信號(hào)與系統(tǒng)第5章-連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)拉普拉斯變換拉普拉斯變換的主要性質(zhì)拉普拉斯反變換系統(tǒng)的s域分析第四章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第四章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

基于傅里葉變換的頻域分析法引入了信號(hào)頻譜和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，具有清晰的物理意義。但頻域分析有其局限性：1、要求函數(shù)絕對(duì)可積(狄里克雷條件)拉普拉斯變換傅里葉變換的推廣可解決上述問題2、只能求零狀態(tài)響應(yīng)，求全響應(yīng)困難

函數(shù)f(t)不滿足絕對(duì)可積條件往往是由于當(dāng)︱t︱→∞

時(shí)f(t)不衰減造成的，因此若人為乘上一個(gè)衰減因子e-σt，就可能符合絕對(duì)可積條件，因而其傅里葉變換存在：§4.1

拉普拉斯變換拉普拉斯正變換1、拉普拉斯變換的定義拉普拉斯反變換拉普拉斯正變換更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：正變換：反變換：雙邊拉普拉斯正變換與傅里葉變換一樣有時(shí)也記為F(s)稱為復(fù)頻譜（象函數(shù)）S

稱為復(fù)頻率2、拉普拉斯變換的物理意義F

:分量，每個(gè)分量的幅度為是將信號(hào)分解為無窮多個(gè)是將信號(hào)分解為無窮多個(gè)L

:分量，每個(gè)分量的幅度為

一對(duì)合成一個(gè)實(shí)信號(hào)，代表的是一個(gè)正弦分量

一對(duì)合成一個(gè)實(shí)信號(hào)，代表的是一個(gè)按變化的正弦分量拉普拉斯變換的物理意義：沿σ-j∞→σ+j∞積分路徑，將無窮多個(gè)est分量迭加得f(t)拉普拉斯反變換：拉普拉斯變換：將f(t)

沿σ-j∞→σ+j∞分解為無窮多個(gè)est分量傅里葉變換：

沿路徑-j∞→+j∞(虛軸)的分解與迭加拉普拉斯變換的特例A1A2B1B2C1C1*C2C2*的含義S平面1、收斂域定義：使f(t)e-σt收斂，即F(s)存在的σ的取值范圍f(t)e-σt收斂拉普拉斯變換的收斂域在s平面上以σ=

σ0

為界將s平面分為兩個(gè)區(qū)域。σ=

σ0

稱收斂邊界σ>σ0

為收斂域（不包含邊界）

在收斂域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在，在收斂域外則不存在。

F(s)的所有極點(diǎn)必須在收斂域外。2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法1.持續(xù)時(shí)間有限的單個(gè)脈沖信號(hào)3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面，拉斯變換無條件存在。能量有限信號(hào)，因此不管σ取何值總是滿足收斂域?yàn)椴话撦S的右半平面2.單位階躍信號(hào)

3.單邊指數(shù)信號(hào)4.單邊斜變信號(hào)1、在電子技術(shù)中常用的有始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。2、能量有限的信號(hào)，單邊拉普拉斯變換的收斂域?yàn)檎麄€(gè)復(fù)平面。3、有始無終的單邊函數(shù)，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。4、在收斂域中不包含極點(diǎn)。5、凡符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。結(jié)論：常用函數(shù)的拉普拉斯變換收斂域?yàn)棣?gt;Re(α)

推論：2、單位階躍函數(shù)3、單位沖激函數(shù)衰減的正弦、余弦、雙曲函數(shù)等都可用同樣的方法求出4、單邊正弦函數(shù)5、t的正冪函數(shù)tnε(t)

（n為正整數(shù)）符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換。所以，其傅里葉變換和拉普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化。不符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則不符合上面的轉(zhuǎn)化關(guān)系。常用函數(shù)的拉普拉斯變換：記住！§4.2

拉普拉斯變換的性質(zhì)

拉普拉斯變換和傅里葉變換變換的性質(zhì)有些是相似的，而有些是有區(qū)別的，要注意它們的相似之處和不同之處不要混淆。

這些性質(zhì)都是針對(duì)單邊拉普拉斯變換的。2、尺度變換若：

則：1、線性若：則：3、時(shí)間平移若：

則：例1：f(t)如圖，求F(s)。解：

例2:如圖有始周期函數(shù)f(t)，若其第一個(gè)周期的函數(shù)記為f1(t)，且求：F(s)。解：結(jié)論：周期為T的有始周期函數(shù)，其拉普拉斯變換為為第一個(gè)周期的普拉斯變換4、復(fù)頻域平移若：例如：由可得：又如：5、時(shí)域微分若：證明：本性質(zhì)可推廣到n階導(dǎo)數(shù)，即：說明：這里的是指函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)刻的值，如果都取時(shí)刻的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)。及其它的各階導(dǎo)數(shù)在和它們的拉普拉斯變換不同本書采用系統(tǒng)的值不同時(shí)，例：，求：和系統(tǒng)下，的拉普拉斯變換。解：系統(tǒng)：系統(tǒng)：6、時(shí)域積分本性質(zhì)也可推廣到多重積分則：區(qū)間為如積分7、復(fù)頻域微分與積分8、對(duì)參變量的微分與積分1、使用微分性質(zhì)：2、使用參變量微分性質(zhì)：9、初值定理：若函數(shù)及導(dǎo)數(shù)存在，且則的初值如果f(t)在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)存在，則F(s)

