解三角形（重點(diǎn)）解析版-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微（新高考地區(qū)專用）

考向22解三角形

-----

，經(jīng)典真題）

1.（2021?全國高考真題（文））在AA8C中，已知B=120。，AC=M，AB=2,則8C=（）

A.1B.72C.A/5D.3

【答案】D

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于比,長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】

設(shè)AB=c,AC=b、BC=a,

結(jié)合余弦定理：/=a2+/_2accos8可得：19=a2+4-2xaxcosl201

即：4+24-15=0,解得：a=3（a=—5舍去），

故8C=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

（1）已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

（2）已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

（3）已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.

2.（2021?全國高考真題）在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長分別為“、b、。，b=a+l,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求的面積；

（2）是否存在正整數(shù)。，使得為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）”互；（2）存在，且a=2.

4

【分析】

（1）由正弦定理可得出2c=3a,結(jié)合已知條件求出。的值，進(jìn)一步可求得力、c的值，利用余弦定理以及

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

（2）分析可知，角C為鈍角，由8sC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】

(1)因?yàn)?sinC=3sinA,則2c=2(。+2)=3々，則a=4,故b=5,c=6,

cosC=°———=-?所以,。為銳角，則sinC=Jl-cos2c=,

2ab88

ra.Lks_1_廠_1/43幣_(tái)15幣

因UL?SAARC——cibsinC——x4x5x-----------:

△.2284

(2)顯然c>6>。，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，

a~4-(cz+l)―(q+2)_a2-2a-3

由余弦定理可得cosC=

2ab2a(a+l)2a(〃+l)

解得一1＜。＜3,則0va＜3,

由三角形三邊關(guān)系可得〃+。+1＞。+2,可得。＞1,?.,awZ,故。=2.

］方法技巧)

解答三角高考題的策略：

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。

兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函

數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例。另外，利用正弦定

理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角''定理及幾何作圖來幫助

理解。

1、正弦定理：/一=」一=」=2R。(其中R為A43C的外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

正弦定理的變形公式：①a=2R,sinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；

@sinA=—,sinB=—,sinC=—；

2R2R2R

(3)tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

ga+b+cabc

④-------------------=-----=-----=-----;

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

2、三角形面積定理：SMBC=^ah-sinC=^ac-sinB=^bc-sinA；

51就=3底、高=3（。+6+。）廠；（其中/?為AABC的內(nèi)切圓的半徑）

,222

3、余弦定理：a2=b2+C2-2bc-cosA=>cosA=+C----；

2bc

h2=a2+c2-lac-cosB=cosB=-----------

lac

CZ十"—c

c=a+Zr—2ab?cosC=cosC=-----------

lab

4、設(shè)a、b、c是AA3C的角4、B、C的對(duì)邊，則：①若"+62=。2,則c=90。；

@^a2+b2>c2,則C<90°；

③若/+82<02,則。>90。。

【知識(shí)拓展】

處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度(幾

何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無

解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解。

(1)三角形中的邊角關(guān)系

①三角形內(nèi)角和等于180°；

②三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊;

③三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；

(2)利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形

已知條件應(yīng)用定理一般方法解的情況

一邊和兩角正弦定理由A+B+C=兀求第三角，由正弦定理求其它兩邊一解

余弦定理或由余弦定理求第三邊，由正弦定理求較小邊對(duì)應(yīng)的較小角，

兩邊和夾角一解

正弦定理由A+B+C=兀求第三角

三邊余弦定理由余弦定理求兩角，由4+8+C=兀求第三角一解

①由正弦定理求另一邊的對(duì)角，由A+B+C=7i求第三角，

兩解

兩邊和其中正弦定理或利用正弦定理求第三邊

一解

一邊的對(duì)角余弦定理②由余弦定理列關(guān)于第三邊的一元二次方程，根據(jù)一元二

或無解

次方程的解求c,然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素

(3)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

常用方法是：①化邊為角；②化角為邊.

