五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第16講 構(gòu)造認(rèn)證一（教師版）

第16講構(gòu)造認(rèn)證一內(nèi)容概述各種形式的構(gòu)造問題，解題時(shí)要不斷地調(diào)整設(shè)計(jì)方案以滿足全部要求，有時(shí)應(yīng)從簡(jiǎn)單情形入手尋找規(guī)律．本講的論證問題，一般采用奇偶性或整陣性的分析方法．典型問題興趣篇1．如圖16-1，用1×2和1×3兩種規(guī)格的小長(zhǎng)方形地板磚鋪滿的地面，至少需要地板磚多少塊？答案：14個(gè)詳解：5×8=4040÷3=13......11+3×1=4(13-1)+4÷2=142．國(guó)際象棋的皇后可以控制她所在的橫線、豎線和斜線，圖16-2中一個(gè)皇后（圖中五角星）就把整個(gè)3×3的棋盤控制了．為了控制一個(gè)4×4的棋盤至少要放幾個(gè)皇后？答案：2個(gè)◎◎詳解：可以如圖示位置放2個(gè)皇后3．圖16-3中的左圖為15枚硬幣組成的三角形，如果僅移動(dòng)5枚硬幣，要把這些硬幣變成右圖的形式，應(yīng)該怎樣移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出移動(dòng)的方法．答案：4．把100個(gè)橘子分裝在6個(gè)籃子里，使得每個(gè)籃子里裝的橘子數(shù)都含有數(shù)字6，應(yīng)該如何裝？答案：100=60+16+6+6+6+6詳解：一個(gè)籃子放60個(gè)，一個(gè)籃子放16個(gè)，其他4個(gè)籃子放6個(gè)。5．把正方體的所有棱染成白色或者紅色，要求每個(gè)面上至少要有一條棱是白色的．請(qǐng)問：最少有多少條棱是白色的？答案：3條詳解：三維方向：上下、左右、前后，各1條，共3條。6．請(qǐng)?jiān)?，8，…，3，2，l的相鄰兩個(gè)數(shù)之間填入“+”或者“-”（不能改變數(shù)的順序），使得結(jié)果是1．能否使得結(jié)果是0呢？答案：（1）能使結(jié)果=1，如9-8-7+6+5-4-3+2+1=1；（2）不能使結(jié)果=0詳解：（1）1+2+3+.....+8+9=45，分配和23-22=1，所以可以使結(jié)果=1；（2）同理，1+2+3+.....+8+9=45和為奇數(shù)，不能分成兩個(gè)一樣的和相減=0.所以不能使結(jié)果=0.7．如圖16-5，能否在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各填一個(gè)自然數(shù)，使得每條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都是奇數(shù)？如果能，請(qǐng)寫出一種填法；如果不能，請(qǐng)說明理由，答案：不能詳解：因?yàn)?個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)中至少有兩個(gè)奇偶性相同，所以至少有某條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)奇偶性一樣，而兩個(gè)數(shù)只要奇偶性相同，和就為偶數(shù)，所以不可能每條邊上頂點(diǎn)上的數(shù)之和都是奇數(shù)。8．四位同學(xué)進(jìn)行了一次乒乓球單打比賽，當(dāng)比賽進(jìn)行了若干場(chǎng)后，體育老師問他們分別比賽了多少場(chǎng)．這四位同學(xué)回答分別比了1、2、3、3場(chǎng)．老師說：“你們肯定有人記錯(cuò)了．”請(qǐng)問：老師是怎么知道的呢？答案：4人所說的比賽場(chǎng)數(shù)之和1+2+3+3=9為奇數(shù)，與每一場(chǎng)比賽被計(jì)算兩次總和為偶數(shù)矛盾。9．有四個(gè)算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，如果每一個(gè)算式中都至少有1個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)，那么12個(gè)數(shù)中一共有多少個(gè)偶數(shù)？如果沒有前面的限制，這12個(gè)數(shù)中最少有多少個(gè)偶數(shù)？最多有多少個(gè)偶數(shù)？答案：（1）6個(gè)；（2）最少2個(gè)；最多12個(gè)。詳解：（1）奇+偶=奇，奇-偶=奇，奇×偶=偶，偶÷奇=偶（2）滿足最少的四個(gè)式子：奇+奇=偶，奇-奇=偶，奇×奇=奇，奇÷奇=奇滿足最多的四個(gè)式子：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶×偶=偶，偶÷偶=偶10．有14個(gè)孩子，依次給他們編號(hào)為1，2，3，…，14.能否把他們分成三組，使得每組都有一個(gè)孩子的編號(hào)是該組其它孩子的編號(hào)之和．答案：不能詳解：因?yàn)?+2+3+4+........