九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

九

年

級(jí)

知

識(shí)

點(diǎn)

結(jié)

第二十二章二次函數(shù)

考點(diǎn)一:二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果^=。/+法+8兄瓦。是常數(shù)，a70),那么y叫做x的二次函數(shù)。

y=ax2+/u+c(a,仇c是常數(shù)，a/0)叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于尤=-二b對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開(kāi)口方向；②有對(duì)稱軸；③有頂點(diǎn)。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點(diǎn)法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線

畫出對(duì)稱軸

(2)求拋物線y=ax?+〃x+c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找

到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到

二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。

由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出

一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點(diǎn)二:二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：y=+"+。(。,/?,。是常數(shù)，。工0)

(2)頂點(diǎn)式：y=。(犬-〃)？+女是常數(shù)，a聲0)

(3)當(dāng)拋物線y=ax?+Z?x+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程ax?+/?x+c=0

有實(shí)根Xi和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax?+/?x+c=a(x—X1)(x-X2)，二次

函數(shù)y=+Z?x+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=。(工一玉)(犬一工2)。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣

表示。

考點(diǎn)三:二次函數(shù)的最值

如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)

%=一=時(shí)，＞最值=4ac-b2

4a

如果自變量的取值范圍是玉那么，首先要看一々是否在自變量取值范圍

2a

h4nc-h~

玉<*</內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=—3時(shí)，y最值=；若不在此范圍內(nèi)，則

2a取值^a

需要考慮函數(shù)在玉KxW/范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)

x=X2時(shí)，y最大=ax：+法2+c,當(dāng)*=項(xiàng)時(shí)，y最小=ax；+6否+c；如果在此范圍內(nèi),

y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=X|時(shí)，y最大=ax：+如+c,當(dāng)x=x2時(shí)，

>最小=ax；+bx2+c.

考點(diǎn)四:二次函數(shù)的性質(zhì)

1、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)

y=ax?+法+<?（。,6,，是常數(shù)，。70）

b一bbb

(2)對(duì)稱軸是x=----，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-----，(2)對(duì)稱軸是*=——，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(——,

2a2a2a2a

4ac-b24ac-b2

)；)；

4a4a

b(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xv2時(shí)，y隨x

(3)在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<----時(shí)，y隨x

2a2a

的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；在?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)

bx>—2時(shí)，y隨X的增大而減小，簡(jiǎn)記左

x>——時(shí)，y隨X的增大而增大，簡(jiǎn)記左減

2a2a

右增；增右減；

(4)拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=-2時(shí)，y有最小

(4)拋物線有最局點(diǎn)，當(dāng)x=----時(shí)，y有最

2a2a

任4ac-b2.4ac-b2

值，y最小值=4a大值，y最大值一

4Aa

2、二次函數(shù),+bx+c(a1,c是常數(shù)，。40)中，a、b、c的含義:

a表示開(kāi)口方向：a>o時(shí)，拋物線開(kāi)口向上

。<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下

b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-2

2a

c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：(0,c)

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

因此一元二次方程中的八=b2-^ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。

當(dāng)△>()時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△=()時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)：

當(dāng)△<()時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

補(bǔ)充：

1、兩點(diǎn)間距離公式(當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法)

如點(diǎn)A坐標(biāo)為(xi，y,)點(diǎn)B坐標(biāo)為(X2,y2)

則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為-電)2+(必一%)?

2、函數(shù)平移規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很

大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間)

左加右減、上加下減

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

1.圖形的旋轉(zhuǎn)

(1)定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)動(dòng)

一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

(2)生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分

針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香

港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

(3)圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋

轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

(4)會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。

2.旋轉(zhuǎn)的基本特征：

(1)圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

(2)圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；

(3)圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。

3.幾點(diǎn)說(shuō)明：

(1)在理解旋轉(zhuǎn)特征時(shí)，首先要對(duì)照?qǐng)D形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)

角。

(2)旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。

(3)旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中位置沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)

就是旋轉(zhuǎn)中心。

23.2中心對(duì)稱

中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)

圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)

稱中心所平分。②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形

重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱：

橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)

靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).

圖案設(shè)計(jì)就是通過(guò)圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或幾種的組合）把基本圖形組成具有一

定意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體

現(xiàn)了設(shè)計(jì)意圖.

第二十四章圓

24.1圓

定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

（2）平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360。，留下的軌跡叫圓。

圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心

（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。

（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。

（4）垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。

注：圓心一般用字母。表示

直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表

zKo

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱

軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一"=2「或『二分之

d?

圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。

圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。

圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)

小數(shù)(無(wú)理數(shù))，用字母n表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，n*3.14。

直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。nr-2,用字母S表示。

一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也

相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等,

所對(duì)的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等,

所對(duì)的弦心距也相等。

周長(zhǎng)計(jì)算公式

1.、已知直徑：C="d

2、已知半徑：C=2nr

3、已知周長(zhǎng)：D=c\"

4、圓周長(zhǎng)的一半：1\2周長(zhǎng)(曲線)

5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑

面積計(jì)算公式：

1、已知半徑：S=nr平方

2、已知直徑：S=n(d\2)平方

3,已知周長(zhǎng)：S=n(c\2n)平方

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

①點(diǎn)在圓內(nèi)O點(diǎn)到圓心的距離小于半徑

②點(diǎn)在圓上O點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

③點(diǎn)在圓外O點(diǎn)到圓心的距離大于半徑

2.過(guò)三點(diǎn)的圓

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

3.外接圓和外心

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。

4.直線和圓的位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)

叫做切點(diǎn)。

相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。

5.直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定

如果。。的半徑為r,圓心0到直線/的距離為d,那么

①直線/和。0相交J

②直線/和。0相切O°=r；

③直線/和。0相離=4>乙

兩圓內(nèi)含<=>d<R-r(R>r)

24.3正多邊形和圓

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形?

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n23)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)

圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念:

(1)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心。

(2)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑.

(3)正多邊形的邊心距一一正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。

(4)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)

稱軸有n條。

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

知識(shí)講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那

么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗痪哂懈鹘窍嗟?，而各邊不一定相等；菱形不是正?/p>

邊形，因?yàn)?，它只具有各邊相等，而各角不一定相等?/p>

2、正多邊形與圓的關(guān)系。

正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n23)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)

圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的

每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而

這個(gè)多邊形就是正多邊形。

如：將圓6等分，即，則AB=BC=CD=DE=EF=FA。

觀察NA、NB、NC、ZD,ZE,NF所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，ZA=Z

B=ZC=ZD=ZE=ZF?

所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是。。的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心0,正多邊形的半徑R”

一就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距r“，正多邊形的中心角a“，正多邊形的邊長(zhǎng)

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就

是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等

腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtAAOM的基本元素：

斜邊0A——正n邊形的半徑R”；

一條直角邊0M一—正n邊形的邊心距r?；

一條直角邊AM——正n邊形的邊長(zhǎng)a”的一半即AM=a“；

銳角/AOM---正n邊形的中心角a“的一半即NA0M=；

銳角/OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即N0AM=[(n-2)780°]；

可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。

因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。

4、正多邊形的有關(guān)作圖。

(1)使用量角器來(lái)等分圓。

由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心

的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正

n邊形。

(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。

對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。

①正四、八邊形。

在。0中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再

逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作NA0B的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等,

邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在。0中，任畫一條直徑AB,

分別以A、B為圓心，以。0的半徑為半徑畫弧與。。相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、

F、D是。0的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F（或C、B、D）是。。的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖（3）中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把。012等分……。

5、正多邊形的對(duì)稱性。

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形

的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。

如：正三角形、正方形。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式

因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2R,所以1。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，

于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1的計(jì)算公式：，

說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，

例如，圓的半徑R=10,計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)1時(shí)，不要錯(cuò)寫成。

（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R,圓心角為n。的扇形面積，顯然扇形的面積

是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積,所以圓心角為1°

的扇形面積是，由此得圓心角為n。的扇形面積的計(jì)算公式是。

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。

(2)弓形的周長(zhǎng)=弦長(zhǎng)+弧長(zhǎng)

(3)弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把

扇形OAmB的面積和aAOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。

⑴⑵⑶

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，

當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，

例：如圖所示，。。的半徑為2,/ABC=45°,則圖中陰影部分的面積是

)(結(jié)果用表不)

分析：由圖可知由圓周角定理可知/ABC=/AOC,所以NA0C=2NABC=90°,所以△

OAC是直角三角形，所以

SACUC=彳勿?℃=gx2x2=2,%措6MMe.=■萬(wàn)x2="

zz30U,

所以

注意：(1)圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積

公

式

(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

(2)扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示

積

知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,底面圓的半徑為r,

那么這個(gè)扇形的半徑為1,扇形的弧長(zhǎng)為2,圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積

說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并

明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。

知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示,其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng),

若圓柱的底面半徑為r,高為h,則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積

知識(shí)小結(jié)：

圓錐與圓柱的比較

名稱圓錐圓柱

圖形

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD

圖形的形成過(guò)程

的，如Rt/XSOA繞直線SO旋繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。

轉(zhuǎn)一周。

圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面

側(cè)面展開(kāi)圖的特征扇形矩形

面積計(jì)算方法

第二十五章概率初步

25.1隨機(jī)事件與概率

1.隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；?