3、三角形中的三角變換

(1)角的變換

在A4BC中，A+B+C=it,

則sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC；

,A+BCA+B.C

sin-=---c--o-s—，cos-------=sin—；

2222

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。

面積公式：S==ga力sinC=r-p=[p(p-a)(p-b)(p-c),

其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半;

(3)在A4BC中，熟記并會(huì)證明:

①44、4、NC成等差數(shù)列的充分必要條件是/8=60。；

②A4BC是正三角形的充分必要條件是44、ZB、NC成等差數(shù)列且〃、b、c成等比數(shù)列。

1.(2021?全國高三其他模擬(文))AABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,a+2c^2bcosA,

若的周長為15,且三邊的長成等差數(shù)列，則“ABC的面積為()

A.B."C."D.兇

4444

7

2.（2021?全國高三其他模擬（理））在A/WC中，ZA=2ZB,AB=-,3C=4,CO平分ZACB交AB于點(diǎn)

D,則線段AO的長為（）

A.1B.-1C.D.g

3.（2021?陜西高三其他模擬（理））在中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,外接圓半徑為r,

若*+您2=，，b=2,a+c=3a,則AABC的面積S=______.

sinAsmC

4.（2021?全國高三其他模擬（理））已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若c=&b=2,

且A=￡，則。=

4

1.（2021?全國高三其他模擬）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若a=2屈,b=6,

TT

\=~,則C等于（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2021?全國高三其他模擬（文））已知。，b,c分別為AMC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a2-b2=1c2,^ABC

的面積為，則A=（）

6

A.45°B.60°C.120°D.150°

3.（2021?四川高三其他模擬（理））已知￡,坂是不共線向量，設(shè)方=22+凡OB=a+2b9OC=3a-h^

OD=a-3h^若△OAB的面積為3,則△OCD的面積為（）

A.8B.6C.5D.4

7/7—\F\ccosC

4.（2021?河南高二其他模擬（理））已知AABC的內(nèi)角A,8,4所對(duì)的邊分別為。。，且=絲也1.

<3bcos3

若c=2百，則￡+6的最小值為（）

3

A.4B.2+6C.3D.-

5.（2021?遼寧高三其他模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”

是他引以為傲的研究成果之一.定理的內(nèi)容是：三角形4a'的三條邊長分別為a,b,c,分別延長三邊兩端,

使其距離等于對(duì)邊的長度，如圖所示，所得六點(diǎn)A，C2,4，4，C，區(qū)仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱為康威圓.現(xiàn)

有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）

284n32?

——D.——

33

6.（2021?全國高三其他模擬（理））（多選題）已知6c中，角A、B、C的對(duì)邊分別為〃，瓦%且滿足

Asin4=（4。—c）sin5,則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.a+c=4b

B.若。=2,則工+12，

ac2

C.若匕=2,則頂點(diǎn)8所在曲線的離心率為g

D.若cosB=Z,則

8

7.（2019?陜西延安市?高考模擬（理））在AABC中，若c=a=3,ZC=120°,貝油=

8.（2021?四川綿陽中學(xué)高三其他模擬（文））已知外接圓的半徑為R,且

2Wsin2A-sin2C）=（a-6）sin8,若“ABC的面積為走浦c,則c的值為.

8

9.（2021?貴州凱里-中高三三模（文））在△ABC中，角A、B、。的對(duì)邊分別為〃、b、c,若。=》cosC,

則8=.

10.（2021?全國高三其他模擬（理））在AABC中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,。,c,A為銳角，

tanBcosC=1-sinC,dBC的面積為2,則^ABC的周長的最小值為.

11.（2020?天津高三二模）“IBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知tanA=cos8tanA+sin8.

（I）若a+c=8,AABC的面積為6,求sin8；

（II）若〃求sin[23-3；

12.（2021?福建省南安第一中學(xué)高三二模）已知△ABC中，內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別為a,4c,

3ccosB4-2/?sinBsinC=0,。是AABC邊AC上一點(diǎn)，BD=C.

B

(1)若BDLBC,AB=-,求A￡＞；

3

(2)若CO=24。，求2AB+8C的最大值.

J真題練）

2

1.（2020?全國高考真題（理））在中，cose§,力小4,小3,則cos戶（）

A.-B.-C.~D.一

9323

2.（2014?江西高考真題（文））在“ABC中，內(nèi)角4,8,C所對(duì)的邊分別是a",c.若3。=2匕，則2sm次sm"

sin-A

的值為（）

117

A.-B?一C.1D.一

932

3.（2019?全國高考真題（文））△/回的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為&b,c,已知asinl-Asin廬4csinG

COS片—!，則2=

4c

A.6B.5C.4D.3

4.（2021?浙江高考真題）在AABC中，/3=60。,43=2,"是5c的中點(diǎn)，HM=2jL則AC=,

cosZ-MAC=.

