信號與系統(tǒng)第一章-2(含作業(yè))

第一章信號與系統(tǒng)的基本概念1.1信號的描述1.2信號的分類1.3信號的基本運算（重點）1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)（重點與難點）1.5系統(tǒng)的描述1.6系統(tǒng)的性質(zhì)和分類1.7LTI系統(tǒng)分析方法概述

1.5系統(tǒng)的描述由若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的過程共分為四步，一是分析實際物理問題，二是建立數(shù)學(xué)模型，三是求出解答，四是給出結(jié)果的物理解釋。即時系統(tǒng)（無記憶系統(tǒng)）：響應(yīng)僅取決于激勵，即電阻組成，用代數(shù)方程描述。動態(tài)系統(tǒng)（記憶系統(tǒng)）：相應(yīng)與激勵有關(guān)，而且與過去歷史狀態(tài)有關(guān)（初始條件）。含有記憶元件（電容、電感），由微分方程描述。本書主要討論動態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)的描述分為兩種，一是數(shù)學(xué)模型，二是框圖表示，并且兩種描述可互換。

一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)信號連續(xù)信號離散系統(tǒng)離散信號離散信號請回顧應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型激勵：響應(yīng)：對電容元件：對電感元件：C＋－ui+-uiLRLC串聯(lián)電路模型首先建立各個元器件的模型（請回憶相關(guān)知識）由基爾霍夫電壓定律（KVL）有：RLC串聯(lián)電路模型然后是電路相關(guān)定律建立關(guān)于系統(tǒng)的微分方程二、系統(tǒng)的框圖表示1.加法器2.乘法器3.標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）4.微分器5.積分器6.延時器接著學(xué)習(xí)一般系統(tǒng)的一般表示方式()()()tftfty21+=加法器乘法器標(biāo)量乘法器（數(shù)乘器，比例器）

AA微分器積分器延時器例1：某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。例2:某連續(xù)系統(tǒng)如圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。此類結(jié)構(gòu)的求解規(guī)律：觀察上面方程x及各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，匹配到y(tǒng)上，然后相加整理。叫做系數(shù)匹配法。例3：某離散系統(tǒng)如圖所示，寫出該系統(tǒng)的差分方程。此類結(jié)構(gòu)的求解規(guī)律：觀察上面方程x及各階差分的系數(shù)，匹配到y(tǒng)上，然后相加整理。叫做系數(shù)匹配法。一．線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)：指具有線性特性的系統(tǒng)。線性:指均勻性，疊加性。均勻性(齊次性):疊加性：1.6系統(tǒng)的特性和分析方法類似于正比例而不是普通的線性函數(shù)特點線性特性:HH()()tftf2211aa+H()()tyty2211aa+如果系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的。線性系統(tǒng)的條件⑴

動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)不僅與激勵{f

(·)}有關(guān)，而且與可分解性

零狀態(tài)線性

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入線性⑵動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，要滿足下面3個條件：系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān),初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。線性系統(tǒng)的條件①輸出的可分解性：

y

(·)

=yzi(·)+yzs(·)②零狀態(tài)線性：

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，

yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]線性系統(tǒng)（連續(xù)、離散）

線性微分（差分）方程

左邊表示輸入右邊表示零時刻狀態(tài)輸入為零零時刻狀態(tài)為零例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yzs(t)+yzi(t)，

滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],

滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

例2：判斷下述微分方程所對應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)?

解：分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有均勻性和疊加性。可以證明:

系統(tǒng)不滿足均勻性系統(tǒng)不具有疊加性此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。設(shè)信號e(t)作用系統(tǒng)，響應(yīng)為r(t),當(dāng)Ae(t)作用于系統(tǒng)時，若此系統(tǒng)具有線性則原方程兩端乘A：

(1),(2)兩式矛盾。故此系統(tǒng)不滿足均勻性。證明均勻性：(5)、(6)式矛盾，該系統(tǒng)為不具有疊加性。

假設(shè)有兩個輸入信號分別激勵系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有：

當(dāng)同時作用于系統(tǒng)時，若該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，應(yīng)有(3)+(4)得證明疊加性:

二、時不變性系統(tǒng)

如果系統(tǒng)的參數(shù)都是常數(shù)，它不隨時間變化，則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。描述線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分（或差分）方程，而描述線性時變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是變系數(shù)線性微分（或差分）方程。認(rèn)識：從方程看:系數(shù)是否隨時間而變電路分析上看:元件的參數(shù)值是否隨時間而變判斷方法：先時移，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再時移時不變系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的時不變性例1：判斷下列兩個系統(tǒng)是否為非時變系統(tǒng)．系統(tǒng)的作用是對輸入信號作余弦運算。

此系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。excitement,激勵此系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。系統(tǒng)作用:輸入信號乘cos(t)例2：判斷如下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)．例3：判斷系統(tǒng)是否為線性非時變系統(tǒng)？先判斷是否為線性系統(tǒng)？可見：先線性運算，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運算,所以此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)再判斷是否為時不變系統(tǒng)？

可見：時移、再經(jīng)系統(tǒng)≠經(jīng)系統(tǒng)、再時移所以此系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。系統(tǒng)系統(tǒng)利用線性和時不變可以證明微分特性和積分特性微分性：積分性：利用線性證明，可推廣至高階。

三、因果性

因果系統(tǒng)是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號激勵系統(tǒng)時，才會出現(xiàn)輸出（響應(yīng)）的系統(tǒng)。也就是說，因果系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）不會出現(xiàn)在輸入信號激勵系統(tǒng)以前的時刻。系統(tǒng)的這種特性稱為因果特性。符合因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(非超前系統(tǒng))。判斷方法：輸出不超前于輸入。

實際的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實際的意義，如信號的壓縮、擴(kuò)展，語音信號處理等。若信號的自變量不是時間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。例：判斷下列系統(tǒng)為是否為因果系統(tǒng))2()()1()()()()2(2)1(3)()()()1(3)(tftykfkyifkykfkfkydftytftyzszskizszstzszs=+==-+-==-=?ò-￥=￥-tt四、穩(wěn)定性一個系統(tǒng)，若對有界的激勵f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞

則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例：yf(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因為，當(dāng)f(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時，它也→∞，無界。關(guān)于是否穩(wěn)定，后面的章節(jié)中會有詳細(xì)判據(jù)五、LTI系統(tǒng)分析方法概述

系統(tǒng)分析研究的主要問題：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應(yīng)。具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。

系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8)外部法時域分析（chp.2,chp.3)變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(4)和復(fù)頻域法(5)離散系統(tǒng)—z域法（chp6)系統(tǒng)特性：系統(tǒng)函數(shù)（chp.7)6、7不講第一章作業(yè)1.1(2)，(4),(7),(8),(10)1.2（2）（8）1.3(a)，(b),(c)1.5(2),(3),(4),(5),(6)1.6(5),（7）1.7（6）1.91.12,1.13，1.20(a),1.25(1),(6)2024/1/17第1章信號與系統(tǒng)35第一章所有作業(yè)第1題(1)、(4)、(5)、(7)、(9)第2題(1)、(5)、(7)、(9)、(11)第3題，第4題，第