解答題提升題、壓軸題-浙江臺(tái)州市五年（2018-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

06解答題提升題、壓軸題-浙江臺(tái)州市五年(2018-2022)中

考數(shù)學(xué)真題分類匯編

一、提升題

30.(2022?臺(tái)州)圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來(lái)的呢？如圖2,在

正方形ABCD各邊上分別取點(diǎn)Bi,Ci,Di,AI,使45=BC1=C￡>I=D4I=48,依次

5

連接它們，得到四邊形4B1C1O1;再在四邊形AIBICIOI各邊上分別取點(diǎn)心,Cl,D1,

A2,使A1B2=B|C2=C1C>2=O|A2=&1B],依次連接它們，得到四邊形A2B2c2。2;...

5

如此繼續(xù)下去，得到四條螺旋折線.

AB

(2)求」_L的值.

AB

(3)請(qǐng)研究螺旋折線BBi歷歷…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明.

31.(2022?臺(tái)州)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向行駛，為綠化帶澆水.噴

水口，離地豎直高度為〃(單位：/?).如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象

為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水

平寬度DE=3m,豎直高度為EF的長(zhǎng).下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，

上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2〃?，高出噴水口0.5〃?，灌溉車到/的距離

OD為d(單位：m).

(1)若1=1.5,EF=0.5m.

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍.

（2）若EF=1W.要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出〃的最

小值.

____B1[

ok~d_aDEC:

圖I圖2

32.（2019?臺(tái)州）我們知道，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.對(duì)一個(gè)

各條邊都相等的凸多邊形（邊數(shù)大于3）,可以由若干條對(duì)角線相等判定它是正多邊形.例

如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是正方形.

（1）已知凸五邊形ABCCE的各條邊都相等.

①如圖1,若AC=AD=BE=BD=CE,求證：五邊形A8CDE是正五邊形；

②如圖2,若AC=BE=CE,請(qǐng)判斷五邊形ABCOE是不是正五邊形，并說(shuō)明理由；

（2）判斷下列命題的真假.（在括號(hào)內(nèi)填寫“真”或“假”）

如圖3,己知凸六邊形A8C0EF的各條邊都相等.

①若AC=CE=EA,則六邊形尸是正六邊形；（）

②若AD=BE=CF,則六邊形A8CQEF是正六邊形.（）

33.（2019?臺(tái)州）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是區(qū)4延長(zhǎng)線上的一

點(diǎn)，連接PC交AD于點(diǎn)凡AP=FD.

（1）求處的值；

AP

（2）如圖1,連接EC,在線段EC上取一點(diǎn)M,使EM=EB,連接MF,求證：MF=

PF；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作ENLCD于點(diǎn)N,在線段EN上取一點(diǎn)。，使AQ=AP,連接BQ,

BN.將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q，落在邊AD上.請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)

后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8是否落在線段BN上，并說(shuō)明理由.

34.(2018?臺(tái)州)如圖，函數(shù))，=》的圖象與函數(shù))，=K(x>0)的圖象相交于點(diǎn)P(2,機(jī)).

X

(1)求加，k的值；

(2)直線y=4與函數(shù)y=x的圖象相交于點(diǎn)A,與函數(shù)y=K(x>0)的圖象相交于點(diǎn)B,

35.(2018?臺(tái)州)某市明年的初中畢業(yè)升學(xué)考試，擬將“引體向上”作為男生體育考試的一

個(gè)必考項(xiàng)目，滿分為10分.有關(guān)部門為提前了解明年參加初中畢業(yè)升學(xué)考試的男生的“引

體向上”水平，在全市八年級(jí)男生中隨機(jī)抽取了部分男生，對(duì)他們的“引體向上”水平

進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表(部分信息未給出)：

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：

抽取的男生“引體向上”成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)?nèi)藬?shù)

0分32

1分30

2分24

3分11

4分15

5分及以上m

（1）填空：m=,n=.

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組的扇形圓心角的度數(shù);

（3）目前該市八年級(jí)有男生3600名，請(qǐng)估計(jì)其中“引體向上”得零分的人數(shù).

抽取的男生“引體向上”成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

36.（2018?臺(tái)州）如圖，ZXABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E在弦AB上（E

不與A重合），且四邊形8OCE為菱形.

(1)求證：AC=CE；

(2)求證：BC2-AC^^AB'AC-,

（3）已知的半徑為3.

