2022-2023學年天津市南開中學高一（下）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年天津市南開中學高一（下）期末數學試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.本大題共8小題，每小題4分，共32分.1．（4分）為幫助鄉(xiāng)村學校的學生增加閱讀、開闊視野、營造更濃厚的校園讀書氛圍，南開中學發(fā)起了“把書種下，讓夢發(fā)芽”主題捐書活動，現擬采用按年級比例分層抽樣的方式隨機招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名學生，其中高一年級680名，高二年級850名，高三年級510名，那么應在高三年級招募的志愿者數目為（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）一組數據：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位數為（）A．34 B．35 C．36 D．373．（4分）已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若α∩β＝n，m?α，m⊥n，則α⊥β C．若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ D．若α∩β＝m，m⊥γ，則α⊥γ4．（4分）從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則以下哪個選項中的事件A與事件B互斥卻不互為對立（）A．事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球 B．事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球 C．事件A：3個球中至多有2個紅球；事件B：3個球中至少有2個白球 D．事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球5．（4分）為弘揚民族精神、繼承傳統(tǒng)文化，某校高二年級舉辦了以“濃情端午，粽葉飄香”為主題的粽子包制大賽．已知甲、乙、丙三位同學在比賽中成功包制一個粽子的概率分別為，且三人成功與否互不影響，那么在比賽中至少一人成功的概率為（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，A，B是以CD為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，，點M為線段AC中點，則＝（）A． B． C． D．7．（4分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點E在棱A1B1（不含端點）上運動，現有如下命題：①平面AA1D1D內不存在直線與DE垂直；②平面A1DE與平面ABCD所成的銳二面角為；③當點E運動到棱A1B1的中點時，線段A1C上存在點P，使得BC∥平面AEP；④設點P為線段A1C的中點，則三棱錐E﹣PBC1的體積為定值．其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）月明天是我校一位登山愛好者，某天傍晚，她登上一座山尖（圖中點A處），剛好望到另一座遠山，瞬間想起《送別》中“夕陽山外山”的歌詞，在這詩意的時刻，她正眺望到遠山上一座涼亭（位于點B處），于是她想測算出涼亭到那座山頂（點C處）的距離，她在點A處利用測角儀器測得點B的俯角為5°，點C的仰角為40°，此后，她沿山坡下行100米至點D處，測得點A，B，C的仰角分別為80°，25°，55°，根據這些數據，明天同學計算得到了涼亭到山頂的距離BC＝（）A．米 B．米 C．米 D．米二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分.9．（4分）i為虛數單位，若復數，則|z|＝．10．（4分）已知正四面體ABCD的棱長為1，則直線AB與平面BCD所成角的余弦值為．11．（4分）已知向量＝（4，3），向量在向量上的投影向量＝（2，4），則|﹣|的最小值為．12．（4分）在5袋牛奶中，有2袋已經過了保質期，從中任取2袋，則取到的全是未過保質期的牛奶的概率為．13．（4分）設三角形ABC是等邊三角形，它所在平面內一點M滿足，則向量與夾角的余弦值為．14．（4分）為迎接我校建校120周年校慶，數學學科在八角形校徽中生發(fā)靈感，設計了一枚“立體八角形”水晶雕塑，寓意南開在新時代中國“保持真純初心，駿駿汲汲前行”，以下為該雕塑的設計圖及俯視圖，它由兩個中心重合的正四棱柱組合而成，其中一個正四棱柱可看作由另一個正四棱柱旋轉45°而成，已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，設該雕塑的表面積為S1，該雕塑內可容納最大球的表面積為S2，該雕塑外接球表面積為S3，則S1＝，S2：S3＝．三、解答題：本大題共3小題，共44分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．（14分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，所有成績均為不低于40分的整數）分為6組：[40，50），[50，60），…，[90，100]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求出圖中實數a的值；（Ⅱ）若該校高一年級共有學生640名，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（Ⅲ）若從成績來自[40，50）和[90，100]兩組的學生中隨機選取兩名學生：（i）寫出該試驗的樣本空間：（ii）求這兩名學生數學成績之差的絕對值不大于10的概率．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）已知a＝3，（i）若△ABC的面積為，求△ABC的周長：（ii）求△ABC周長的取值范圍．17．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，過A1作底面的垂線，垂足在線段AC上，點M，N分別為棱AB和C1D1的中點．（Ⅰ）證明D，M，B1，N四點共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）證明直線A1C與平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大?。?/p>

