立體幾何綜合題（原卷版）-2022年新高考數(shù)學模擬試題分類匯編（福建專用）

專題12立體幾何綜合題

1.(2021?廈門一模)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面Q4B_L底面舫8,側(cè)面皿＞_L

底面ABC。，ADUBC,ABVBC,AB=6AD,ZACB=30°.

(1)證明：%_L平面A38.

(2)當直線PC與平面尸3￡＞所成的角最大時，求二面角尸-BD-C的余弦值.

2.(2021?龍巖一模)如圖，四棱錐S-A8C。中，底面A3CD為矩形，側(cè)面SA。為等腰直

角三角形，SA=SD=20,AB=2,F是8c的中點，二面角5-AO-8的大小為120。，

設(shè)平面SAD與平面S3C的交線為I.

(1)在線段45上是否存在點E,使/J.平面SEF?若存在，確定點E的位置；若不存在，

請說明理由；

(2)若點。在/上，直線SB與平面。。所成角的正弦值為正，求線段。。的長.

3.(2021?福建模擬)如圖,在四棱錐/J-488中,底面488是邊長為4的菱形，AAPB=-,

2

ZABC=~,PB=2￡,PC=4,點〃是AB的中點.

3

(1)求證：CM_L平面/VW；

(2)線段8上是否存在一點N,使得直線PN與平面PW所成角的正弦值為如，若存

8

在‘求出舄的值’若不存在，請說明理由?

4.(2021?福州一模)如圖，在三棱臺ABC-A8c中，A4,=AG=CG=1,AC=2,

AXC1AB.

(1)求證：平面Acea，平面ABBM；

(2)若NBAC=90。，AB=],求二面角A--C的正弦值.

5.(2021?漳州一模)如圖，四邊形應DC為正方形，AE1BE,AE=BE,M,N分別

是邊DE,座的中點，直線。石與平面4?E所成的角為王.

3

(1)求證：￡>N_L平面ACM；

(2)求二面角M-的余弦值.

6.（2021?泉州一模）如圖，在四棱錐尸-中，二面角P-AO-C是直二面角，AD為

等腰直角三角形皿）的斜邊，AD=CD=2,AB=BC=\,BD=45,M為線段PC上的

動點.

（1）當=時，證明：P4//平面MBD；

（2）若平面A/B￡>_L平面ABC。，求二面角3-MD-C的余弦值.

7.（2021?福建模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面鉆8為矩形，E是邊4）上的點,

PA=AB=AE=2DE,ZPBA=ZPBC=60°.

（1）求證：平面PBE_L平面ABC。；

（2）求直線PC和平面尸8。所成角的正弦值.

2

8.（2021?新高考I）如圖，在三棱錐A—88中，平面平面8a>,AB^AD,O為

8。的中點.

（1）證明：OA±CD；

（2）若AOCZ）是邊長為1的等邊三角形，點￡在棱4）上，DE=2E4,且二面角E-BC-O

的大小為45。，求三棱錐A-8C。的體積.

9.（2021?漳州模擬）如圖，在四棱錐P-A8C。中，側(cè)面P48_L底面A8CD,底面A8CD是

直角梯形，AD//BC,ABA.BC,ZPAB=120°,PA=AD=AB^\,BC=2.

（1）證明：平面P8C_L平面R43：

（2）在線段93上是否存在點歷，使得直線AM與平面月明所成角的正弦值為半？若

存在，求出線段PM的長度；若不存在，請說明理由.

p

10.(2021?福建模擬)如圖，在RtAABC中，ACA.BC,ZBAC=30°,BC=6，AC=3DC,

DEIIBC,沿DE將點A折至4處，使得ACLOC,點M為AB的中點.

(1)證明：AB，平面CM。.

(2)求二面角B-CM-E的余弦值.

11.(2021?福建模擬)如圖，直角三角形43。所在的平面與半圓弧8。所在平面相交于切＞,

AB=BD=2,E,F分別為AD,Q的中點C是比＞上異于8,Z)的點，EC=42.

(1)證明：平面CEFJ_平面BCD

(2)若點C為半圓弧8。上的一個三等分點(靠近點。)，求二面角A-CE-3的余弦值.

12.（2021?福州模擬）在三棱柱ABC-AgG中，ABA.AC,平面ABC_L平面ABgA，平

面A3C_L平面ACGA.

（1）證明：4A■*■平面回。；

（2）在①鉆=AC=1,②Bq與平面AB四A所成的角為30。，③異面直線G。與所成

角的余弦值為斗.這三個條件中任選兩個，求二面角A-BG-耳的余弦值.

13.（2021?泉州二模）如圖1,在等腰直角三角形45c中，CD是斜邊A3上的高.以8為

折痕把AAC￡＞折起，使點A到達點P的位置，且NP3￡＞=60。，E,F,H分別為PB,BC,

尸￡＞的中點，G為C尸的中點，如圖2.

（1）求證：GH//平面DEF;

（2）求直線GH與平面P3C所成角的正弦值.