①若坐=§,求BC的長(zhǎng);

AC3

②當(dāng)￡殳為何值時(shí)，AB”C的值最大?

AC

二、壓軸題

37.（2021?臺(tái)州）如圖，8。是半徑為3的00的一條弦，3。=4a，點(diǎn)A是00上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,。重合），以A,B,。為頂點(diǎn)作。A8CD

(1)如圖2,若點(diǎn)4是劣弧8。的中點(diǎn).

①求證：cABCD是菱形;

②求“A8CD的面積.

(2)若點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧8。上，且。ABC。有一邊與。。相切.

①求AB的長(zhǎng)；

②直接寫出cABCQ對(duì)角線所夾銳角的正切值.

連接CO交AB于點(diǎn)E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE.尸是的外接圓與AO的

另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF,BF.

(1)求證：aBEF是直角三角形；

(2)求證：/XBEFs^BCA；

(3)當(dāng)AB=6,BC=〃?時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分，求"?的

值.

備用圖

39.(2018?臺(tái)州)如圖，在RtZ\ABC中，AC=BC,NACB=90°，點(diǎn)D,E分別在AC,

BC上，且CZ)=CE.

(1)如圖1,求證：NCAE=NCBD；

(2)如圖2,尸是8力的中點(diǎn)，求證：AEJ_C尸；

(3)如圖3,F,G分別是BQ,AE的中點(diǎn)，若AC=2&,CE=1,求ACGF的面積.

CC

EEE

圖3

40.（2018?臺(tái)州）某藥廠銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果，對(duì)該廠生產(chǎn)的?種新型原料藥未來(lái)兩

年的銷售進(jìn)行預(yù)測(cè)，并建立如下模型：設(shè)第r個(gè)月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸）,

P與，之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)尸=1型（0V/W8）的圖象與線段

t+4

48的組合；設(shè)第f個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤(rùn)為。（單位：萬(wàn)元），。與，之間滿足

'2t+8,0<t<12

如下關(guān)系：Q=,

-t+44,12<t<24

（1）當(dāng)8V/W24時(shí)，求P關(guān)于f的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)第，個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤(rùn)為亞（單位：萬(wàn)元）

①求卬關(guān)于，的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336WwW513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月

毛利潤(rùn)范圍，求此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷售量尸的最小值和最大值.

參考答案與試題解析

一、提升題

30.(2022?臺(tái)州)圖1中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來(lái)的呢？如圖2,在

正方形ABC。各邊上分別取點(diǎn)8i,Ci,D\,Ai,使ABi=BCi=C￡>i=D4i=&8,依次

5

連接它們，得到四邊形4B1C1D1；再在四邊形4BC1OI各邊上分別取點(diǎn)B2,C1,。2,

A2,使4B2=BIC2=GZ)2=DA2=&出1,依次連接它們，得到四邊形A282c2。2；……

5

(1)求證：四邊形A131C1Q1是正方形.

AB

(2)求」LJ■的值.

AB

(3)請(qǐng)研究螺旋折線88出283…中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個(gè)正確結(jié)論并加以證明.

【解答】(1)證明：???四邊形48。為正方形，

：.AB=BC=CD=DA,/A=/B=90°,

；A8i=BCi=S=D41=芻48,

5

5

在△AiABi和△818。中，

'AA[=BBi

<ZA=ZB，

AB/BCi

(SAS),

：.A\B\=B\C\,ZAB\A\=ZBC\B\,

VZBBICI+ZBCIBI=90°,

AZAB\A\+ZBB\C\=90<3,

AZA\B\C\=90°,

同理可證:B\C\=C\D\=D\A\9

???四邊形A\B\C\D\是正方形.

（2）解：設(shè)AB=〃，

則A8i=4a,AAi=〃，

由勾股定理得：

AB

?ll=V17a=Vi7.

AB5a~5~_

（3）相鄰線段的比為王叵或叵.

175

證明如下：BI82=LI8I,

55

.BB1_AB^5V17

B?B2A?B?17

同理可得：旦也=殳叵，

B2B317

相鄰線段的比為包叵或叵（答案不唯一）.

175

31.（2022?臺(tái)州）如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向行駛，為綠化帶澆水.噴

水口”離地豎直高度為〃（單位：m）.如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象

為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水

平寬度DE=3m,豎直高度為EF的長(zhǎng).下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，

上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2根，高出噴水口0.5/n,灌溉車到/的距離

OD為d（單位：m）.