+13+14=105,為奇數(shù)，而如果能的話，和應(yīng)該為偶數(shù)，矛盾。拓展篇1．圖16-6中的左圖為21枚硬幣組成的三角形，如果僅移動(dòng)7枚硬幣，要把這些硬幣變成右圖的形式，應(yīng)該怎樣移動(dòng)？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出移動(dòng)的方法．答案：2．小明買來一個(gè)1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7塊，使得無論是3個(gè)人還是5個(gè)人平分，都不必再分割蛋糕．這7塊蛋糕的重量分別是多少？答案：分別為300g，300g，300g，200g，200g，100g，100g。3．有4顆外形完全相同的珍珠，其中3顆是真的，另1顆是假的，已知假珍珠比真的要輕，請(qǐng)問：用一架沒有砝碼的天平最少稱幾次就可以找出假珍珠？如果是9顆珍珠里有1顆假的呢？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出方案.答案：（1）4顆：稱2次；（2）9顆：稱2次。詳解：（1）首先，將4顆平均分成兩組，4=2+2，第一次：將兩組放于天平兩邊，假珍珠在輕的那邊2顆中；第二次：將輕的那兩顆分別放于天平兩邊，再稱1次，輕的一邊就是那顆假珍珠；（2）首先，將9顆平均分成三組，9=3+3+3，第一次：取其中兩組放天平兩邊，輕的一邊3顆中有1顆假的，如果兩邊一樣重，說明假的在這兩組之外的第三組中，這樣就將假珍珠確定在某3顆里面；第二次：從包含假珍珠的這一組里面任取2顆珍珠放在天平的兩邊，輕的一邊是假珍珠，如果兩邊一樣重，則第3顆是假珍珠。4．圖16-7中，左邊是一把長(zhǎng)為6厘米的直尺，其中已標(biāo)出2條刻度線，用它可以一次量出從1至6厘米中任意整數(shù)厘米的長(zhǎng)度．右圖為一把長(zhǎng)為9厘米的直尺，請(qǐng)你在上面只標(biāo)出3條刻度線，使得用這把直尺一次可以量出從1至9厘米中任意整數(shù)厘米的長(zhǎng)度．答案：將直尺分為：1厘米、1厘米、4厘米、3厘米四段，或者是：1厘米、3厘米、3厘米、2厘米四段。5．請(qǐng)將8個(gè)1，8個(gè)0填人圖16-8的16個(gè)空格中，使得每行、每列的4個(gè)數(shù)之和都是奇數(shù)．1110011101000010答案：（答案不唯一）如右圖示6．有一列自然數(shù)，其中任意3個(gè)相連的數(shù)之和都不小于6，而任意4個(gè)相連的數(shù)之和都小于8．這個(gè)數(shù)列最多能有幾項(xiàng)？答案：5項(xiàng)詳解：123117．用7個(gè)相同的數(shù)字并且適當(dāng)使用加、減號(hào)，可以計(jì)算出1000，例如1111-111=1000.試用8個(gè)相同的數(shù)字（并且適當(dāng)使用加號(hào)、減號(hào)）來計(jì)算1000.答案：888+88+8+8+8=1000.8．有12根小木棍，長(zhǎng)度分別為l，2，3，4，…，12厘米．(1)能否用這12根小木棍拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，要求木棍都得用上且不能折斷或彎曲；(2)能否用這12根小木棍拼成一個(gè)正方形，要求木棍都得用上且不能折斷或彎曲．答案：（1）能；（2）不能。詳解：（1）1+2+3+4+.......+11+12=78（厘米），78÷2=39，即可以拼成長(zhǎng)+寬=39（厘米）的長(zhǎng)方形；（2）1+2+3+4+.......+11+12=78（厘米），78不能被4整除，所以不能拼成正方形。9．(1)請(qǐng)?jiān)趌，2，3，…，19，20的相鄰兩個(gè)數(shù)之間填入“+”或者“一”（不能改變數(shù)的順序），使得結(jié)果是0．(2)能否在1，2，3，…，20，21的相鄰兩個(gè)數(shù)之間填人“+”或者“一”（不能改變數(shù)的順序），使得結(jié)果是0．答案：（1）能=0，即其中一種填法是1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+13-14-15+16+17-18-19+20=0；（2）不能詳解：（1）如給出的填法；（2）1+2+3+4+5+........+18+19+20+21=231為奇數(shù)，不能分成兩個(gè)一樣的數(shù)相減=0.10．有5個(gè)亮著的燈泡，每個(gè)燈泡都由一個(gè)開關(guān)控制，每次操作可以拉動(dòng)其中的2個(gè)開關(guān)以改變相應(yīng)燈泡的亮暗狀態(tài)，能否經(jīng)過若干次操作使得5個(gè)燈泡都變暗？答案：不能詳解：每次拉動(dòng)2個(gè)燈，拉燈的總次數(shù)為偶數(shù)，而5個(gè)燈都要亮著拉的總次數(shù)應(yīng)該為奇數(shù)，偶數(shù)不可能等于奇數(shù)，所以不能。11．