2022-2023學年天津市南開中學高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.本大題共8小題，每小題4分，共32分.1．（4分）為幫助鄉(xiāng)村學校的學生增加閱讀、開闊視野、營造更濃厚的校園讀書氛圍，南開中學發(fā)起了“把書種下，讓夢發(fā)芽”主題捐書活動，現擬采用按年級比例分層抽樣的方式隨機招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名學生，其中高一年級680名，高二年級850名，高三年級510名，那么應在高三年級招募的志愿者數目為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據已知條件，結合分層抽樣的定義，即可求解．【解答】解：該校高中部共2040名學生，其中高一年級680名，高二年級850名，高三年級510名，采用按年級比例分層抽樣的方式隨機招募12名志愿者，則應在高三年級招募的志愿者數目為．故選：A．【點評】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎題．2．（4分）一組數據：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位數為（）A．34 B．35 C．36 D．37【分析】根據已知條件，結合百分位數的定義，即可求解．【解答】解：0.85×8＝6.8，則一組數據：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位數為：37．故選：D．【點評】本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題．3．（4分）已知三個不同的平面α，β，γ和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中正確的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若α∩β＝n，m?α，m⊥n，則α⊥β C．若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ D．若α∩β＝m，m⊥γ，則α⊥γ【分析】對于A選項，由線面平行的性質定理可知A的正誤；對于B選項，構圖舉反例，可知B錯誤；對于C選項，可舉例說明，如教室的墻角，不妨設α為東墻面，γ為北墻面，β為地面，滿足已知，從而可知C的正誤；對于D選項，利用面面垂直的判定定理可知D的正誤．【解答】解：對于A，m∥α，α∩β＝n，則m∥n，錯誤，原因是β不一定是經過直線m的平面；故A錯誤；對于B，若α∩β＝n，m?α，m⊥n，則α⊥β錯誤，如下圖所示，原因是由題設條件無法推出一個平面經過另一個平面的垂線，故無法判定是否α與β一定垂直，故B錯誤；對于C，若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ，錯誤，例如教室的墻角，不妨設α為東墻面，γ為北墻面，β為地面，滿足α⊥β，γ⊥β，但α與γ相交，故C錯誤；對于D，因為α∩β＝m，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查空間中點，線，面之間的位置關系，屬于中檔題．4．（4分）從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則以下哪個選項中的事件A與事件B互斥卻不互為對立（）A．事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球 B．事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球 C．事件A：3個球中至多有2個紅球；事件B：3個球中至少有2個白球 D．事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球【分析】根據互斥事件和對立事件的定義判斷即可．【解答】解：對于A，事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故A錯誤；對于B，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，但不是一定有一個發(fā)生，還有可能是3個白球或3個紅球，所以事件A與事件B互斥卻不互為對立，故B正確；對于C，事件A與事件B可能同時發(fā)生，例如摸出2個白球和1個紅球，所以事件A與事件B不是互斥事件，故C錯誤；對于D，事件A與事件B不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，所以事件A與事件B是互斥事件也是對立事件，故D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎題．5．（4分）為弘揚民族精神、繼承傳統(tǒng)文化，某校高二年級舉辦了以“濃情端午，粽葉飄香”為主題的粽子包制大賽．已知甲、乙、丙三位同學在比賽中成功包制一個粽子的概率分別為，且三人成功與否互不影響，那么在比賽中至少一人成功的概率為（）A． B． C． D．【分析】由題意求得沒有一人成功的概率，再由對立事件的概率求解．【解答】解：由題意，甲、乙、丙三位同學在比賽中成功包制一個粽子的概率分別為，則甲、乙、丙三位同學在比賽中不能成功包制一個粽子的概率分別為，，．則沒有一人成功的概率為＝，∴至少一人成功的概率為1﹣＝．故選：C．【點評】本題考查相互獨立事件與對立事件的概率，是基礎題．6．（4分）如圖，A，B是以CD為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，，點M為線段AC中點，則＝（）A． B． C． D．【分析】由圓的幾何性質和平面向量的線性運算計算即可．【解答】解：由圓的幾何性質知，2AB＝CD且AB∥CD，因為，點M為線段AC中點，所以＝＝＝＝＝．故選：D．【點評】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎題．7．