（1）若fi=1.5,EF=0.5m.

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍.

（2）若EF=lm.要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出人的最

小值.

A

JI

,2A

h+0.5———

y

O'<dat)EC

圖1圖2

【解答】解：(1)①如圖1,由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，

設(shè)y—a(x-2)2+2,

又：拋物線過(guò)點(diǎn)(0,1.5),

，1.5=4〃+2,

?"=-―,

8

???上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為丁=-▲(x-2)2+2,

8

當(dāng)y=0時(shí)，0=-A(x-2)2+2,

8

解得xi=6,%2=-2(舍去)，

噴出水的最大射程OC為6c〃?；

②：對(duì)稱軸為直線x=2,

二點(diǎn)(0,1.5)的對(duì)稱點(diǎn)為(4,1.5),

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)；

@'：EF=0.5,

二點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5,

.\0.5=-A(x-2)2+2,

8

解得x=2±2禽，

Vx>0,

?*.x—2+2^3，

當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小，

...當(dāng)2WxW6時(shí)，要使y20.5,

貝I」后2+2心

,當(dāng)0WxW2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x=0時(shí)，y=1.5>0.5,

二當(dāng)0WxW6時(shí)，要使y20.5,貝U0WxW2+2代，

?：DE=3,灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，

：.d的最大值為2+2百-3=2焉-1,

再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OBWd,

的最小值為2,

綜上所述，d的取值范圍是2W4W2E-1；

（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)￡＞、廠恰好分別在兩條拋物

線上，

故設(shè)點(diǎn)。Cm,-A+2）2+/7+0.5）,F（團(tuán)+3,-A[（機(jī)+3-2）2+/?+0.5]）,

88

則有-工（m+3-2）2+〃+0.5-[-A（〃?+2）2+//+0.5]=1,

88

解得m=2.5,

...點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為力-至，

32

32

：.h的最小值為強(qiáng).

32

32.（2019?臺(tái)州）我們知道，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.對(duì)一個(gè)

各條邊都相等的凸多邊形（邊數(shù)大于3）,可以由若干條對(duì)角線相等判定它是正多邊形.例

如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是正方形.

（1）已知凸五邊形ABCOE的各條邊都相等.

①如圖1,若AC=AD=BE=BD=CE,求證：五邊形ABCCE是正五邊形；

②如圖2,若AC=BE=CE,請(qǐng)判斷五邊形ABCQE是不是正五邊形，并說(shuō)明理由；

（2）判斷下列命題的真假.（在括號(hào)內(nèi)填寫“真”或“假”）

如圖3,已知凸六邊形ABCDEF的各條邊都相等.

