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第1頁(yè)(共1頁(yè))2021年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題(本大題共12題,1-6每題4分,7-12每題5分,共54分)1.(4分)若集合,,,則.2.(4分)函數(shù)的反函數(shù)為.3.(4分)若且,則.4.(4分)設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為2,若該數(shù)列的公比為,則.5.(4分)在的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.6.(4分)若正方體的棱長(zhǎng)為1,則該正方體的外接球的體積為.7.(5分)若圓以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)半軸為半徑,則圓的方程為.8.(5分)一個(gè)袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個(gè)球,其中2個(gè)紅色、3個(gè)藍(lán)色、5個(gè)黑色,經(jīng)過(guò)充分混合后,若從此袋中任意取出4個(gè)球,則三種顏色的球均取到的概率為.9.(5分)設(shè),則不等式的解集為.10.(5分)某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展,經(jīng)過(guò)測(cè)量其三邊長(zhǎng)分別為14、10、6(單位:,且該區(qū)域的租金為每天4元,若租用上述區(qū)域5天,則僅場(chǎng)地的租用費(fèi)約需元(結(jié)果保留整數(shù)).11.(5分)如圖所示,在直角梯形中,已知,,,,為的中點(diǎn),設(shè)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),若、、三點(diǎn)共線,則的最大值為.12.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),若函數(shù)在區(qū)間,上有零點(diǎn),則的取值范圍是.二.選擇題(本大題共4題,每題5分,共20分)13.(5分)曲線的準(zhǔn)線方程是A. B. C. D.14.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),且,則在以下各項(xiàng)中的可能取值只能是A. B. C. D.15.(5分)如圖,在正四棱柱中,底面邊長(zhǎng),高,為棱的中點(diǎn),設(shè),,,則、、之間的關(guān)系正確的是A. B. C. D.16.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)集上給出下列兩個(gè)結(jié)論:①存在、,使得該方程僅有兩個(gè)共軛虛根;②存在、,使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根;其中正確的是A.①與②均正確 B.①正確,②不正確 C.①不正確,②正確 D.①與②均不正確三.解答題(本大題共5題,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)設(shè)為常數(shù),函數(shù).(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及頻率;(2)若函數(shù)為偶函數(shù),求此函數(shù)的值域.18.(14分)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,直線經(jīng)過(guò)且與的兩條漸近線中的一條平行,與另一條相交且交點(diǎn)在第一象限.(1)設(shè)為右支上的任意一點(diǎn),求的最小值;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),求到的距離,并求與的交點(diǎn)坐標(biāo).19.(14分)某商場(chǎng)共有三層樓,在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長(zhǎng)的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顧客乘用,如圖,一顧客自一樓點(diǎn)處乘Ⅰ到達(dá)二樓的點(diǎn)處后,沿著二樓面上的圓弧逆時(shí)針步行至點(diǎn)處,且為弧的中點(diǎn),再乘Ⅱ到達(dá)三樓的點(diǎn)處,設(shè)圓柱形空間三個(gè)樓面圓的中心分別為、、,半徑為8米,相鄰樓層的間距米,兩部電梯與樓面所成角的大小均為.(1)求此顧客在二樓面上步行的路程;(2)求異面直線和所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)20.(16分)已知無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng)為,其前項(xiàng)和為,且,其中為常數(shù)且.(1)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求的值;(2)設(shè),,是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項(xiàng)成立?若存在,求出滿足條件的所有值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求證:數(shù)列中不同的兩項(xiàng)之和仍為此數(shù)列中的某一項(xiàng)的充要條件為存在整數(shù)且,使得.21.(18分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)設(shè)、均為實(shí)數(shù),當(dāng),時(shí),的最大值為1,且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)及的值,使得關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍;(3)設(shè)為實(shí)數(shù),若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、且,試將表示為關(guān)于的函數(shù),并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域.