為假分式，可分解為s的多項(xiàng)式與真分式之和：注意：10、終值定理若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)存在拉普拉斯變換，且F(s)

的極點(diǎn)都位于s平面的左半平面或在原點(diǎn)處有一個(gè)單階極點(diǎn)。則f(t)的終值證明：前面已證解：例1：解：例2：11、卷積定理證明：時(shí)域頻域§4.3

拉普拉斯反變換已知求求反變換1.部分分式展開法2.留數(shù)法（圍線積分法）一、部分分式展開法若象函數(shù)為有理分式：為正整數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)為真分式i)若有n個(gè)單階極點(diǎn)則例1：已知：解：分析：F(s)為假分式，先化為真分式解：例2：若F(s)分母中的二次式有一對(duì)共軛復(fù)根，則在部分分式展開時(shí)可把它們作為整體來處理。解：解一：用待定系數(shù)法確定：例4：兩邊同乘：得：解二:例4：ii)若F(s)

有一個(gè)p階極點(diǎn)s1，另有n-p個(gè)單極點(diǎn)sp+1，

...sn。則：例5：二、留數(shù)法（圍線積分法）

表示復(fù)變函數(shù)g(s)沿s平面中不經(jīng)過極點(diǎn)的閉合路徑c的積分（積分方向?yàn)榉磿r(shí)針方向），可由g(s)在圍線內(nèi)極點(diǎn)上的留數(shù)來確定。復(fù)變函數(shù)中的圍線積分

對(duì)照拉普拉斯反變換公式：

可見拉普拉斯反變換也是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分問題，被積函數(shù)為F(s)est，積分路徑為σ-j∞→σ+j∞不是圍線，為此我們補(bǔ)充一個(gè)半徑為無窮大的半圓使它成為一個(gè)閉合路徑，同時(shí)可以保證被積函數(shù)的所有極點(diǎn)在圍線內(nèi)。t>0時(shí)，若σt<σ0t

應(yīng)取左半圓弧t<0，若σt<σ0t應(yīng)取右半圓弧若為0則約當(dāng)引理：1、當(dāng)∣s∣=R→∞時(shí)，∣F(s)∣→02、因子est中指數(shù)st的實(shí)部σt應(yīng)滿足σt<σ0t，σ0為大于σc的某一常數(shù)。F(s)為真分式即可單邊拉普拉斯變換t>0，所以積分路徑取左半圓弧小結(jié)：1、拉普拉斯變換中的被積函數(shù)為F(s)est，顯然F(s)的極點(diǎn)就是F(s)est的極點(diǎn)。2、對(duì)于單邊拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)的收斂域在收斂軸的右邊，因而積分路徑取左半圓弧。3、左半圓弧的半徑取無窮大，則圍線中包含了F(s)

也是F(s)est的所有極點(diǎn)。4、根據(jù)約當(dāng)引理，F(xiàn)(s)拉普拉斯反變換就等于

F(s)est的所有極點(diǎn)上的留數(shù)之和。F(s)極點(diǎn)的留數(shù)的求法：先化為真分式§4.4

線性系統(tǒng)的s域分析一、由微分方程的拉普拉斯變換求解系統(tǒng)

全響應(yīng)的拉普拉斯變換自動(dòng)計(jì)入初始條件直接求得全響應(yīng)解代數(shù)方程例：已知一個(gè)二階系統(tǒng)的微分方程為：方程兩邊取拉普拉斯變換：求全響應(yīng)解：代入初始條件并整理得：依據(jù)兩個(gè)方面的約束：二、由電路的S域模型求解系統(tǒng)1、元件的伏安特性2、電路的基本定律(KVL,KCL)

例1：電路如圖所示，求回路電流i1(t)。解：畫原電路的S域模型：列方程求回路電流i1(t)，要求分零輸入和零狀態(tài)求。解：畫s域模型：例:1、先求零輸入響應(yīng)，將電路中的激勵(lì)短路列回路方程：2、求零狀態(tài)響應(yīng)，將電路中的等效電源短路，列回路方程：全響應(yīng)三、由系統(tǒng)函數(shù)H(s)求解系統(tǒng)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求法：1).由h(t)求:2).由微分方程求:3).由S域模型求:方程兩邊取拉氏變換，所有初始條件為零

微分算子H(p)與

H(s)、H(jw)的關(guān)系：已知系統(tǒng)的微分方程例：e(t)i(t)例