14.（2021?莆田二模）已知正方形ABC。的邊長為2,沿AC將AA8折起至AACP位置（如

圖),G為AE4c的重心，點E在邊3c上，且CE=2￡B.

(1)證明：GE//平面RW；

(2)若GE_LP4,求二面角A-EC-G的余弦值.

15.(2021?廈門模擬)在三棱柱48。-4月。|中，。是AC上一點，E是BG的中點，且止//

平面4881A?

(1)證明：O4=DC；

(2)若Bg_L平面ABC,平面A84A，平面BCGg,M=AC=42AB,求直線￡>E與平

面48cl所成角的正弦值.

16.(2021?寧德三模)如圖，在平面四邊形ABC。中，BC=C￡>且3CJ_8,分別將AAB。、

AC3D沿直線8。翻轉(zhuǎn)為AEB。、MBD(E,f"不重合)，連結(jié)EF,EFA.BD.

(1)求證：EB=ED；

(2)若他=5,BC=4后,點￡在平面內(nèi)的正投影G為AA5。的重心，求二面角

A—BE—。的余弦值.

17.(2021?福建模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸￡>，平面ABC￡>,ABVBC,AB//CD,

PD=BC=CD=3,AB=4.過點。做四棱錐P—AB8的截面￡>EFG,分別交小，PB,

PC于點、E,F,G,已知AE='AP,CG=-CP.

43

(1)求直線CP與平面DEFG所成的角；

(2)求證：尸為線段PB的中點.

18.(2021?南平模擬)如圖，已知四邊形ACDE為菱形,ZCE>￡=60°,AC±BC,F是DE

的中點，平面A8CC平面8￡>E=/.

(1)證明：/!.平面欣才；

(2)若平面ABCJ.平面ACDE,AC=BC=2,求AE與平面BDE所成角的正弦值.

19.(2021?龍巖模擬)如圖，在三棱柱ABC-A8C中，。為棱BC的中點，ABLBC,

BC工BB[,AB=J\B=BC=2,BBt=272.

(1)求證：A8_L平面ABC；

(2)求二面角O-AG-C的余弦值.

20.(2021?鼓樓區(qū)校級模擬)木工技藝是我國傳統(tǒng)文化瑰寶之一，體現(xiàn)了勞動人民的無窮智

慧.很多古代建筑和家具保存到現(xiàn)代依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了

重要作用.

如圖，楔子狀五面體肝-A88的底面A8CD為一個矩形，AB=8,AD=6,￡尸〃平面

ABCD,棱E4=￡Z)=F3=FC=5,設(shè)M,N分別是A。，BC的中點.

(1)證明:E,F,M,N四點共面，且平面EFMW±平面ABCD；

(2)若二面角F-BC-A的大小為求直線5/與平面EFCE)所成角的正弦值.

3

￡

21.（2021?福建模擬）如圖，在四棱錐中，平面Q45_L平面MC￡）,平面B4T>_L

平面ABC￡>,四邊形ABC?為直角梯形，其中43_LBC,BC//AD,BC=AB=-AD,E

2

是A。的中點.

（1）求證：PCLCD；

（2）若NP84=45。，求直線PC與平面P3E所成的角的正弦值.

22.（2021?漳州模擬）如圖，在四棱錐5-鉆8中，四邊形ABC￡）是菱形，AB=\,SC=—

3

三棱錐S-38是正三棱錐，E,E分別為SA,SC的中點.

（1）證明：直線S4//平面皮）F；

（2）求二面角￡-防-。的余弦值.

s

23.(2021?福建模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，以BC為

直徑的圓0(0為圓心)過點A,且AO=AC=AP=2,B4_L.底面A88,〃為PC的中

點.

(1)證明：平面OAM_L平面尸8;

(2)求二面角O-M￡＞-C的余弦值

24.(2021?福建模擬)如圖，在五面體A8CDE/中，四邊形438為矩形，AADE為等邊

三角形，且平面4DE_L平面W7和平面ABC￡＞所成的角為45。，且點尸在平面

ABCD上的射影落在四邊形ABCD的中心，且4。=亞A8.

2

(1)證明：EF//平面AB8；

(2)求平面血＞與平面BCr所成角(銳角)的余弦值.

F

25.（2021?龍巖模擬）如圖，四棱錐P-AfiCD中，底面"8是菱形，ZBAD=-,M是

棱尸3上的點，。是4）中點，且PO_L底面A6C￡>,OP=COA.

（1）求證：BCA.OM；

0

（2）若PM=—PB,求二面角的余弦值.

3

26.（2021?三明模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面/WC￡）為等腰梯形，且AB=2CE）=4,

Z4BC=6O。，點P在平面ABC。內(nèi)的正投影點B在AC上，若A/UD為等邊三角形，H為

4）的中點.

（1）求證：FH//平面PBD：

（2）求二面角3-PC-。的大小.

27.(2021?廈門二模)在三棱錐ABC中，G是AA8C的重心，P是面8a)內(nèi)一點，且

PG//平面AB￡).

(