2021年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題共12題,1-6每題4分,7-12每題5分,共54分)1.(4分)若集合,,,則.【解答】解:,,,,故答案為:.2.(4分)函數(shù)的反函數(shù)為.【解答】解:由解得或(舍去),所以,,所以原函數(shù)的反函數(shù)為,,故答案為:,.3.(4分)若且,則.【解答】解:由,且,可得,所以,故答案為:.4.(4分)設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為2,若該數(shù)列的公比為,則.【解答】解:由題意可得,且,,故.故答案為:.5.(4分)在的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為28.【解答】解:的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,,1,,8.令,解得,則項(xiàng)的系數(shù),故答案為:28.6.(4分)若正方體的棱長(zhǎng)為1,則該正方體的外接球的體積為.【解答】解:正方體棱長(zhǎng)為1,正方體的外接球的半徑,正方體的外接球的體積.故答案為:.7.(5分)若圓以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)半軸為半徑,則圓的方程為.【解答】解:根據(jù)題意,橢圓中,,,則,則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則圓的圓心為,半徑,故圓的方程為:,故答案為:.8.(5分)一個(gè)袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個(gè)球,其中2個(gè)紅色、3個(gè)藍(lán)色、5個(gè)黑色,經(jīng)過(guò)充分混合后,若從此袋中任意取出4個(gè)球,則三種顏色的球均取到的概率為.【解答】解:由題設(shè)知:從10個(gè)球中任取4個(gè)球,共有種取法,滿足三種顏色的球均取到的取法有種,三種顏色的球均取到的概率為,故答案為:.9.(5分)設(shè),則不等式的解集為.【解答】解:因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,由(1),可得即,解得,.故答案為:.10.(5分)某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展,經(jīng)過(guò)測(cè)量其三邊長(zhǎng)分別為14、10、6(單位:,且該區(qū)域的租金為每天4元,若租用上述區(qū)域5天,則僅場(chǎng)地的租用費(fèi)約需520元(結(jié)果保留整數(shù)).【解答】解:在中,設(shè),,,利用,由于,所以.所以,則花費(fèi)用為.故答案為:520元.11.(5分)如圖所示,在直角梯形中,已知,,,,為的中點(diǎn),設(shè)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),若、、三點(diǎn)共線,則的最大值為.【解答】解:如圖所示,建立直角坐標(biāo)系.,,,,,設(shè),,.設(shè),則,,,,,.、、三點(diǎn)共線,可以設(shè),,,,.消去可得:.則,,.令.,.則在,上單調(diào)遞減,因此時(shí),取得最大值.12.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),若函數(shù)在區(qū)間,上有零點(diǎn),則的取值范圍是,.【解答】解:在區(qū)間,上有零點(diǎn),在區(qū)間,上有解,在區(qū)間,上有解,令,(1),,,,,故答案為:,.二.選擇題(本大題共4題,每題5分,共20分)13.(5分)曲線的準(zhǔn)線方程是A. B. C. D.【解答】解:拋物線的準(zhǔn)線方程是,故選:.14.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),且,則在以下各項(xiàng)中的可能取值只能是A. B. C. D.【解答】解:,可得,整理得:,將選項(xiàng)代入,只有成立,故選:.15.(5分)如圖,在正四棱柱中,底面邊長(zhǎng),高,為棱的中點(diǎn),設(shè),,,則、、之間的關(guān)系正確的是A. B. C. D.【解答】解:由題意可得,連接,因?yàn)楦撸瑸槔獾闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)樵谡睦庵?,底面邊長(zhǎng),所以,所以為等邊三角形,所以,,連接,在△中,,,,由余弦定理可得,所以,所以.故選:.16.(5分)設(shè)、均為實(shí)數(shù),關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)集上給出下列兩個(gè)結(jié)論:①存在、,使得該方程僅有兩個(gè)共軛虛根;②存在、,使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根;其中正確的是A.①與②均正確 B.①正確,②不正確 C.①不正確,②正確 D.①與②均不正確【解答】解:對(duì)于方程,若,,方程化為,即,得,即方程僅有兩個(gè)共軛虛根,故①正確;當(dāng),時(shí),方程為,該方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,分別為,1,,2,有2個(gè)純虛跟,為,,共6個(gè)互不相等的根,故②正確.