靜態(tài)場及其邊值問題的解

本章內(nèi)容

3.1

靜電場分析

3.2

導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3

恒定磁場分析

3.4

靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法

靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場

時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立

3.1靜電場分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1

靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2

電位函數(shù)

3.1.3

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容

3.1.4

靜電場的能量

3.1.5

靜電力2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即

，則介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

場矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)體表面的邊界條件由即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)2.電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：

故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：3.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明

P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用U表示。電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差電場力做的功

靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即幾種常見電荷分布的電位參考點(diǎn)點(diǎn)電荷：設(shè)點(diǎn)電荷q在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場點(diǎn)(電位考察點(diǎn))P，選擇路徑P→M→Q(路徑可以任意選擇)進(jìn)行積分，有OQrPMPrQ積分貢獻(xiàn)為零

線電荷：設(shè)線電荷

l在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場點(diǎn)(電位考察點(diǎn))P，沿如前路徑進(jìn)行積分，有如果選擇參考點(diǎn)在rQ=∞，得

P=∞，顯然不合理。如果選擇rQ=1，得，顯然這種形式最簡單。

面電荷(例3.1.2)：無限大面電荷產(chǎn)生的電場在空間均勻分布。設(shè)均勻電場E0，場中任意兩點(diǎn)P1和P2的電位差為RP2P1dlE0r1r2O

在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度等位線電場線電偶極子的場圖

電場線微分方程：

等位線方程：

解

選定均勻電場空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P

的位置矢量為r，則若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即，則

在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場的電位分布。xyzL-L解

采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與z

軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與

無關(guān)。在帶電線上位于處的線元，它到點(diǎn)的距離，則

例3.1.3

求長度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。

在上式中若令，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng)時(shí)，上式可寫為當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇ρ=a

的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有6.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為

1和

2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離Δl→0時(shí)導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由

和媒質(zhì)2媒質(zhì)1

若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即常數(shù)，

例3.1.4

兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。

解

在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板利用邊界條件，有

處，最后得

處，

處，所以由此解得例：半徑為a的帶電導(dǎo)體球，已知球體電位為U，求空間電位分布及電場強(qiáng)度分布。解法一：導(dǎo)體球是等勢體。時(shí)：時(shí)：解法二：電荷均勻分布在導(dǎo)體球上，呈點(diǎn)對稱。

設(shè)導(dǎo)體球帶電總量為Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強(qiáng)度為：小結(jié)：求空間電場分布的方法1、場源積分法積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。2、應(yīng)用高斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。3、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場。

在實(shí)際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用。通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容

電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。

孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位

的比值，即1.電容

孤立導(dǎo)體的電容

兩個(gè)帶等量異號電荷（

q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。

(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和－q；

(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；

計(jì)算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q

，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，

例3.1.4

同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容

例3.1.5

如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解

設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長度的電容為

例3.1.6

同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為

的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線＊

2.部份電容

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的概念加以推廣，引入部分電容的概念。

在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為式中：——自電位系數(shù)——互電位系數(shù)（1）

電位系數(shù)

αij在數(shù)值上等于第i個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第j個(gè)導(dǎo)體上的電位，即

αij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即αij=αji。

αij>

0；

電位系數(shù)的特點(diǎn)：若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為

式中：——自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù)

——互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù)

（2）

電容系數(shù)

βij在數(shù)值上等于第j個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo)體接地時(shí)，第i個(gè)導(dǎo)體上的電量，即

βij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即βij=βji。

βii>

0、；

電容系數(shù)的特點(diǎn)：將各導(dǎo)體的電量表示為

式中：（3）

部分電容——導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的部分電容——導(dǎo)體i與地之間的部分電容

Cii在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第i個(gè)導(dǎo)體上的電量；

Cij只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；

具有對稱性，即Cij=Cji。

Cij>

0；

Cij在數(shù)值上等于第j個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余導(dǎo)體都接地時(shí)，第i個(gè)導(dǎo)體上的電量；部分電容的特點(diǎn)：

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為，則比值稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。（4）等效電容如圖所示，有三個(gè)部分電容導(dǎo)線1和2間的等效電容為導(dǎo)線1和大地間的等效電容為導(dǎo)線2和大地間的等效電容為12大地大地上空的平行雙導(dǎo)線

如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。

靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。

任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4靜電場的能量

1.靜電場的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為

。充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為αq、電位為α

。(0≤α≤1)當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，外電源做功為:α

(qdα)。對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場能量We

，即

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——

第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷——

第i個(gè)導(dǎo)體的電位式中：2.電場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有由于體積V外的電荷密度ρ＝0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有故

推證：ρρ＝0S

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計(jì)算

根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度故

方法二：利用計(jì)算

先求出電位分布

故

已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計(jì)算靜電力。

虛位移法：假設(shè)第i個(gè)帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。

具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5靜電力1.各帶電導(dǎo)體的電位不變

此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則

dWS＝0，因此2.各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的“－”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。

不變q不變3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

3.2.3漏電導(dǎo)

由J＝

E可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。

恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則

均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷2.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場矢量的邊界條件即即導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系電位的邊界條件

恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說明：媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1

如

2>>

1、且

2≠90°，則

1＝0，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即

1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場與分界面平行。3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）

本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場關(guān)于恒定電場的進(jìn)一步說明與靜電場性質(zhì)相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運(yùn)動(dòng)電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時(shí)間變化恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)電體外和導(dǎo)電體內(nèi)，其表面同時(shí)有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時(shí)導(dǎo)電體不是等位體電場矢量在分界面上的折射關(guān)系E2n

221

1E1如

2>>1，

2≠90°，

1＝0，電力線近似垂直良導(dǎo)體表面，近似等位體如介質(zhì)1為理想介質(zhì)，

1＝0，J1=0，導(dǎo)電體一側(cè)中只有切向電流和切向電場恒定電場問題可利用對應(yīng)量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來由J的邊界條件可得3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量3.3.5

磁場力

3.3恒定磁場分析微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量

的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式

磁矢位的邊界條件（可以證明滿足）

對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流：面電流：由此可得出2.恒定磁場的標(biāo)量磁位

一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程將

代入——等效磁荷體密度

與靜電位相比較，有標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中

標(biāo)量磁位的表達(dá)式和或和式中：——

等效磁荷面密度靜電位

磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

0

P磁標(biāo)位

m

0

m1.磁通與磁鏈

3.3.3電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI

細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量

o；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量

i。

iCI

o粗回路

設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為

，則磁鏈

與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點(diǎn)：

對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈

12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。

3.互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時(shí)，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。

互感的特點(diǎn)：3.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量

在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。

電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場具有能量。

磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢。

假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。

假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。

設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為

I、交鏈的磁鏈為

。在時(shí)刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α

。(0≤α≤1)

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢:

對于N個(gè)載流回路，則有對于體分布電流，則有例如，對于兩個(gè)電流回路C1和回路C2

，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能2.磁場能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有故

推證：S

例3.3.9

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得三個(gè)區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感3.3.5

磁場力

假定第i個(gè)回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移dgi

。此時(shí)，磁場力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dW