5.（2021?全國高考真題（理））記“蛇的內(nèi)角力,氏。的對(duì)邊分別為小6,0面積為6,8=60。，/+。2=3四,

則6=________.

6.（2019?全國高考真題（文））的內(nèi)角兒B,。的對(duì)邊分別為a,b,。.已知AsinH+acos后0,則

廬.

7.（2020?江蘇高考真題）在中，/W=4,AC=3,NZMC=90。,。在邊比1上，延長加到R使得4片9,

若麗=加廂+（|-加）前（疝為常數(shù)），則切的長度是________.

cp

8.(2021?天津高考真題)在AABC,角8B,C所對(duì)的邊分別為瓦c,已知sinA:sin3:sinC=2:1:0，

b=>/2.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-m1的值.

9.(2021?江蘇高考真題)已知向量a=(-2百sinx.cos?x),1=(cosx,6),設(shè)函數(shù)〃x)=a%.

(1)求函數(shù)的最大值；

(2)在銳角AABC中，三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若八B)=0,b=幣,3sinA-2sinC=0,

求AABC的面積.

10.(2020?海南高考真題)在①“c=G，②csinA=3,③c=這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題

中，若問題中的三角形存在，求。的值：若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,8,c,且sinA=\/5sinB,C=g,________?

6

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

1.【答案】I)

【分析】

利用正弦定理和余弦定理化簡a+2c=力cosA可得Y+c?一從=—〃?，可得cos3=-；,故匕為最大邊，由

數(shù)列性質(zhì)設(shè)a=5-f,c=5,b=5+f,再由余弦定理即可得解.

【詳解】

,222

由余弦定理可得。+2c=2/?cosA=2力+(...—

2bc

整理得一從=一比，

「匚_a~+c-b~1.門6

所以cosB=--------------=—,sinB=——，

2ac22

故b為最大邊,

不失一般性，設(shè)。=5—，，c=5fb=5+t(f>0),

代入—從=—ac得，=2,

所以a=3,c=5,△ABC的面積為Lesin5="且，

24

故選：D.

2.【答案】A

【分析】

7

設(shè)NACD=N5CD=a,AD=x,則=g-x,在/必。。和△5CO中運(yùn)用正弦定理得到不和cos5的關(guān)

系式；在△ABC中運(yùn)用正弦定理及二倍角公式可解得cosB,代入工和cosB的關(guān)系式即可得到AO的長.

【詳解】

7

設(shè)ZA8=N88=a,AD=x,則80=一—x,

3

在中，由正弦定理，得」r一=」C三D，

sinasinA

7_

在△BCD中，由正弦定理，得「二CD,

sinasinB

x_sinBx_sinBx_1

兩式相除，得7sinA?即7sin28，所以72cos8，

—X—X----X

333

7

在“IBC中，由正弦定理，得4-3,即絲M=/

sin4sin(乃-A-B)sin3B7

又因?yàn)閟in3B=sin(B+23)=sinBcos2B+cos5sin2B

=sinB(l-2sin2+cosB2sinBcosB=3sinB-4sin3B,

2sinBcosB

所以3sinB-4sin"化筒得24cos28—7COS3—6=0,

23

解得cos8=—或cos8=-一，

38

代入72cos8得x=l，即AD=1.

—x

3

故選：A.

3.【答案】也

2

【分析】

根據(jù)題設(shè)條件化簡得sin（A+C）=rsinAsinC,進(jìn)而得到以sinB=rsinAsinC,利用正弦定理得到b=^ac,

求得訛.=4,再由余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式，求得sinB的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

【詳解】

ccsAcos

由一一+—-—二r,整理得cosAsinC+sinAcosC=rsinAsinC,

sinAsinC

即sin（A+C）=rsinAsinC,

因?yàn)?+B+C=TU,可得sin（A+C）=sin（乃一A）=sin3,

所以sin5=rsinAsinC

ab可得/?=

由正弦定理可得,=2r,Lc,

sinAsinBsinC2

因?yàn)?=2,所以ac=4,且a+c=3后，

又由余弦定理可得s,8一足+/-加（a+c）2-2ac-6—8—43

laclac8；-4

則sinB=Vl-cos2B=

一4

所以SABC=—cicsinB=-x4x-^=^-

AABC2242

故答案為：E.

2

4.【答案】72

【分析】

直接利用余弦定理即可求出答案.