（4分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點E在棱A1B1（不含端點）上運動，現有如下命題：①平面AA1D1D內不存在直線與DE垂直；②平面A1DE與平面ABCD所成的銳二面角為；③當點E運動到棱A1B1的中點時，線段A1C上存在點P，使得BC∥平面AEP；④設點P為線段A1C的中點，則三棱錐E﹣PBC1的體積為定值．其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】對①，根據三垂線定理，即可判斷；對②，根據題意易知平面A1DE即為對角面A1DCB1，再由二面角的概念，即可求解；對③，設AE∩A1B＝F，則易知F為線段A1B上靠近A1的三等分點，在A1C上取靠近A1的三等分點P，則FP∥BC，再根據線面平行的判定定理，即可判斷；對④，易知平面PBC1即為對角面ABC1D1，且A1B1∥對角面ABC1D1，從而得E到平面ABC1D1的距離為定值，又三角形PBC1的面積也為定值，從而可判斷④正確．【解答】解：對①，如圖，易知DE在平面AA1D1D內的射影為A1D，而AD1⊥A1D，∴根據三垂線定理可知AD1⊥DE，∴①錯誤；對②，如圖，由正方體的性質易知：平面A1DE即為對角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE與平面ABCD所成的銳二面角即為∠B1CB＝，∴②正確；對③，如圖，當點E運動到棱A1B1的中點時，設AE∩A1B＝F，則易知F為線段A1B上靠近A1的三等分點，∴在A1C上取靠近A1的三等分點P，連接FP，則FP∥BC，連接PE，PA，又BC?平面AEP，FP?平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正確；對④，如圖，當點P為線段A1C的中點時，由正方體的性質易知：平面PBC1即為對角面ABC1D1，又易知A1B1∥對角面ABC1D1，∴E到平面ABC1D1的距離為定值，又三角形PBC1的面積也為定值，∴三棱錐E﹣PBC1的體積為定值，∴④正確．故②③④為真命題，共計3個．故選：C．【點評】本題考查線線垂直的判斷，二面角的求解，線面平行的判斷，三棱錐的體積問題，化歸轉化思想，屬中檔題．8．（4分）月明天是我校一位登山愛好者，某天傍晚，她登上一座山尖（圖中點A處），剛好望到另一座遠山，瞬間想起《送別》中“夕陽山外山”的歌詞，在這詩意的時刻，她正眺望到遠山上一座涼亭（位于點B處），于是她想測算出涼亭到那座山頂（點C處）的距離，她在點A處利用測角儀器測得點B的俯角為5°，點C的仰角為40°，此后，她沿山坡下行100米至點D處，測得點A，B，C的仰角分別為80°，25°，55°，根據這些數據，明天同學計算得到了涼亭到山頂的距離BC＝（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】在△ABD和△ACD中，分別運用正弦定理求出AB和AC的長，再在△ABC中，利用余弦定理，求得BC的長，得解．【解答】解：由題意知，AD＝100，∠BAC＝45°，∠BAD＝75°，∠ADC＝45°，∠BDC＝30°，在△ABD中，∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝75°，∠ABD＝180°﹣（∠BAD+∠ADB）＝30°，由正弦定理知，＝，所以AB＝＝＝＝50（+1），在△ACD中，∠ACD＝180°﹣（∠BAC+∠BAD+∠ADC）＝15°，由正弦定理知，＝，所以AC＝＝＝＝100（+1），在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC＝5000（+1）2，所以BC＝50（+1）＝50（）米．故選：C．【點評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，兩角和差公式是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分.9．（4分）i為虛數單位，若復數，則|z|＝1．【分析】根據已知條件，結合復數模公式，即可求解．【解答】解：，則|z|＝＝＝．故答案為：1．【點評】本題主要考查復數模公式，屬于基礎題．10．（4分）已知正四面體ABCD的棱長為1，則直線AB與平面BCD所成角的余弦值為．【分析】采用數形結合，點A在等邊△BCD的投影為△BCD的中心，可得到AB與平面BCD所成角為∠ABO，然后計算BO，AB，最后簡單計算可得結果．【解答】解：如圖所示：在正四面體ABCD中，點A在等邊△BCD的投影為△BCD的中心O，則AB與平面BCD所成角為∠ABO，因為正四面體ABCD的棱長為1，所以，，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題．11．（4分）已知向量＝（4，3），向量在向量上的投影向量＝（2，4），則|﹣|的最小值為．【分析】根據已知條件，先設出，再結合向量模公式，以及二次函數的性質，即可求解．【解答】解：向量在向量上的投影向量＝（2，4），則，可設＝（2λ，4λ），＝（4，3），則，故＝（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5，當λ＝1時，的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查向量模公式，屬于基礎題．12．（4分）在5袋牛奶中，有2袋已經過了保質期，從中任取2袋，則取到的全是未過保質期的牛奶的概率為．【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：記2袋已經過了保質期的牛奶為A，B，3袋未過保質期的牛奶為a，b，c，從5袋牛奶中任取2袋，所有情況為：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中全是未過保質期的牛奶的情況為：ab，ac，bc，共3種情況，所以所求概率為．故答案為：．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．13．（4分）設三角形ABC是等邊三角形，它所在平面內一點M滿足，則向量與夾角的余弦值為．【分析】由已知結合向量數量積的性質及夾角公式即可求解．【解答】解：設△ABC邊長為1，，則||2＝（）2＝+＝+＝，所以，因為＝，設向量與夾角為θ，則cosθ＝＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了向量數量積性質的應用，屬于中檔題．