信號與系統(tǒng)課件第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

2024/1/17信號與系統(tǒng)1

第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)

的時域分析

2024/1/17信號與系統(tǒng)2本章的主要講授內(nèi)容1、微分方程的建立和求解2、起始點的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉換3、零輸入響應和零狀態(tài)響應4、沖激響應和階躍響應5、卷積6、卷積的性質(zhì)2024/1/17信號與系統(tǒng)3

第一節(jié)

引言2024/1/17信號與系統(tǒng)4一、連續(xù)時間系統(tǒng)分析方法連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間信號輸出數(shù)學模型輸入——輸出法或端口描述法輸入激勵信號（t的函數(shù)）連續(xù)時間信號輸入輸出響應信號（t的函數(shù)）高階微分方程（t及t的導數(shù)）系統(tǒng)分析的任務：對給定的系統(tǒng)模型和輸入信號求系統(tǒng)的輸出響應。2024/1/17信號與系統(tǒng)5二、時域分析法時域法：不通過任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程。系統(tǒng)的分析與計算全部在時域內(nèi)進行。時域分析法優(yōu)點：直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析方法的基礎。目前計算機技術的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經(jīng)典的方法重新得到廣泛的關注和應用。2024/1/17信號與系統(tǒng)6三、時域分析法手段時域分析法有兩種：一種經(jīng)典法直接求解微分方程；另一種是卷積法；即已知系統(tǒng)的單位沖激響應，將沖激響應與輸入激勵信號進行卷積積分。2024/1/17信號與系統(tǒng)71、經(jīng)典法經(jīng)典法求微分方程：求齊次解和特解。經(jīng)典法著重說明物理意義。建立自由響應和強迫響應、零輸入響應和零狀態(tài)響應概念。它使線性系統(tǒng)分析在理論上更完善，為解決實際問題帶來方便。2024/1/17信號與系統(tǒng)82、卷積法卷積法：用卷積積分只能求到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。零輸入響應仍要用經(jīng)典法求得。卷積法：物理概念明確，運算過程方便，是系統(tǒng)分析的基本方法。是近代計算分析系統(tǒng)的強有力工具。卷積法也是時域與變換域分析線性系統(tǒng)的一條紐帶，通過它把變換域分析賦清晰的物理概念。2024/1/17信號與系統(tǒng)9第二節(jié)

微分方程式的建立與求解2024/1/17信號與系統(tǒng)10一、微分方程的建立線性時不變系統(tǒng)數(shù)學模型建立線性的常系數(shù)微分方程具體系統(tǒng)物理模型也即：按照元件的約束特性及系統(tǒng)結構的約束特性常系數(shù)微分方程建立2024/1/17信號與系統(tǒng)11例2-1RLC并聯(lián)電路如圖所示RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓v(t)與激勵源is(t)間的關系。解：把v(t)作為變量，根據(jù)元件的電壓電流關系有：電阻：電感：電容：將上三式化簡得：根據(jù)基爾霍夫電流定律有：2024/1/17信號與系統(tǒng)12例2-2如圖所示機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦系數(shù)為f，外加牽引力為Fs(t)，求外加牽引力Fs(t)與剛體運動速度v(t)間的關系。解：由機械系統(tǒng)元件特性：彈簧在彈性限度內(nèi)，拉力Ｆk與位移x成正比。設剛度系數(shù)為k，有其中f為摩擦系數(shù)。剛體在光滑表面滑動，摩擦力Ｆf(t)與速度v(t)成正比。機械位移系統(tǒng)2024/1/17信號與系統(tǒng)13運動物體的慣性力由牛頓第二定律決定：化簡得：機械位移系統(tǒng)此為機械位移系統(tǒng)的微分方程。整個系統(tǒng)力的平衡由達朗貝爾原理確定：2024/1/17信號與系統(tǒng)14二、微分方程的求解1.微分方程表達式2024/1/17信號與系統(tǒng)15２、微分方程的經(jīng)典法全解形式則由時域經(jīng)典法求解可得其完全解為其中齊次解即由齊次方程的特征方程求出特征根再列寫解。由方程右端為零構成的齊次方程而定；其中特解根據(jù)方程右端激勵構成的“自由項”而定。2024/1/17信號與系統(tǒng)16３、齊次方程的求解齊次方程為：齊次方程的解為：函數(shù)的線性組合。將其解代入齊次方程：解得此方程的n個根：稱為微分方程的特征根。（1）特征根的求解2024/1/17信號與系統(tǒng)17（2）特征根的情況分析（１）特征根各不相同（無重根）的情況下，微分方程的齊次解為則相應于

