山東省泰安市泰安第四中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

山東省泰安市泰安第四中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，則的值域為A． B． C． D．2．某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．3．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A． B． C． D．4．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則（）A．8 B．16 C．32 D．646．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列命題中，正確的命題序號是①函數(shù)的最小正周期為②函數(shù)的振幅為③函數(shù)的一條對稱軸方程為④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是⑤函數(shù)的解析式為A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③7．已知等差數(shù)列的前項和為.且，則（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．9．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A． B． C． D．10．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是_____________.12．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的側(cè)面積為________.13．在數(shù)列中，，則___________.14．竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當于給出圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式為.該結(jié)論實際上是將圓錐體積公式中的圓周率取近似值得到的.則根據(jù)你所學(xué)知識，該公式中取的近似值為______.15．數(shù)列滿足，當時，，則是否存在不小于2的正整數(shù)，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫的值；若不存在，就填寫“不存在”_______.16．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，(1)求的值；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間.18．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)有零點的概率；（2）若，求成立的概率.19．在中，已知點，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.（1）求直線的方程；（2）求點的坐標.20．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．21．已知數(shù)列的前項和為，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）令，若對恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用求函數(shù)的周期為，計算即可得到函數(shù)的值域.【題目詳解】因為，，，因為函數(shù)的周期，所以函數(shù)的值域為，故選C.【題目點撥】本題考查函數(shù)的周期運算，及利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域.2、A【解題分析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進而得到正方形的面積，最后得到答案.3、A【解題分析】

先利用韋達定理得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組即得a,b的值，即得解.【題目詳解】由題得，所以a+b=7.故選：A【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解集，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解題分析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖，根據(jù)長度關(guān)系計算表面積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示：幾何體的表面積為：故答案選C【題目點撥】本題考查了三視圖，將三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解題的關(guān)鍵.5、B【解題分析】

先由數(shù)列前9項的乘積為1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【題目詳解】由已知，又，所以，即，所以，，故選B.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的基本量計算，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式即可，屬于?？碱}型.6、A【解題分析】

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)逐一判定．【題目詳解】由圖象可知，，最大值為，，因為圖象過點，，由，即可判定錯，正確，由得對稱軸方程為，，故正確；由，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故錯；故選：A【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．7、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，求得，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【題目詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【題目點撥】本題考查了異面直線所成的角．9、C【解題分析】

由題意，可知，即為奇函數(shù)，排除，，又時，，可排除D，即可選出正確答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)定義域為，且，即為奇函數(shù)，排除，，當時，，，即時，，可排除D，故選C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了函數(shù)奇偶性的運用，屬于中檔題.10、D【解題分析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可．【題目詳解】過P點作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【題目點撥】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，及函數(shù)在上的最大值為1，易求出的值．【題目詳解】函數(shù)又函數(shù)在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調(diào)遞增，所以即．故答案為：【題目點撥】本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．12、【解題分析】

先求出四棱錐的底面對角線的長度，結(jié)合勾股定理可求出四棱錐的高，然后由圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，可知四條側(cè)棱的中點連線為正方形，其對角線為圓柱底面的直徑，圓柱的高為四棱錐的高的一半，分別求解可求出圓柱的側(cè)面積.【題目詳解】由題可知，四棱錐是正四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱的中點連線為正方形，邊長為，該正方形對角線的長為1，則圓柱的底面半徑為，四棱錐的底面是邊長為的正方形，其對角線長為2，則四棱錐的高為，故圓柱的高為1，所以圓柱的側(cè)面積為.【題目點撥】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查了學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.13、-1【解題分析】

首先根據(jù)，得到是以，的等差數(shù)列.再計算其前項和即可求出，的值.【題目詳解】因為，.所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列.所以.所以，，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前項和的計算，屬于簡單題.14、3【解題分析】

首先求出圓錐體的體積，然后與近似公式對比，即可求出公式中取的近似值.【題目詳解】由題知圓錐體的體積，因為圓錐的底面周長為，所以圓錐的底面面積，所以圓錐體的體積，根據(jù)題意與近似公式對比發(fā)現(xiàn)，公式中取的近似值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了圓錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.15、70【解題分析】

構(gòu)造數(shù)列，兩式與相減可得數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，讓=0即可求出.【題目詳解】設(shè)兩式相減得又數(shù)列從第5項開始為等差數(shù)列，由已知易得均不為0所以當n=70的時候成立，故答案填70.【題目點撥】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如，可以嘗試退項相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因為相減而抵消，剩下的就好算了。16、.【解題分析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【題目詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，(1)將代入，利用特殊角的三角函數(shù)可得的值；(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間.詳解：（Ⅰ）===（Ⅱ）由題可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是點睛：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；②若,則利用誘導(dǎo)公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進行求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）求得有零點的條件，運用古典概率的公式，計算可得所求；（2）若，即，畫出不等式組表示的區(qū)域，計算面積可得所求．【題目詳解】解：（1）函數(shù)有零點的條件為，即，，可得事件的總數(shù)為，而有零點的個數(shù)為，，，，，，共7個，則函數(shù)有零點的概率為；（2）若，即，畫出的區(qū)域，可得成立的概率為．【題目點撥】本題考查古典概率和幾何概率的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）【解題分析】

（1）先計算，過點，得到答案.（2）聯(lián)立直線方程：解得答案.【題目詳解】解：（1）由邊上的高所在直線方程為得，則.又∵，∴直線的方程為，即（或）.（2）因為邊上的中線過點，則聯(lián)立直線方程：.解得：，即點坐標為.【題目點撥】本題考查了直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到數(shù)量積為0，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，再求的值.【題目詳解】(1)，，，∴.(2)．若，則，解得.【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用及兩向量垂直求參數(shù)的值，考查基本的運算求解能力.21、（1）證明見解析，（2）【解題分析】

（1）當時，結(jié)合可求得；當且時，利用可整理得，可證得數(shù)列為等比數(shù)列；根據(jù)等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得，代入可得；分別在為奇