高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問題（剖析版）

一．方法綜述數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合是數(shù)列高考中的熱點問題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問題時會滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問題、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列性質(zhì)的綜合問題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題、數(shù)列與其他知識綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)列中的恒成立問題【例1】【安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，則，等差數(shù)列的公差，.由，得，則不等式恒成立等價于恒成立，而，問題等價于對任意的，恒成立.設(shè)，，則，即，解得或.故選:A.【指點迷津】對于數(shù)列中的恒成立問題，仍要轉(zhuǎn)化為求最值的問題求解，解答本題的關(guān)鍵是由等差數(shù)列通項公式可得，進而由遞推關(guān)系可得，借助裂項相消法得到，又，問題等價于對任意的，恒成立.【舉一反三】已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A類型二數(shù)列中的最值問題【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模擬】已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,則,所以，從而，因為,所以數(shù)列單調(diào)遞增，設(shè)當(dāng)時,當(dāng)時,所以當(dāng)時，，，從而,因此,選C.【指點迷津】本題利用數(shù)列的遞推公式,確定數(shù)列的單調(diào)性，令,利用裂項相消法得，再根據(jù)范圍求正整數(shù)的最小值.在解題時需要一定的邏輯運算與推理的能力，其中確定數(shù)列單調(diào)性是解題的關(guān)鍵【舉一反三】【河南省許昌市、洛陽市2019屆高三三?！恳阎獢?shù)列，的前項和分別為，，且，，，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C．49 D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，由，得，兩式相減并化簡得，由于，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.則，故，由于是單調(diào)遞增數(shù)列，，.故的最小值為，故選B.類型三數(shù)列性質(zhì)的綜合問題【例3】【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三下學(xué)期3月月考】已知等差數(shù)列的前n項和為，若1≤≤3，3≤≤6，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】在等差數(shù)列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范圍是．故答案為：．【指點迷津】1.本題先根據(jù)求出的取值范圍，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得所求結(jié)果.2.由數(shù)列的遞推公式求通項常用的方法有：（1）累加法（相鄰兩項的差成等差、等比數(shù)列）；累乘法（相鄰兩項的積為特殊數(shù)列）；（3）構(gòu)造法，形如的遞推數(shù)列求通項往往用構(gòu)造法，即將利用待定系數(shù)法構(gòu)造成的形式，再根據(jù)等比數(shù)例求出的通項，進而得出的通項公式.【舉一反三】【廣東省汕尾市2019年3月高三檢測】已知數(shù)列的首項為數(shù)列的前項和若恒成立，則的最小值為______．【答案】【解析】數(shù)列的首項，則：常數(shù)故數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列．則：首項符合通項．故：，，，由于數(shù)列的前n項和恒成立，故：，則：t的最小值為，故答案為：．類型四數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【例4】已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，且對任意的實數(shù)，，恒成立，若數(shù)列滿足（）且，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對任意的實數(shù)x，y∈R，f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）f（0）＝f（0），解得f（0）＝0或f（0）＝1．當(dāng)f（0）＝0時，，得余題意不符，故舍去.所以f（0）＝1．取y＝﹣x＜0，則f（x）f（﹣x）＝1，∴f（x），設(shè)x1＜x2，則f（x1﹣x2）＝f（x1）?f（﹣x2）1，∴f（x1）＞f（x2）．∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．∵數(shù)列{}滿足f（an+1）f（）＝1＝f（0）．∴0，∵a1＝f（0）＝1，∴，＝﹣2，＝1，，……．∴＝．∴＝，＝＝1．＝，＝＝﹣2．∴f（）1，f（）＝f（1）＜1．∴f（）＞f（）．而f（）＝f（），f（）＜1＜f（），f（）＝f（）＜f（）＝f（﹣2），因此只有：C正確．故選：C．【指點迷津】(1)運用函數(shù)性質(zhì)解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進行等價轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實現(xiàn)去“f”，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系,對稱性可得到兩個對稱的自變量所對應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.【舉一反三】【浙江省杭州第十四中學(xué)2019屆高三9月月考】已知數(shù)列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B類型五數(shù)列與其他知識綜合問題【例5】將向量組成的系列稱為向量列，并定義向量列的前項和．若，則下列說法中一定正確的是（）A.B.不存在，使得C.對，且，都有D.以上說法都不對【答案】C【解析】由，則，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，又當(dāng)時，，所以當(dāng)，且時，是成立的，故選C.【例6】斐波那契數(shù)列滿足：.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.D.【答案】C,所以B正確；對于C,時，；C錯誤；對于D,,D正確.故選C.【指點迷津】這類題型往往出現(xiàn)在在填空題最后兩題，綜合性較強，同學(xué)們往往因為某一點知識掌握不牢就導(dǎo)致本題“全盤皆輸”，解答這類問題首先不能慌亂更不能因貪快而審題不清，其次先從最有把握的命題入手，最后集中力量攻堅最不好理解的命題.【舉一反三】1.如圖所示，矩形的一邊在軸上，另外兩個頂點在函數(shù)的圖象上.若點的坐標(biāo)為，記矩形的周長為，則（）A.220B.216C.212D.208【答案】B2.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解.當(dāng)（且）是正整數(shù)的最佳分解時，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項和為__________．【答案】【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，，故答案為.類型六數(shù)列與基本不等式結(jié)合的問題【例7】【山東省濟寧市2019屆高三一?！恳阎椀缺葦?shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，，，所以，，，所以，，，，，因為，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，所以的最小值為，故選A.【指點迷津】本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及基本不等式的相關(guān)性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式是，等比中項，基本不等式有，考查公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.【舉一反三】【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知：令又于是有因此所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號本題正確選項：三．強化訓(xùn)練一、選擇題1．【安徽省宣城市2019屆高三第二次調(diào)研】已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），∵a9＝a8+2a7，∴a7q2＝a7q+2a7，∴q2﹣q﹣2＝0，∴q＝2或q=-1（舍），∵存在兩項am，an使得，∴，∴故選C.2.【2019年3月2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】已知數(shù)列的前項和為，，且滿足，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．0【答案】B【解析】由，得，且，所以數(shù)列是以為首項、2為公差的等差數(shù)列，則，即，令，得，又，，由，則的最小值為.故選：B．3.【四川省成都市外國語學(xué)校2019屆高三一診】在正項等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】解：∵正項等比數(shù)列中，，，∴.∵，解可得，或（舍），∴，∵，∴.整理可得，，∴，經(jīng)檢驗滿足題意，故選：C．4.若數(shù)列的通項公式分別為，且，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，故當(dāng)n為奇數(shù)，-a<2+,又2+單調(diào)遞減，故2+，故-a2，解a當(dāng)n為偶數(shù)，又2-單調(diào)遞增，故2-，故，綜上a故選：D5．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，時，，化為：，．，即，時，，解得．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，首項為1，公差為1．．.記，..所以為增數(shù)列，,即.對任意的，恒成立，，解得實數(shù)的取值范圍為．故選：C．6．【吉林省吉林市實驗中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第八次月考】已知等比數(shù)列的公比，其前n