【詳解】

由余弦定理可得42=/+,2-2"8$4=2+4-2*也'2、也=2,

2

所以〃=>/2.

故答案為：V2.

提升練

1.【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】

由a。=匕?+c?—2/）ccosA，（'j152=36+c2-2x6c■—,即6c-16=0,

解得c=8或c=-2（舍）.

故選D.

2.【答案】A

【分析】

由余弦定理和面積公式分別可得cosA=S，sinA=m，可得tanA=l即可得解.

3b3b

【詳解】

由余弦定理可得：

2c2

“h2+c2-a23c

cosA=---------=——=—

2hc2bc3h

由S，.c=g〃csinA=1c2

可得sinA=三，

3b

所以sinA=cosA,

即tanA=l,由0cA<180。,

所以A=45°.

故選:A.

3.【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示，向量加減法的運(yùn)算，可得到AQAB與AOCD的兩個(gè)邊之間的關(guān)系，利用

面積公式結(jié)合邊的關(guān)系，可得結(jié)論.

【詳解】

________UUU1IUUU111

**OA=2a+h08=a+2日，0C=3a—b?OD=a—3b，

如圖，在平行四邊形OAMB中,

mruun

OA+OB1("

i?uim??uiin?iiiiinIIuun.

設(shè)ZOE4=e，則SVOAB=2SVQAE=2X5X|OE，sin夕=3即0￡?AEsin9=3

同理，在平行四邊形OCND中,

uuuiuuniuumuun、rruim?uumiUUDUUMrr

FC=-DC=-（zOC-ODj=a+h.OF=-ON=-^ZOC+ODXj=2^za-bJx

_3iiiuuuiiuutaiuuuUIHUULIU

可得OE=］尸C,OF=4AE^OEHFC-OFUAE；

所以而與而的夾角為。或其補(bǔ)角，

I|Uuoi|lUin.|Uiii|21iiun?o|UIH.iiiin.o

則SV0CD=2s70CF=2x-x|<?F|-|FC|sin（9=4|AE|x-|（?E|sin6?=-x|AE|-|O5|sin6?=-x3=8

AOCD的面積為8.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減或數(shù)乘運(yùn)算；

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

4.【答案】C

【分析】

代數(shù)法：由2a廿二"￡,利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡得到2sinAcosB=6sin4,求得

J3bcosB

<tanC、

角8,再利用正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為=+巫=石?—+二^+1,利用基本不等式

2sinCsinC44tan￡2

I2J

求解；幾何解法：由AB=2百，B=￡，作線段R4=C=26,過點(diǎn)8回射線8T,使得NABT=30。，C是

6

射線BT上的動(dòng)點(diǎn)，AC=h與BC=a都是變量,讓長度等于￡的線段的一個(gè)端點(diǎn)與線段AC的一個(gè)端點(diǎn)重

合，再從點(diǎn)C向“外”引線段，使其長度等于然后利用含有30。的直角三角形性質(zhì)求解.

【詳解】

代數(shù)法：,/(2a-\[3c)cosB=>/3/?cosC,

由正弦定理得(2sinA-V^sinC)cosB=5/3sinBcosC?

即2sinAcosB=百(sinBcosC+cosBsinC)=J^sin(B+C),

因?yàn)锳=

所以sinA=sin（B+C）,

所以2sinAcosB=出sinA.

因?yàn)?cA<乃，所以sinA>0,所以cos8=

因?yàn)?<3<），

所以B=f.

6

由正弦定理可得°=冬叵①4,b=W~,

sinCsinC

i+s喂一0

a,GsinAGrr1+sinArr

/.—+/?=----------+-------=v3------------=73?

2sinCsinCsinCsinC

Q

--C2<C}

c,02+2cos-1otan-4-3々tan—Q々。

2+cosC+3=^^^+3=石——--^-+——+>，（C=生時(shí)取

CC2

2sinC24sincos4tan￡24.J23

222I2J

等），

故選：c.

幾何解法：在AABC中，確定的量有兩個(gè)：/48=26,B=二.

如圖，作線段3A=C=2G，過點(diǎn)區(qū)畫射線8T,使得NABT=30。.

BA

這樣C是射線67上的動(dòng)點(diǎn)，AC=*BC=a都是變量.

為了求］+方的最小值，可考慮讓長度等于今的線段的一個(gè)端點(diǎn)與線段AC的個(gè)端點(diǎn)重合（即“首尾相

連”）.