故選:.三.解答題(本大題共5題,共14+14+14+16+18=76分)17.(14分)設(shè)為常數(shù),函數(shù).(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及頻率;(2)若函數(shù)為偶函數(shù),求此函數(shù)的值域.【解答】解:(1)因?yàn)?,所以函?shù),令,解得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)是頻率;(2)因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),則,即,即,所以,所以,當(dāng)時(shí),,,所以,,故函數(shù)的值域?yàn)?,?8.(14分)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,直線經(jīng)過(guò)且與的兩條漸近線中的一條平行,與另一條相交且交點(diǎn)在第一象限.(1)設(shè)為右支上的任意一點(diǎn),求的最小值;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),求到的距離,并求與的交點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解:(1)由雙曲線,得,,則,,設(shè),,其中,且,,當(dāng)時(shí),;(2),的漸近線方程為,由題設(shè)可知,直線的方程為.到直線的距離.聯(lián)立,得,即,代入,得.與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.19.(14分)某商場(chǎng)共有三層樓,在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長(zhǎng)的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顧客乘用,如圖,一顧客自一樓點(diǎn)處乘Ⅰ到達(dá)二樓的點(diǎn)處后,沿著二樓面上的圓弧逆時(shí)針步行至點(diǎn)處,且為弧的中點(diǎn),再乘Ⅱ到達(dá)三樓的點(diǎn)處,設(shè)圓柱形空間三個(gè)樓面圓的中心分別為、、,半徑為8米,相鄰樓層的間距米,兩部電梯與樓面所成角的大小均為.(1)求此顧客在二樓面上步行的路程;(2)求異面直線和所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示)【解答】解:(1)過(guò)點(diǎn)作1樓面的垂線,垂足是,則落在圓柱底面圓上,連接,則即為在圓柱下底面上的射影,故即為與樓面所成的角,即,,可得,中,,故是等腰直角三角形,故,,故弧的長(zhǎng)為,故此顧客在二樓面上步行的路程為米;(2)由(1)可知,,兩兩互相垂直相交,于是以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖示:則,0,,,8,,,,,,,,故,,,,0,,設(shè)異面直線和所成角的大小為,則,即,故異面直線和所成角的大小為.20.(16分)已知無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng)為,其前項(xiàng)和為,且,其中為常數(shù)且.(1)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求的值;(2)設(shè),,是否存在正整數(shù)使得數(shù)列中的項(xiàng)成立?若存在,求出滿足條件的所有值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求證:數(shù)列中不同的兩項(xiàng)之和仍為此數(shù)列中的某一項(xiàng)的充要條件為存在整數(shù)且,使得.【解答】解:(1)由得數(shù)列是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列,故,,;(2)因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,,解得,又因?yàn)椋?,故,所以,,則,當(dāng),2,3,4,5,6,7,8時(shí),,不等式成立,當(dāng)時(shí),時(shí),不等式都不成立,所以滿足條件的所有的的值為1,2,3,4,5,6,7,8;(3)①先證必要性:任取等差數(shù)列中不同的兩項(xiàng),,,存在使得,則,得,故存在使得,使得,,再整:反證法證明:假設(shè)當(dāng)時(shí),不成立,則恒成立,對(duì)于不同的兩項(xiàng),,應(yīng)存在,使得,即,所以,又因?yàn)槭切∮诘恼麛?shù),故,所以假設(shè)不成立,故,②再證充分性:當(dāng),,,任取等差數(shù)列中不同的兩項(xiàng),,,則,因?yàn)榍?,所以,綜上①②可得,原結(jié)論成立.21.(18分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)設(shè)、均為實(shí)數(shù),當(dāng),時(shí),的最大值為1,且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)及的值,使得關(guān)
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