1的k階重根，有k項：其中常數(shù)A1,A2,…,An由初始條件決定。（２）特征根（有重根）的情況下，如

1是方程的k階重根，即：2024/1/17信號與系統(tǒng)18例2-3求如下所示的微分方程的齊次解。對應的齊次解為：特征根：解：系統(tǒng)的特征方程為因式分解：其中A1，A2，A3為待定系數(shù)。2024/1/17信號與系統(tǒng)194、微分方程的特解微分方程的特解rp(t)的函數(shù)形式與激勵信號的形式有關。將激勵e(t)代入方程式的右端，化簡后右端函數(shù)式稱為“自由項”。通過觀察自由項的函數(shù)形式，試選特解函數(shù)式。代入方程，求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)。即求出特解rp(t)。（1）求特解的步驟2024/1/17信號與系統(tǒng)20（2）幾種典型激勵信號對應特解的形式激勵函數(shù)e(t)響應函數(shù)r(t)的特解E（常數(shù)）B（常數(shù)）cos(wt)sin(wt)若表中的特解與齊次解重復，則應在特解中增加一項：t倍乘表中特解。2024/1/17信號與系統(tǒng)21例子2-4給定微分方程式如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。為使等式兩端平衡，設特解函數(shù)式：代入方程右端，得到：解:(1)將為待定系數(shù)，將此式代入方程：2024/1/17信號與系統(tǒng)22等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有：聯(lián)立解得：特解為：2024/1/17信號與系統(tǒng)23時，設特解為：解:(2)當為待定系數(shù)，將此式代入方程：特解：系統(tǒng)方程的完全解：為待定系數(shù)，由邊界條件決定。2024/1/17信號與系統(tǒng)242024/1/17信號與系統(tǒng)25第三節(jié)

起始點的跳變－從0-到0+狀態(tài)的轉換2024/1/17信號與系統(tǒng)26一、響應區(qū)間響應區(qū)間：確定激勵信號e(t)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵e(t)都是從t=0時刻加入，此時系統(tǒng)的響應區(qū)間定為：2024/1/17信號與系統(tǒng)27二、起始狀態(tài)系統(tǒng)在激勵信號加入前瞬間的一組狀態(tài)：稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，簡稱0-狀態(tài).起始狀態(tài)包含了計算未來響應的全部“過去”信息。由于受激勵的影響，這組狀態(tài)從t=0-到t=0+時刻可能發(fā)生變化。系統(tǒng)0-狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況。2024/1/17信號與系統(tǒng)28三、初始條件確定系統(tǒng)完全響應：通常為了確定系統(tǒng)的待定系數(shù)，須根據(jù)系統(tǒng)的0-狀態(tài)和激勵信號情況求出0+的狀態(tài)。初始條件：（導出的起始狀態(tài)）：由響應區(qū)間t=0+時刻組成的一組狀態(tài)：式中為待定系數(shù)，是由響應區(qū)間內(nèi)t=0+時刻的一組狀態(tài)確定的。2024/1/17信號與系統(tǒng)29四、初始條件的求取2024/1/17信號與系統(tǒng)30五、沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法原理：根據(jù)t=0時刻微分方程左右兩端的

(t)及其各階導數(shù)應該平衡相等。系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含

(t)

及其各階導數(shù)。如果包含有

(t)及其各階導數(shù)，說明相應的0-到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即2024/1/17信號與系統(tǒng)31沖激函數(shù)匹配法步驟：函數(shù)只匹配(t)及其各階導數(shù)項，使方程兩端這些函數(shù)項對應相等。（1）先從最高階項開始匹配；匹配從方程左端r(k)(t)的最高階項開始，首先使方程右端函數(shù)最高階次項得到匹配。（2）最高階項匹配好后對低階項的影響；每次匹配方程低階函數(shù)項時，如果方程左端所有同階次函數(shù)各項系數(shù)之和不能和右端匹配，則由左端r(k)(t)最高階項中補償。（3）匹配低階項。已匹配好的高階次函數(shù)項系數(shù)不變。2024/1/17信號與系統(tǒng)32例子2024/1/17信號與系統(tǒng)33則代入方程得(2)法：可設2024/1/17信號與系統(tǒng)34舉例2－５：解：如圖所示電路，t<0時開關S處于1位置且達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S由1位置轉向2位置。建立i(t)微分方程并求解。