考慮從點(diǎn)C向“外”引線段，使其長度等于會(huì)聯(lián)想到含有3"的直角三角形性質(zhì)，作如下輔助線：

如圖，

作射線8A，使NABT=30。，作垂足為“，則C”=1.

所以原問題等價(jià)于：C是射線BT卜.的動(dòng)點(diǎn)，求AC+CH的最小值，

顯然即是點(diǎn)A到直線B4的距離3為所求，

所以卜6的最小值為3.

故選：C

5.【答案】C

【分析】

由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可

得圓的半徑，進(jìn)一步可求其面積.

【詳解】

康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心,

所以其康威圓半徑為+32=,故面積為

故選:C.

6.【答案】BI）

【分析】

由正弦定理和加山4=（助-°）豆115可判斷A；由工+1=42+￡+0〕，然后利用基本不等式可判斷B；由

ac8vcic）

7

a+c=8得BC+AB=8>AC=2,判斷出點(diǎn)5的軌跡可判斷C；由余弦定理得M+c?=—勿，可判斷D.

4

【詳解】

由正弦定理和bsinA=（4〃-c）sin3得，ba=（4b-c）b,

因?yàn)?H0,所以。=4/7—c,即a+c=4b,故A；

?fb=2,則a+c=8,

11f1\}a+c1

——F—=—F-=—

ac[ac)88

〃+c=8

當(dāng)且僅當(dāng)a即q=c=4,故B正確;

-=一

c

若b=2,則a+c=8,即BC+A5=8>4C=2,

所以B在以A、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去A、C兩點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng),

其中橢圓的焦距為2C'=2,C'=1.

而2心8,所以""橢圓的離心率efq,故C錯(cuò)誤;

7

若cos3=%，則有°a2^c2-b27,

8cosB=---------

lac2ac8

日口―icr+c2+2ac

即有礦+c2------------

16

整理有+。2-2ac=0，所以（〃—C）~=0,得4=C,故I）正確.

故選：BD.

7.【答案】1

【分析】

直接利用余弦定理即可解得.

【詳解】

因?yàn)閏=屈，。=3,NC=120°,

由余弦定理c2=a2+6-2a08sC^：13=9+y-2x3x〃(-；),

解得：ZFI或A-4(舍去)

故答案為：1.

8.【答案】2

【分析】

由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進(jìn)行化簡可求C,然后結(jié)合三角形面積公式可求.

【詳解】

解：因?yàn)?7?卜也2A-sin2c)=(a-b)sin8,

由正弦定理得，2-c2=ab-b2,由余弦定理得cosC=、+"一廠=L

a2ab2

TT

所以由0<C<;r得C=1,

若AA3c的面積,所以S=LzbsinC='^■"6=，解得c=2.

8248

故答案為：2.

9.【答案】g

【分析】

本題可通過余弦定理得出結(jié)果.

【詳解】

由余弦定理易知:

2.22

a=ftcosC=bx----—,艮f)二人2,

lab

IT

則AABC是以角8為直角頂點(diǎn)的直角三角形，B=~,

故答案為：—■

10.【答案】4+2及

【分析】

7T

由題設(shè)可得sin(B+C)=cos5,根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)可知AABC是NC=］的自角三角形，即有其周長為

a+b+4r萬，利用基本不等式即可求出最小值，注意等號(hào)成立的條件.

【詳解】

由tan&osC=1—sinC知：sinBcosC=cos￡?-cos&inC,而8+。=兀一A,

...sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin4=cosB,

41._____

.?.△ABC是/C='的直角二角形，故S.c=]"=2,即必=4,而C=A/7壽，

222222

△A8c的周長a+。+y/a+f)=yja+ij+2ab+\Ja+b>J4ab+12ab=4+20<當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)a=8=2等號(hào)

成立.

故答案為：4+2點(diǎn)

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換及三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷三角形的形狀，再由三角形周長公式、基本不等

式求周長的最小值即可.

11.【答案】(1)sinB=-;(2)*二^

416

【分析】

(I)由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可得a=c,進(jìn)而可求a=c=4,利用三角形的面積

公式即可求得sinB的值.

(II)由(I)可得a=c,結(jié)合已知由余弦定理可得cosb,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB,利

用二倍角公式可求sin28,cos28的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正弦公式即可計(jì)算求解.