14．（4分）為迎接我校建校120周年校慶，數學學科在八角形?；罩猩l(fā)靈感，設計了一枚“立體八角形”水晶雕塑，寓意南開在新時代中國“保持真純初心，駿駿汲汲前行”，以下為該雕塑的設計圖及俯視圖，它由兩個中心重合的正四棱柱組合而成，其中一個正四棱柱可看作由另一個正四棱柱旋轉45°而成，已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，設該雕塑的表面積為S1，該雕塑內可容納最大球的表面積為S2，該雕塑外接球表面積為S3，則S1＝，S2：S3＝1：6．【分析】由題意，該雕塑的表面積是16個矩形及兩個正方形與8個等腰直角三角形的面積的和，可求表面積；該雕塑內可容納最大球的半徑為，利用球的表面積公式求出表面積S2，利用勾股定理求出該雕塑外接球的半徑，利用球的表面積公式求出表面積S3．【解答】解：由題意，該雕塑的表面積是16個矩形及兩個正方形與8個等腰直角三角形的面積的和，所以S1＝；該雕塑內可容納最大球的半徑為，表面積為S2＝，該雕塑外接球的半徑為，表面積為S3＝，所以S2：S3＝1：6．故答案為：．【點評】本題考查表面積的計算，考查球的表面積公式，考查學生的計算能力，正確求出球的半徑是關鍵．三、解答題：本大題共3小題，共44分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．（14分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，所有成績均為不低于40分的整數）分為6組：[40，50），[50，60），…，[90，100]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求出圖中實數a的值；（Ⅱ）若該校高一年級共有學生640名，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（Ⅲ）若從成績來自[40，50）和[90，100]兩組的學生中隨機選取兩名學生：（i）寫出該試驗的樣本空間：（ii）求這兩名學生數學成績之差的絕對值不大于10的概率．【分析】（Ⅰ）根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和等于1求解；（Ⅱ）先求出樣本中成績不低于60分的頻率，利用樣本估算總體即可求出該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（Ⅲ）（i）先求出成績在[40，50）和[90，100]分數段內的人數，分別標號，再寫出試驗的樣本空間即可；（ii）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（Ⅰ）因為圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）＝1，解得a＝0.03；（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85，由于該校高一年級共有學生640名，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數約為640×0.85＝544；（Ⅲ）成績在[40，50）分數段內的人數為40×0.05＝2，成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1＝4，則記在[40，50）分數段的兩名同學為A1，A2，在[90，100]分數段內的同學為B1，B2，B3，B4，（i）從這6名學生中隨機抽取2人樣本空間Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}；（ii）如果2名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，那么這2名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10；如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，那么這2名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10，則所取2名學生的數學成績之差的絕對值不大10的取法有（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共7種取法，所以所求概率為P＝．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）已知a＝3，（i）若△ABC的面積為，求△ABC的周長：（ii）求△ABC周長的取值范圍．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及兩角差的正弦公式，可得sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中可得A，B，C的關系，進而求出A角的大小；（Ⅱ）（i）由三角形的面積，可得bc的值，再由余弦定理可得b+c的值，進而求出三角形的周長；（ii）由余弦定理及均值不等式可得b+c的范圍，再由三角形中兩邊之和大于第三邊，可得b+c的范圍，進而求出三角形的周長的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意及正弦定理可得：＝，整理可得：sinAcosB﹣cosAsinB＝sinCcosA﹣cosCsinA，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A＝；（Ⅱ）（i）因為S△ABC＝bcsinA＝bc?＝，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c＝，所以三角形的周長為a+b+c＝3+；（ii）a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3?（）2，當且僅當b＝c時取等號，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周長為a+b+c∈（6，9]．【點評】本題考查正弦定理，余弦定理及均值不等式的性質的應用，屬于中檔題．17．（15分）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