①若AC=CE=E4,則六邊形ABCQEP是正六邊形；（假）

②若AD=BE=CF,則六邊形A6CDEF是正六邊形.（假）

：.AB^BC=CD=DE=EA,

"AB=BC=CD=DE=EA

在△ABC、4BCD、ACDE>△￡>EA、△EAB中，.BC=CD=DE=EA=AB>

AC=BD=CE=DA=BE

，△AB%△BCD/△CDE出△DEA^EAB(SSS),

NABC=4BCD=4CDE=NDEA=NEAB,

五邊形ABCDE是正五邊形；

②解：若AC=BE=CE,五邊形ABCQE是正五邊形，理由如下：

AE=BA=DC

在△ABE、△BCA和中，，AB=BC=DE，

BE=AC=CE

.?.△A2E絲ABCA絲△DECCSSS),

：./BAE=NCBA=NEDC,NAEB=NABE=NBAC=NBCA=NDCE=ZDEC,

'AE=BC

在△ACE和△BEC中，，CE=BE，

AC=CE

：.^\ACE^/XBECCSSS),

：.NACE=NCEB,NCEA=NC4E=NEBC=NECB,

?.,四邊形ABCE內(nèi)角和為360°,

AZABC+ZECB=180°,

：.AB//CE,

；./ABE=NBEC,ZBAC^ZACE,

：.ZCAE=ZCEA=2NABE,

：.ZBAE=3ZABE,

同理：NCBA=ND=NAED=NBCD=3NABE=NBAE,

...五邊形ABCDE是正五邊形；

(2)解：①若AC=CE=EA,如圖3所示：

則六邊形ABCOEF是正六邊形；假命題；理由如下：

?.?凸六邊形ABCDEF的各條邊都相等，

：.AB=BC=CD=DE=EF=FA,

rEF=AB=CD

在△4EF、△CAB和△EC。中，AF=CB=ED，

AE=CA=EC

.?.△AEF絲△CAB絲△￡：?)CSSS),

如果△AEF、△C48、△EC。都為相同的等腰直角三角形，則/尸=/。=/8=90°,

而正六邊形的各個(gè)內(nèi)角都為120°,

，六邊形A8CDEF不是正六邊形；

故答案為：假：

②若AD=BE=CF,則六邊形ABCDEF是正六邊形；假命題；理由如下：

如圖4所示：連接AE、AC、CE、BF,

rEF=CB

在△8FE和△F8C中，＜BE=FC，

,BF=FB

:.△BFE^UBC(555),

NBFE=ZFBC,

\"AB=AF,

：.NAFB=NABF,

：.NAFE=ZABC,

'AF=CB

在△砌E和△8CA中，，ZAFE=ZCBA，

EF=AB

△欣E絲△BC4(SAS),

：.AE=CA,

同理：AE=CE,

：.AE=CA=CE,

由①得：△AEF、△C48△/(%)都為相同的等腰直角三角形，則NF=NO=/B=90°,

而正六邊形的各個(gè)內(nèi)角都為120°,

六邊形4BCDEF不是正六邊形：

故答案為：假.

圖3

33.（2019?臺(tái)州）如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是B4延長(zhǎng)線上的一

點(diǎn)，連接PC交AO于點(diǎn)尸，AP^FD.

（1）求處的值；

AP

（2）如圖1,連接EC,在線段EC上取一點(diǎn)M,使EM=EB,連接MF,求證：MF=

PF;

（3）如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EN_LCZ）于點(diǎn)M在線段EN上取一點(diǎn)°,使AQ=AP,連接BQ,

BN.將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在邊AD上.請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)

后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)⑶是否落在線段BN上，并說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）設(shè)AP=F￡>=a,

：.AF=2-a,

???四邊形488是正方形

：.AB//CD

:.XAFPSXDFC

.AP_AF

^CD=FD

即a=2-a

2a

a—yfs~1

:.AP=FD=\[^-1,

：.AF=AD-DF=3-娓

?AF=V5-1

"AP2

(2)在CO上截取Q4=AF

'：AF=DH,NB4F=NQ=90°,AP=FD,

二△刑F四△F￡W(SAS)

：.PF=FH,

\'AD=CD,AF=DH

：.FD=CH=AP=yfs-1

???點(diǎn)E是A8中點(diǎn)，

；.BE=AE=1=EM

PE=PA+AE=4S

,/EC2=BE2+BC2=1+4=5,

.".EC=y/5

：.EC=PE,CM^45-1

ZP=NECP

'：AP//CD

：.ZP=ZPCD

:.NECP=NPCD,且CM=C4=&-1,CF=CF

:AFCM2XFCH(SAS)

：.FM=FH

:.FM=PF

AB為y軸，AO為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

：.AQ=BQ=AP=y[5-1

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AQ=AQ，=遙-1,AB=AB'=2,QB,=QB=-/s-1,

■:點(diǎn)B(0,-2),點(diǎn)N(2,-1)

二直線8N解析式為：y=lx-2

2

設(shè)點(diǎn)B'(x,-2)

2

"""AB'=Jx'+gx-2)2=2

:點(diǎn)Q,（V5-1.0）

:.BQ=｛（遍_］得）2_^|_#遙-1

:.點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8不落在線段BN上.

34.（2018?臺(tái)州）如圖，函數(shù)產(chǎn)x的圖象與函數(shù)產(chǎn)K（》＞0）的圖象相交于點(diǎn)尸（2,〃?）.

（1）求"?，k的值;

(2)直線y=4與函數(shù)y=x的圖象相交于點(diǎn)A,與函數(shù)y=K(x>0)的圖象相交于點(diǎn)B,

x

求線段AB長(zhǎng).

【解答】解：(］；函數(shù)y=x的圖象過(guò)點(diǎn)尸(2,加,

??m=2.

：.P(2,2),

:函數(shù))，=K(x>o)的圖象過(guò)點(diǎn)P,

X

；/=2X2=4；

(2)將y=4代入y=x,得x=4,

.?.點(diǎn)A(4,4).