項的和為，則與

的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式和數(shù)列的通項公式得到：兩式作差故選：A．7．已知，，并且，，成等差數(shù)列，則的最小值為A．16 B．9 C．5 D．4【答案】A【解析】解：根據(jù)題意，a＞0，b＞0，且，，成等差數(shù)列，則21；則a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；當(dāng)且僅當(dāng)，即=時取到等號，∴a+9b的最小值為16；故選：A．8．【貴州省2019年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】設(shè)，點，，，，設(shè)對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.二、填空題9.【河北省衡水中學(xué)2019屆高三下學(xué)期一調(diào)】20．已知數(shù)列的前項和.若是中的最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，也滿足上式；當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，；因為是中的最大值，所以有且，解得.故答案為10．【2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，，若恒成立，則正數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】由可知，數(shù)列是一個公差的等差數(shù)列，首項為，所以，所以．故當(dāng)時，．顯然當(dāng)時，也滿足上式．所以．所以，所以，由題意恒成立，所以，解得．又，所以的取值范圍為．11．【云南省2019年高三第二次檢測】已知數(shù)列的前項和為，若，則使成立的的最大值是_____．【答案】5【解析】因為可得：兩式相減可得：化簡可得：即所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列當(dāng)n=1時，求得所以即所以即解得所以成立的的最大值是5故答案為512．【重慶市南開中學(xué)2019屆高三第三次檢測】在正項遞增等比數(shù)列中，，記，，則使得成立的最大正整數(shù)為__________．【答案】9【解析】由題得，因為數(shù)列是正項遞增等比數(shù),所以，所以.因為，所以，所以.所以使得成立的最大正整數(shù)為9.故答案為：913.已知數(shù)列中，，點列在內(nèi)部，且與的面積比為，若對都存在數(shù)列滿足，則的值為______.【答案】80【解析】在上取點，使得，則在線段上．

，三點共線，

，即故答案為：80．14.已知函數(shù)，點O為坐標(biāo)原點，點，向量，θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實數(shù)t的取值范圍為___________．【答案】【解析】根據(jù)題意得,是直線OAn的傾斜角，則：，據(jù)此可得：結(jié)合恒成立的結(jié)論可得實數(shù)t的取值范圍為.15.【新疆2019屆高三一?！恳阎獢?shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前n項和為，若對一切，恒有，則m能取到的最大正整數(shù)是______．【答案】7【解