【詳解】

解：(I)tan/A=cosBtan/14-sinB,

/.sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,

「?由正弦定理可得〃=c,

又?「a+c=8,

..a=c=4f

,.,△ABC的面積為6=g〃csin8=gx4x4xsinB,

3

「?解得：sinB=-.

4

(II).??由(I)可得a=c,

又心￡2,

2

2254

???由余弦定理可得?+”-5—1,

2ac2/4

???Be(O,4)，

/.sinB=A/1-COS2B=把^,sin23=2sinBcosB=-3^,cos28=2cos2,

488

.?冗、.OD7i'口,冗(Vl5\1Ji7x/3-V15

??sm(2Z?)=sin28coscos2Bsm—=(------)x——(一--)x——=-------------.

333828216

12.【答案】⑴AD=逅；(2)6應(yīng).

3

【分析】

(1)利用正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系將3ccos5+?sinBsinC=0化為2cos2B_3COSB-2=0,從而可

21

求出NABC=7",ZABD=-7Tf然后在△43。利用余弦定理求出A￡＞：

(2)解法一：由函=2萬5，BD^BA+^BC,平方化簡后可得18=(2c+”)2-6ac,再利用基本不等式可

求得答案；解法二：設(shè)AD=r,則CD=2f,AC=3f,然后在△A8O和AMC利用余弦定理，結(jié)合

cosZADB=-cosZ.BDC可得6產(chǎn)=2c?+〃-6,在^ABC利用余弦定理可得9產(chǎn)=a2+c2-^ac,從而得

18=(2c+a)2-6收,再利用基本不等式可求得答案；

【詳解】

解：(1)3ccosB-t-2Z?sinBsinC=0,3sinCeosB+2sinBsinBsinC=0,

sinC^0,3cosB+2sin28=0,2cos2B-3cosB-2=0，cosB=-^~,

2

:./ABC=—TT,

3

VBDA.BC,AABD=-7t,

6

在△A3。中，由余弦定理得，AD2=[^^\+V22-2X^XV2COS-^=-,

\3z363

???A.D=—瓜

3

(2)解法一：cosZABC=-1,因?yàn)镃3=2AZ),所以麗=2麗，即麗-的=2(麗-麗)，

整理得到麗麗+g或，兩邊平方后有麗2=［麗2+"前2+［麗阮,

所以2=《麗2+"而2+1麗前即2=6胡2+g+1|BA|-|BC|^-^,

整理得到18=4|麗產(chǎn)+|直『-2|麗|“心|,

所以18=4c2+a2-lac=(2c+a)2-6ac,

因?yàn)?恒4(笥衛(wèi))2,所以18=(2c+a)?-6ac「(2c+a)?-3(^^產(chǎn)=(2；"),

2c+?<718x4=672,當(dāng)且僅當(dāng)a=3&?'=逑時(shí)等號(hào)成立，

2

所以2A8+BC的最大值60.

解法二：設(shè)AO=r,則C￡)=2f,AC=3t,

在△A8O中，cosZADB=r+.

2V2f

在ABDC中，cosNBDC=(2"+產(chǎn)--才

2V2-2r

乂cosZADB=-cosZBDC,

產(chǎn)+(⑸工(2r)2+訴2-/

所以解得6產(chǎn)=2。2+〃一6,①

2x/2r2y/2-2t

在AABC中，AC2=(3r)2=a2+c2-2accosB,即9產(chǎn)=a?+c?-gac,②

由①@可得2

18=4c2+a-2ac.

所以18=4c2+a2-lac=(2c+a)2-6ac,

因?yàn)?ca4(^^^)2,所以18=(2c+a)。-6ac2(2c+a)?-3(^^)2=("),

2c+a?J18x4=6應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)a=3&,c=—時(shí)等號(hào)成立，

2

所以248+BC的最大值60.

真題練

1.【答案】A

【分析】

根據(jù)己知條件結(jié)合余弦定理求得AB,再根據(jù)cosB=AB"卡—。"2,即可求得答案

2ABBC

【詳解】

2

???在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3

根據(jù)余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC

2

AB2=42+32-2X4X3X-

3

可得AB?=9,即AB=3

AB2-^BC2-AC29+9-161

由：cos3=

2ABBC2x3x3-5

故cos3=L

9

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】I)

【分析】

根據(jù)正弦定理邊化角求解即可.

【詳解】

由正弦定理有2sin-/sin2A=26;礦勺-i.又3a=勸=2=[,