將y=4代入y=邑，得x=l,

x

二點(diǎn)B(1,4).

：.AB=4-1=3.

35.(2018?臺(tái)州)某市明年的初中畢業(yè)升學(xué)考試，擬將“引體向上”作為男生體育考試的一

個(gè)必考項(xiàng)目，滿分為10分.有關(guān)部門為提前了解明年參加初中畢業(yè)升學(xué)考試的男生的“引

體向上”水平，在全市八年級(jí)男生中隨機(jī)抽取了部分男生，對(duì)他們的“引體向上”水平

進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表(部分信息未給出)：

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：

抽取的男生“引體向上”成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)?nèi)藬?shù)

0分32

1分30

2分24

3分11

4分15

5分及以上m

(1)填空：m=8,n=20.

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組的扇形圓心角的度數(shù)；

(3)目前該市八年級(jí)有男生3600名，請(qǐng)估計(jì)其中“引體向上”得零分的人數(shù).

抽取的男生“引體向上”成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

【解答】解：(1)由題意可得，

本次抽查的學(xué)生有：304-25%=120(人)，

120-32-30-24-11-15=8,

〃％=24+120X100%=20%,

故答案為：8,20；

⑵葛*360°=33°，

即扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組的扇形圓心角是33°；

(3)3600X_22_=960(人),

120

答：“引體向上”得零分的有960人.

36.(2018?臺(tái)州)如圖，△A8C是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)。在最上，點(diǎn)E在弦4B上(E

不與A重合)，且四邊形8DCE為菱形.

(1)求證：AC=CE；

(2)求證：BC1-AC2=AB-AC；

(3)已知。。的半徑為3.

①若旭="，求BC的長(zhǎng)；

AC3

②當(dāng)旭為何值時(shí)，A8?AC的值最大?

【解答】解：(1)?四邊形歐DC為菱形,

:.ND=NBEC,

?.?四邊形ABOC是圓的內(nèi)接四邊形，

.".ZA+ZD=180°,

又NBEC+/AEC=180°,

ZA^ZAEC,

：.AC=AE；

(2)以點(diǎn)C為圓心，CE長(zhǎng)為半徑作。C,與BC交于點(diǎn)、F,于BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,則

CF=CG,

由（1）知AC=CE=C￡>,

：.CF=CG=ACf

???四邊形AEFG是。。的內(nèi)接四邊形,

.*.ZG+ZAEF=180°,

XVZAEF+ZBEF=180°，

：.ZG=ZBEF,

?:/EBF=NGBA,

:.叢BEFS/\BGA,

.?.些=跑，即BF?BG=BE?AB,

BFBA

,:BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

：.(BC-AC)(8C+AC)^AB'AC,BPBC2-ACZ=AB*AC；

(3)設(shè)A5=5%、AC=3k,

\'BC2-AC2=AB'AC,

:.BC=2氓k,

連接ED交BC于點(diǎn)M,

?.?四邊形BOCE是菱形，

...OE垂直平分BC,

則點(diǎn)E、0、M、￡＞共線，

在RtZXOMC中，DC=AC=3k,MC=^BC=^k,

???DM=VCD2-CH2=^

：.0M=0D-DM=3-Mk,

在RtZXCOM中，由。序+MC2=oc2得(3-依女)2+(,娓k)2=32,

解得：k=或1=0(舍)，

3

；.8C=2倔=4&；

②設(shè)OM=",貝ijM￡)=3-d,Md=0C2-OM2=9-足,

：.BC2=(2MC)2=36-4屋，

AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-R

由(2)AB'AC^BC2-AC2

=-4/+64+18

=-4(d--)2+—.

44

.?.當(dāng)d=W,即?！?旦時(shí)，A8MC最大，最大值為生，

444

：.DC2=2L,

2_

：.AC=DC=^^-,

2

，48=殳叵，此時(shí)期_=3.

4AC2

二、壓軸題

37.（2021?臺(tái)州）如圖，是半徑為3的。。的一條弦，BD=4近,點(diǎn)A是。。上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，。重合），以A,B,。為頂點(diǎn)作。A3CD

（1）如圖2,若點(diǎn)A是劣弧BO的中點(diǎn).

①求證：口月BCD是菱形；

②求o4BCO的面積.

（2）若點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧8。上，且。A8C。有一邊與相切.