桌上放有5張卡片，小悅先在卡片的正面分別寫上1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分別寫上l、2、3、4、5，寫完后計(jì)算每張卡片上兩數(shù)之和，再把5個(gè)和相乘．問：冬冬能否找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數(shù)？為什么？答案：不能因?yàn)椋赫婧捅趁嫠鶎憯?shù)的總和為30，是偶數(shù)，所以5張卡片上的5個(gè)和至少有一個(gè)是偶數(shù)，那么5個(gè)和的乘積為偶數(shù)。12．將一個(gè)三位數(shù)改變?nèi)齻€(gè)數(shù)字的順序之后可以得到一個(gè)新的三位數(shù)．請(qǐng)問：這個(gè)新的三位數(shù)和原來的三位數(shù)之和能不能等于999，如果能，請(qǐng)舉出例子；如果不能，請(qǐng)說明理由．答案：不能因?yàn)椋簝蓴?shù)相加和為999，肯定沒有發(fā)生進(jìn)位，那么原來兩數(shù)的數(shù)字和等于27；而根據(jù)題目所描述的新數(shù)與原數(shù)數(shù)字和相同，兩數(shù)數(shù)字和為偶數(shù)，矛盾。超越篇1．桌上放有5枚硬幣，第一次翻動(dòng)其中l(wèi)枚，第二次翻動(dòng)其中2枚，第三次翻動(dòng)其中3枚，第四次翻動(dòng)其中4枚，第五次翻動(dòng)其中5枚，能否找到一種翻動(dòng)硬幣的方法，使得最后所有的硬幣都翻過來？如果桌上放有6枚硬幣，按類似的方法翻動(dòng)六次，能否找到一種翻動(dòng)硬幣的方法，使得最后所有的硬幣都翻過來？答案：（1）翻動(dòng)5次，能將5枚硬幣都翻過來；（2）翻動(dòng)6次，不能將6枚硬幣都翻過來。詳解：（1）1+2+3+4+5=15，15÷5=3，整除，所以能；（2）1+2+3+4+5+6=21，21不能被6整除，所以不能。2．甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每個(gè)人都有一條消息．他們之間通過電話傳遞消息：當(dāng)甲與乙兩個(gè)人通話時(shí)，甲把他當(dāng)時(shí)所知道的一切信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得只需打電話4次，就可以使得每個(gè)人都知道其他所有人的信息．答案：可以這樣設(shè)計(jì)：甲和丙通一次電話，乙和丁通一次電話，然后丙和丁通電話，甲和乙通電話。3．天平稱物體的原理是：在天平的左右兩個(gè)托盤中放人物品和砝碼，當(dāng)天平平衡時(shí)，我們可以根據(jù)砝碼的重量來知道物品的重量．(1)在某一類天平中，物品只能放在左邊的托盤中，砝碼只能放在天平右端的托盤中．至少需要準(zhǔn)備多少個(gè)砝碼，才能保證一次稱出l至20克之間的任意整數(shù)克的物品？(2)在某一類天平中，砝碼可以放在天平兩端的托盤中，物品也可以放在兩邊的托盤中，那么至少需要準(zhǔn)備多少個(gè)砝碼，才能保證一次稱出l至32克之間的任意整數(shù)克的物品？答案：（1）5個(gè)；（2）4個(gè)。詳解：（1）用這5個(gè)：1g、2g、2g、5g、10g；（2）用這4個(gè)：1g、3g、9g、27g。4．如圖16-9所示，18個(gè)孩子站在24個(gè)方格中，每格最多站1人，要使得每行每列站的孩子數(shù)都是偶數(shù)．請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出這些孩子的站法（只需給出一種站法即可）．答案：答案不唯一，如圖示其中一種站法，0處不站小孩。0000005．如圖16-10所示，有3個(gè)3x3的方格表，每個(gè)都已經(jīng)填入了9個(gè)整數(shù)．如果將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的整數(shù)稱為一次操作，問：(1)下列三個(gè)方格表中，是否有某個(gè)方格表能通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)？若有請(qǐng)指出是哪個(gè)或哪個(gè)或哪些表格，若沒有則說明理由；(2)是否有某些方格表能夠通過若干次操作變得完全一樣？若有請(qǐng)指出是哪個(gè)或哪些表格，若沒有則說明理由．答案：（1）不能；（2）不能。6．(1)能否將1、2、3、4、5圍成一個(gè)圓圈，使得相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是2或者3？(2)能否將1、2、3、4、5、6、7圍成一個(gè)圓圈，使得相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是2或者3？答案：（1）能，如依次為1、3、5、2、4；（2）不能7．旅店現(xiàn)在有9個(gè)單人間，10名旅客可能入?。@10名旅客每次有9個(gè)人同時(shí)入住，管理員想事先給每個(gè)人配一些鑰匙，使得無論是哪9個(gè)人入住，總能正好入住