高中數(shù)學壓軸題復習-復雜數(shù)列的通項公式求解問題（原卷版）

一．方法綜述數(shù)列的通項公式是數(shù)列高考中的熱點問題，求數(shù)列通項公式時會滲透多種數(shù)學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)陣（數(shù)表）問題、點列問題、函數(shù)問題中、由復雜遞推公式求解數(shù)列通項公式問題、兩邊夾問題中的數(shù)列通項公式問題、下標為形式的數(shù)列通項公式問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)陣（數(shù)表）中涉及到的數(shù)列通項公式問題【例1】如圖所示的“數(shù)陣”的特點是：每行每列都成等差數(shù)列，則數(shù)字73在圖中出現(xiàn)的次數(shù)為____．【指點迷津】1.本題主要考查等差數(shù)列通項與整數(shù)解問題.根據(jù)每行每列都成等差數(shù)列，先從第一行入手求出第一行數(shù)組成的數(shù)列的通項公式，再把第一行的數(shù)當成首項，再次根據(jù)等差數(shù)列這一性質(zhì)求出第數(shù)列組成的數(shù)列，最后根據(jù)整數(shù)解方程的解法列舉所有解即可.2.數(shù)陣：由實數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數(shù)陣的規(guī)律及求某項.對于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念.橫向為“行”，縱向為“列”，在項的表示上通常用二維角標進行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在題目中經(jīng)常會出現(xiàn)關于某個數(shù)的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的特點，確定所求數(shù)的序號，再根據(jù)每行元素個數(shù)的特點（數(shù)列的通項），求出前行共含有的項的個數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù)數(shù)之間的規(guī)律確定是該行的第幾個，即列.【舉一反三】1.【河北省衡水市第二中學2019屆高三上期中】數(shù)列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……以此類推，設數(shù)列的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）4,4,434,43,44,43,4,4…A． B．C． D．2.【2019年3月3日《每日一題》】古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家在沙灘上用小石子排成多邊形，從而研究“多邊形數(shù)”．如圖甲的三角形數(shù)1，3，6，10，15，…，第個三角形數(shù)為．又如圖乙的四邊形數(shù)1，4，9，16，25，…，第個四邊形數(shù)為．以此類推，圖丙的五邊形數(shù)中，第個五邊形數(shù)為________________．類型二點列問題中涉及到的數(shù)列通項公式問題【例2】已知點順次為直線上的點，點順次為軸上的點，其中.對于任意，點構(gòu)成以為頂點的等腰三角形.則數(shù)列的通項公式為____________.【指點迷津】對于點列問題，要根據(jù)圖像上點與點之間的關系，以及平面幾何知識加以分析，找出關系式即可，本題是直線上的點列，已知點列的通項公式，求點列的通項公式，并研究等腰三角形是否為特殊的等腰直角三角形.【舉一反三】在直角坐標平面中，已知點列，，，…，，…，其中是正整數(shù).連接的直線與軸交于點，連接的直線與軸交于點，…，連接的直線與軸交于點，….則數(shù)列的通項公式為___________.類型三函數(shù)問題中涉及到的數(shù)列通項公式問題【例3】【河北省石家莊市第二中學2019屆高三上期末】定義在正實數(shù)上的函數(shù)，其中表示不小于x的最小整數(shù)，如，，當時，函數(shù)的值域為，記集合中元素的個數(shù)為，則=____.【指點迷津】1.“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.2.已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.【舉一反三】【北京西城35中2017屆高三上學期期中數(shù)學】已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項公式為（）．A.B.C.D.類型四由復雜遞推公式求解數(shù)列通項公式問題【例4】我們把滿足的數(shù)列叫做牛頓數(shù)列，已知函數(shù)，且數(shù)列為牛頓數(shù)列，設，則（）A.B.C.D.【指點迷津】對于復雜的遞推公式，關鍵是進行化簡和變形，適當?shù)臅r候需要換元，本題通過題意，可求得即數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，又a1=2，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得答案．【舉一反三】定義運算：，若數(shù)列滿足且()，則數(shù)列的通項公式＝________.類型五兩邊夾問題中的數(shù)列通項公式問題【例5】設數(shù)列滿足，且對任意的，滿足，,則_________【指點迷津】解題的關鍵是要通過所給的不等關系找到數(shù)列的項的特征，即，然后經(jīng)過恰當?shù)淖冃?，將求的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和的問題去處理，對于求和問題要把握準數(shù)列的公比和數(shù)列的項數(shù)，這是比較容易出現(xiàn)錯誤的地方.【舉一反三】已知各項都為整數(shù)的數(shù)列中，，且對任意的，滿足，，則__________．類型六下標為形式的數(shù)列通項公式問題【例6】已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的公比為，設，的前項和分別為，．若，則__________．【指點迷津】本題要求等差數(shù)列的通項公式，既沒有首項也沒有公差，有的只是等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個關系，這是一個關于正整數(shù)的恒等式，因此我們可把等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項用基本量表示，并化已知等式為的恒等式，利用恒等式的知識求解．【舉一反三】1.【浙江省湖州三校2019年高考模擬】已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20212.等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且的前項和為，數(shù)列是公比為16的等比數(shù)列，.則的通項公式____________.三．強化訓練一、選擇題1．已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)，都有，若數(shù)列的前項和為，且滿足，則（）A． B． C． D．2．【江西省上高縣第二中學2019屆高三3月月考】定義：若數(shù)列對任意的正整數(shù)，都有為常數(shù)，則稱為“絕對和數(shù)列”，叫做“絕對公和”．已知“絕對和數(shù)列”中，，絕對公和為3，則其前2019項的和的最小值為（）A． B． C． D．3.【安徽省毛坦廠中學2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．【福建省廈門第一中學2019屆高三3月模擬】已知數(shù)列的前項和為，直線與圓交于，兩點，且.若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的定義域為，當時，，且對任意的實數(shù)，，恒成立，若數(shù)列滿足（）且，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．6.【安徽省黃山市2019屆高三第二次檢測】已知數(shù)列和的前項和分別為和，且，，，若對任意的，恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．7．【河南省十所名校2019屆高三尖子生第二次聯(lián)合】記為數(shù)列的前項和，已知和（為常數(shù)）均為等比數(shù)列，則的值可能為（）A． B． C． D．8.【浙江省杭州第十四中學2019屆高三9月月考】已知數(shù)列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題9.艾薩克·牛頓（1643年1月4日----1727年3月31日）英國皇家學會會長，英國著名物理學家，同時在數(shù)學上也有許多杰出貢獻，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時給出一個數(shù)列：滿足，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)有兩個零點1，2，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設，已知，，則的通項公式__________．10.【山東省濟南市2019屆高三3月模擬】已知一族雙曲線（，且），設直線與在第一象限內(nèi)的交點為，點在的兩條漸近線上的射影分別為，.記的面積為，則__________.11.已知數(shù)列的前項和為，，且，則數(shù)列的通項公式為_____________.12．【湖南省衡陽市2019屆高三聯(lián)考（二)】已知數(shù)列，，為數(shù)列的前項的和，且對任意，都有，則的通項公式為_____．13.【山東省濟寧市2019屆高三一?！繉?shù)列3，6，9，……按照如下規(guī)律排列，記第行的第個數(shù)為，如，若，則_______．14.【湖南省湘潭市2019屆高三二模】已知函數(shù)的圖像在點處的切線與直線垂直