為,取中間的平均數(shù).【題目詳解】,,則該組樣本的中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均數(shù),即.【題目點(diǎn)撥】考查基本不等式性質(zhì)運(yùn)用和中位數(shù)的定義.7、A【解題分析】
由已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出通項(xiàng)公式,得,由對(duì)數(shù)的定義計(jì)算.【題目詳解】由題意,,∴,∴.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】
根據(jù)題目條件結(jié)合三角形的正弦定理以及三角形內(nèi)角和定理可得sinA,進(jìn)而利用二倍角余弦公式得到結(jié)果.【題目詳解】∵.∴sinAcosB=4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA=4cosAsinC∴sinC=4cosAsinC∵1<C<π,sinC≠1.∴1=4cosA,即cosA,那么.故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理及二倍角余弦公式的靈活運(yùn)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算可得,,再結(jié)合即可得解.【題目詳解】解:因?yàn)闉檎龜?shù),為的等差中項(xiàng),為的等比中項(xiàng),則,,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),又,所以,故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了重要不等式的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】
根據(jù)不等式性質(zhì)確定選項(xiàng).【題目詳解】當(dāng)時(shí),不成立;因?yàn)?,所以;?dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),不成立;所以選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式性質(zhì),考查基本分析判斷能力,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、3【解題分析】
由已知條件推導(dǎo)出是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,由此能求出的值.【題目詳解】解:因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為,,且(),,.即,.是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理應(yīng)用,屬于中檔題.12、【解題分析】
利用函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為,得出結(jié)論.【題目詳解】函數(shù)y=3tan(3x)的最小正周期是,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期性,利用了函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為.13、【解題分析】
利用累加法和裂項(xiàng)求和得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)滿足故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的累加法,裂項(xiàng)求和法,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.14、1【解題分析】
首先根據(jù)、即可求出和,從而求出。【題目詳解】,①,②①②得,,即,∴,即,∴,故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解方程,以及等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和。其中等差數(shù)列的性質(zhì):若則比較???,需理解掌握。15、1【解題分析】
本題主要考查了已知數(shù)列的通項(xiàng)式求前和,根據(jù)題目分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)直接求即可?!绢}目詳解】,則.故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了給出數(shù)列的通項(xiàng)式求前項(xiàng)和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯(cuò)位相減、分組求和、裂項(xiàng)相消等。本題主要利用了分組求和的方法。屬于基礎(chǔ)題。16、.【解題分析】
先由求出的值,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【題目詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?,所以,解得,再由及為第二象限角可得、,此時(shí).故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用,屬常規(guī)考題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】
根據(jù)角的范圍結(jié)合條件可求出,的值,然后求出的值,再由二倍角公式可求解.【題目詳解】由,,得.又,則.由,,得.所以又所以【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角公式,考察角變換的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1);(2)6.8千元.【解題分析】
(1)由表中數(shù)據(jù)計(jì)算、,求出回歸系數(shù),得出關(guān)于的線性回歸方程;(2)利用線性回歸方程計(jì)算2020年對(duì)應(yīng)時(shí)的值,即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)由表中數(shù)據(jù),計(jì)算,,,,,,關(guān)于的線性回歸方程為:;(2)利用線性回歸方程,計(jì)算時(shí),(千元),預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查數(shù)據(jù)處理.19、(Ⅰ)見(jiàn)證明;(Ⅱ)【解題分析】
(Ⅰ)由平面,證得,再由為等邊三角形,得到,利用線面垂直的判定定理,即可證得平面;(Ⅱ)利用等體積法,即可求得點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】(Ⅰ)證明:在圓錐中,則平面,又因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)?,,所以,又,所以為等邊三角形,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,又,所以平面;(Ⅱ)依題意,,因?yàn)闉橹睆剑?,又,所以,中,邊上的高為,的面積為,又,,則面積為,所以,解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面垂直的判定與證明,以及利用等體積法求解點(diǎn)面距,其中解答中熟練線面位置關(guān)系的判定定理,以及合理運(yùn)用等體積法的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)或(3),【解題分析】
(1)將點(diǎn)代入圓的方程可得的值,繼而求出半徑和圓心(2)可設(shè)直線方程為:,可得圓心到直線的距離,結(jié)合弦心距定理可得的值,求出直線方程(3)設(shè),,,,因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,得,,于是點(diǎn)既在圓上,又在圓上,從而圓與圓上有公共點(diǎn),即可求解.【題目詳解】(1)將代入圓得,解得,.半徑.(2),,且,設(shè)直線,即,圓心到直線的距離,由勾股定理得,,,,或,所以直線的方程為或.(3)設(shè),,,,因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,所以①,因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以②將①代入②,得,于是點(diǎn)既在圓上,又在圓上,從而圓與圓有公共點(diǎn),所以,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是,.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的關(guān)系,涉及了向量知識(shí),弦心距公式,點(diǎn)到直線的距離公式等內(nèi)容,綜合性較強(qiáng),難度較大.21、(1);;(2)0.6【解題分析】
(1)從分?jǐn)?shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總?cè)藬?shù)的值,從而求出面試成績(jī)的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在,內(nèi)的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結(jié)果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【題目詳解】(1)∵分?jǐn)?shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為15人,∴分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,又∵分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人,∴分?jǐn)?shù)在
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