高中數(shù)學壓軸題復習-辨析函數(shù)與方程的根的情況（剖析版）

一、方法綜述確定函數(shù)f(x)零點個數(shù)(方程f(x)＝0的實根個數(shù))的方法：(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)，一般由對應的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點個數(shù)的二次函數(shù)，則要結合二次函數(shù)的圖象進行判斷．(2)對于一般函數(shù)零點個數(shù)的判斷，不僅要用到零點存在性定理，還必須結合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點個數(shù)問題．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點．二、解題策略類型一求方程解的個數(shù)例1．【2019安徽皖中名校聯(lián)盟】已知函數(shù)，則方程=0實根的個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得：或，【解題秘籍】方程的解的個數(shù)問題可轉化為求函數(shù)圖象的交點的個數(shù)．學@科網(wǎng)【舉一反三】若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0，1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的解的個數(shù)是()A．0B．2C．4 D．6【答案】C【解析】畫出周期函數(shù)f(x)和y＝log3|x|的圖象，如圖所示，方程f(x)＝log3|x|的解的個數(shù)為4．熱點題型二已知方程的根求參數(shù)的值或取值范圍例2．【2019山東德州一?！咳絷P于x的方程有三個不等的實數(shù)解，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為A．B．eC．D．【答案】A【解析】由關于x的方程，令，則有，令函數(shù)，，在遞增，在遞減，其圖象如下：要使關于x的方程關于x的方程有3個不相等的實數(shù)解，，，且，結合圖象可得關于t的方程一定有兩個實根，，，且，，，，可得，故選A．【舉一反三】【2019河北廊坊模擬】若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且存在負的零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，，所以函數(shù)在上只能是單調(diào)遞增函數(shù)，又存在負的零點，而當時，f(0)=1+a，當時，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得，故選B．三、強化訓練1．【2019遼寧9月聯(lián)考】已知方程有兩個正根，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為方程有兩個正根，所以，故選D．2．【2019河北衡水中學一模】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示，若關于的方程有兩個不相等的實根，則函數(shù)與直線有兩個不同交點，由圖可知，所以，故選C．學科！網(wǎng)3．【2019湖北山東一聯(lián)】已知函數(shù)，若且滿足，則的取值范圍是（)A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得．因為，所以，得．又．令，．令．當時，在上遞減，，故選A．4．【2019河北武邑中學三模】已知是定義在上的偶函數(shù)，對于，都有，當時，，若在[-1，5]上有五個根，則此五個根的和是（）A．7B．8C．10D．12【答案】C【解析】∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=﹣x2+1，設﹣1≤x≤0時，則0≤﹣x≤1，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為4的函數(shù)，∵f（x）是偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0，以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，∴f（x）關于（1，0）對稱，f（x）在[﹣1，5]上的圖象如圖：5．【2019皖中名校聯(lián)盟10月聯(lián)考】設函數(shù)若互不相等的實數(shù)滿足則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨設，的圖象如圖所示，令，則，故或且，所以（舎）或即且，故，故選B．6．【2019河北衡水中學二調(diào)】已知函數(shù)，若方程在上有3個實根，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B設則由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值；當時，；當時，；當時，，即，則．設則由得（舍去）或，此時函數(shù)單調(diào)遞增；由得，此時單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，當時，作出函數(shù)和的圖象，可知要使方程在上有三個實根，則，故選B．7．【2019湖北宜昌元月調(diào)考】已知函數(shù)，若關于的方程有4個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】關于的方程有4個不相等的實根等價于的圖象與的圖象有4個不同的交點，作出于與的圖象，如圖所示：當經(jīng)過A時，直線AB與的圖象相切于A點，此時的圖象與的圖象有3個不同的交點；學#科網(wǎng)8．【2019甘肅靜寧一中三模】已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣3=，又g（x）=，則g（x）=3，∴g（x﹣2）﹣3=，上述兩個函數(shù)都是關于（﹣2，3）對稱，由圖象可得：y=f（x）和y=g（x）的圖象在區(qū)間[﹣5，1]上有4個交點，它們都關于點（﹣2，3）對稱，故之和為﹣2×4=﹣8，但由于（﹣1，4）取不到，故之和為﹣8+1=﹣7，即方程f（x）=g（x）在區(qū)間[﹣5，1]上的實根有3個，故方程f（x）=g（x）在區(qū)間[﹣8，3]上的所有實根之和為﹣7，故選A．9．【2019河北衡水中學一?！繉τ诤瘮?shù)，若存在，使，則稱點是曲線的“優(yōu)美點”．已知，則曲線的“優(yōu)美點”個數(shù)為（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】曲線的“優(yōu)美點”個數(shù)，就是的函數(shù)關于原點對稱的函數(shù)圖象，與的圖象的交點個數(shù)，由可得，關于原點對稱的函數(shù)，，聯(lián)立和，解得或，則存在點和為“優(yōu)美點”，曲線的“優(yōu)美點”個數(shù)為2，故選B．學科@網(wǎng)10．【2019黑龍江哈爾濱六中期末考】定義域為的函數(shù)，若關于的方程，恰有5個不同的實數(shù)解，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】一元二次方程最多兩個解，當時，方程至多四個解，不滿足題意，當是方程的一個解時，才有可能5個解，結合圖象性質(zhì)，可知，即，故選C．11．【2019四川攀枝花一?！吭谥苯亲鴺讼抵校绻喈悆牲c都在函數(shù)y=f(x)的圖象上，那么稱為函數(shù)的一對關于原點成中心對稱的點(與為同一對)．函數(shù)的圖象上關于原點成中心對稱的點有（）A．對B．對C．對D．對【答案】C【解析】因為關于原點對稱的函數(shù)解析式為，所以函數(shù)的圖象上關于原點成中心對稱的點的組數(shù)，就是與為圖象交點個數(shù)，同一坐標系內(nèi)，畫出與圖象，如圖，由圖象可知，兩個圖象的交點個數(shù)有5個，的圖象上關于原點成中心對稱的點有5組，故選C．12．【2019山東濟南模擬】已知函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，存在，使得，即；因而，即函數(shù)與的圖象在上有交點；如圖所示，可知若函數(shù)與的圖象在上有交點，則當時，滿足，即；易知當時，函數(shù)與的圖象在上恒有交點，故的取值范圍是，故選B．13．【2019山東泰安期中考】已知是R上的偶函數(shù)且，若關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示．14．【2019湖北山東一聯(lián)】已知函數(shù)若方程有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】令則①欲使原方程有四個不等根，由圖象知方程①兩根為，或，（舍）或，（舍）令則，．15．【2018高考天津卷】已知，函數(shù)若關于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是______________．【答案】【解析】分類討論：當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，令，其中，，原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同