2024/1/17信號與系統(tǒng)352024/1/17信號與系統(tǒng)36

求待定系數(shù)。因為2024/1/17信號與系統(tǒng)372024/1/17信號與系統(tǒng)38用沖激函數(shù)匹配法2024/1/17信號與系統(tǒng)392024/1/17信號與系統(tǒng)402024/1/17信號與系統(tǒng)41自由響應：微分方程的齊次解表示系統(tǒng)的自由響應。它是由表示系統(tǒng)特性的特征方程根

i決定。又稱為系統(tǒng)的“固有頻率”（或“自由頻率”、“自然頻率”）。從系統(tǒng)分析的角度，線性常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)?；仡櫍壕€性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解法。強迫響應：微分方程的特解表示系統(tǒng)的強迫響應?？梢姀娖软憫慌c激勵函數(shù)的形式有關。六、自由響應與強迫響應系統(tǒng)的完全響應：由系統(tǒng)自身特性決定的自由響應和與外加激勵信號有關的強迫響應兩部分組成。2024/1/17信號與系統(tǒng)42第四節(jié)零輸入響應和零狀態(tài)響應2024/1/17信號與系統(tǒng)43一、零輸入響應與零狀態(tài)響應1.微分方程的求解

零輸入響應零狀態(tài)響應2024/1/17信號與系統(tǒng)442.零輸入響應

零輸入響應：沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。2024/1/17信號與系統(tǒng)453、零狀態(tài)響應

零狀態(tài)響應：不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應。2024/1/17信號與系統(tǒng)464、系統(tǒng)全響應系統(tǒng)全響應的表達式：2024/1/17信號與系統(tǒng)47

舉例2.6

0)(3)(4)('''=++tytytyzizizi解：1）求零輸入響應描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為2024/1/17信號與系統(tǒng)482024/1/17信號與系統(tǒng)492）求零狀態(tài)響應2024/1/17信號與系統(tǒng)502024/1/17信號與系統(tǒng)512024/1/17信號與系統(tǒng)525.瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應2024/1/17信號與系統(tǒng)536.系統(tǒng)的線性時不變性

2024/1/17信號與系統(tǒng)54第五節(jié)沖激響應與階躍響應2024/1/17信號與系統(tǒng)551.沖激響應2024/1/17信號與系統(tǒng)562.沖激響應求解

2024/1/17信號與系統(tǒng)573.階躍響應

2024/1/17信號與系統(tǒng)58舉例2.9：解：系統(tǒng)的微分方程為：

求例2.5中系統(tǒng)的電流i(t)對激勵e(t)=(t)的沖激電流響應h(t)和階躍響應g(t).2024/1/17信號與系統(tǒng)59它的齊次解形式為：求系統(tǒng)的沖激響應h(t)其滿足上方程：2024/1/17信號與系統(tǒng)60利用沖激函數(shù)匹配法求h(0+)及其導數(shù)h(0+)。由于方程右端自由項

(t)的最高階導數(shù)為(t)2024/1/17信號與系統(tǒng)612024/1/17信號與系統(tǒng)62求階躍響應2024/1/17信號與系統(tǒng)63第六節(jié)卷積2024/1/17信號與系統(tǒng)641.卷積積分定義及物理意義卷積方法最早的研究可追溯到19世紀初：數(shù)學家歐拉(Euler)、泊松(Poission)、杜阿美爾(Duhamel)等人。卷積方法的原理：是將信號分解為沖激信號之和，借助系統(tǒng)的沖激響應h(t)，求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應。卷積積分中積分極限很關鍵，務必在運算中注意。2024/1/17信號與系統(tǒng)652.卷積方法若將此信號作用到?jīng)_激信號為h(t)的線性時不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應為原理：任意信號可以用沖激信號的組合表示：這就是卷積方法。2024/1/17信號與系統(tǒng)663.用卷積積分法求零狀態(tài)響應2024/1/17信號與系統(tǒng)674.卷積積分圖解法卷積積分圖解法：可以把卷積運算中一些抽象的關系形象化，便于理解卷積的概念及方便運算。卷積積分圖解法五個步驟：１、反折２、平移３、相乘４、相加具體地：（１）改換圖形中的橫坐標，由t改為，變成函數(shù)的自變量；（２）把其中一個信號反折（反褶）。（３）把反折后的信號做位移，移位量是t，這樣t是一個參變量。在坐標系中，t>0圖形右移；t<0圖形左移。（４）兩信號重疊部分相乘e()h(t-);（５）完成相乘后圖形的積分。2024/1/17信號與系統(tǒng)68舉例2.10（１）反折（２）平移（左移到與另一信號沒有重合后，再右移。（３）相乘2024/1/17信號與系統(tǒng)692024/1/17信號與系統(tǒng)702024/1/17信號與系統(tǒng)71（4）相加：以上各圖中的陰影面積，即為相乘積分的結果。最后，若以t為橫坐標，將與t對應積分值描成曲線，就是卷積