①求AB的長(zhǎng)；

②直接寫出。ABCO對(duì)角線所夾銳角的正切值.

。十七

圖1圖2備用圖1備用圖2

【解答】（1）①證明：：第=標(biāo)，

：.AD=AB,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

四邊形48co是菱形.

②解：連接0A交8。于J,連接。C.

。勺

圖1

VAD=AB，

J.OALBD,

?.?四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,

：.A,O,C共線，

在Rtz2sO〃）中，DJ=BJ=2?,0。=3,

'w=V0D2-DJ2=V32-（2V2）2=1,

：.AJ=OA-0J=3-1=2,

;四邊形A3C。是菱形，

.\AJ=CJ=2f

箜形ABCD=』.AC.BD=1_X4X4&=8近.

22

(2)①解：當(dāng)C。與。。相切時(shí)，連接AC交8。于4,連接OH,0D,延長(zhǎng)。。交AB

于P,過(guò)點(diǎn)A作于，

圖3-1

；8是。。的切線，

：.ODLCD,

?:CDaAB,

：.DP±AB,

：.PA^PB,

:.DB=AD=4&,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

:.DH=BH=2讓,

J.0H1BD,

ZDHO=ZDPB=90a,

'：ZODH=ZBDP,

:.△DHOs^DPB,

?DH=DO=OH

"DPDBPB"

.272=3=1

"~DP~~^2麗，

；.。尸=西，9=生巨，

33

:.AB=2PB=^^,

3

當(dāng)BC與。0相切時(shí)，同法可證4B=BO=4\/5.

圖3-2

綜上所述，AB的長(zhǎng)為4&或苴叵.

3

②解：如圖3-1中，過(guò)點(diǎn)A作于J.

22

二4/=絲，

9_______________

.??即rAB2-Aj2=J（呼_）2一管［=吟,

：.JH=BH-BJ=2&-8^=10V2_,

99

32_

.".tanZAW=AL_J_=8A/2_

HT］偵5

9

如圖3-2中，同法可得口A5CD對(duì)角線所夾銳角的正切值為小巨,

5

綜上所述，oABCZ)對(duì)角線所夾銳角的正切值為

5

38.(2020?臺(tái)州)如圖，在△ABC中,34cB=90°,將△ABC沿直線48翻折得到△AB￡),

連接C。交43于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn)，連接B￡.F是△BDE的外接圓與A。的

另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF,BF.

(1)求證：△BEF是直角三角形；

(2)求證：XBEFsl\BCA；

(3)當(dāng)AB=6,8C=機(jī)時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分，求機(jī)的

值.

備用圖

【解答】(1)證明：4cB=90°,將△ABC沿直線48翻折得到△ABD,

N4CB=90°,

:NEFB=NEDB,NEBF=NEDF,

：.NEFB+NEBF=NEDB+NEDF=NAZ)B=9(r,

.".ZBEF=90°,

.?.△BE尸是直角三角形.

(2)證明：；BC=BD,

：.NBDC=NBCD,

■:NEFB=NEDB,

：.ZEFB=ZBCD,

U：AC=AD,BC=BD,

：.ABLCD,

：.ZAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

：.ZBCD=ZCABf

:./BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90Q,

:?△BEFS^BCA.

（3）解：設(shè)"交A3于/.連接AE.

???石/與AB互相平分，

，四邊形4尸BE是平行四邊形，

；?NEFA=NFEB=90°,BPEF±AD,

VBD±AD,

:.EF〃BD,

?：AJ=JB,

:.AF=DF,

：.FJ=1.BD=^,

22

：.EF=m,

,/AABCSACBM,

：.BC：MB=AB：BC,

2

6

■:ABEJs/\BME,

：.BE：BM=BJ：BE,

：.BE=

■:ABEFs^BCA,

?AC=BC,

"EFBE'

叩136-m2H_g_

mm

加

解得，"=2?（負(fù)根已經(jīng)舍棄）.

ZACB=90°，點(diǎn)。，E分別在AC,

BC上，且CD=CE.

(1)如圖1,求證：NCAE=NCBD；

(2)如圖2,F是的中點(diǎn)，求證：AELCF；

：.NCAE=NCBD；

(2)如圖2,記AE與CF的交點(diǎn)為M,

在RtZ\BC。中，點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，

：.CF=BF,

：.ZBCF=ZCBF