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；

(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用。表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用e表

示，e稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作O={e}.

2.隨機(jī)事件

在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某

種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件).通常把必然事件(記作Q)與不可能事件(記作

。)

看作特殊的隨機(jī)事件.

25.2用列舉法求概率

1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，

可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采

用列舉法.

2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法.但有時(shí)一一列舉出的情

況數(shù)目很大,此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況,盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)目.

3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同;

②其中某一事件發(fā)生的概率=；③在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一

手各種工情況既出招現(xiàn)的梨次數(shù)刊

事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；

4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到

實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí).，頻率穩(wěn)定于概率，但

并不完全等于概率.

25.3用頻率估計(jì)概率

在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該

事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，

是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,

頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。

在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可

能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，

并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，

甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解

釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常

通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得

到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。

第二十六章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=±（k是常數(shù)，kHO）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以

X

寫成y=b「的形式。自變量x的取值范圍是xRO的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切

非零實(shí)數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或

第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量xNO,函數(shù)yHO,所以，它

的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)

軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例

函數(shù)X

①X的取值范圍是X#0,①x的取值范圍是xH0,

y的取值范圍是y#0；y的取值范圍是y#0；

性質(zhì)②當(dāng)k>0時(shí);函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別

在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

k

確定及謊是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=±中，只有一個(gè)待定系數(shù),

x

因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

k

如下圖，過(guò)反比例函數(shù)y=—(AW0)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM,PN,

x

k

則所得的矩形PMON的面積S=PM?PN=H?W=|H。,y=一,.?.孫=

第二十七章相似

考點(diǎn)一:比例線段(3分)

1、比例線段的相關(guān)概念

am如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a,b的長(zhǎng)度分別為m,n,那么就說(shuō)這

方=］兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n

’在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做

成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段

ac若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，

g=Z線段a,d叫做比例外項(xiàng)，線段b,C叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a,b,c的第四

比例項(xiàng)。

如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即且=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段

bc

a,c的比例中項(xiàng)。

2、比例的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

?a：b=c：dOad=bc

②a：b=b：c<=>Z?2=ac

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）

廠---（交換內(nèi)項(xiàng)）

cd

@nrdc（交換外項(xiàng)）

bdba

db

I=—（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）

ca

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：

acbd

—=——s——-

bdac

（4）合比性質(zhì)：

aca+b_c±d

bdbd

（5）等比性質(zhì):

acem八,,八、a+c+e+---+ma

—=—=—=■?-=-（b+d+f+…+〃x0）=>-----------------=—

bdfn'b+d+f-\----1-nb

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，

75-1

叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=------AB=O.618AB

2

考點(diǎn)二:平行線分線段成比例定理（3~5分）

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊。

（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三

邊對(duì)應(yīng)成比例。

考點(diǎn)三:相似三角形（3~8分）

1、相似三角形的概念

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“s”來(lái)表示，讀

作“相似于"。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原

三角形相似。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下：

VDE/7BC,/.AADE^AABC

相似三角形的等價(jià)關(guān)系：

(1)反身性：對(duì)于任一Z\ABC,都有△ABCs^ABC；

(2)對(duì)稱性：若△ABCs/\A，B，C',則△A，B，C's/\ABC

(3)傳遞性：若△ABCSAA，B，C"并且△A，B，C，S/\A"B“C”，則△ABCSAA“B“C”。

3、三角形相似的判定

(1)三角形相似的判定方法

①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似

②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似

③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

④判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且?jiàn)A角

相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。

⑤判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

(2)直角三角形相似的判定方法

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條

直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。

4、相似三角形的性質(zhì)

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

5、相似多邊形

(1)如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫

做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))

(2)相似多邊形的性質(zhì)

①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

②相似多邊形周長(zhǎng)的比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比

③相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比

④相似多邊形面積的比等于相似比的平方

6、位似圖形

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比。

性質(zhì)：每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位

似比。

由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個(gè)圖形放

大或縮小。

第二十八章銳角三角函數(shù)

考點(diǎn)一:直角三角形的性質(zhì)（3~5分）

1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

可表示如下：ZC=90°=>ZA+ZB=90°

2、在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°

可表示如下：

ZC=90°

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°

可表示如下：=>CD=-AB=BD=AD

2

D為AB的中點(diǎn)

4、勾股定理

直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+82=c2

5、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊

是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)

/ACB=90°]rCD2=AD?BD

k，AC2=AD?AB

CDXAB」I=BD?AB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：

AB*CD=AC*BC

考點(diǎn)二:直角三角形的判定（3~5分）

1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系/+/=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

考點(diǎn)三:銳角三角函數(shù)的概念（3~8分）

1、如圖，在△ABC中，ZC=90°

①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即B

斜邊/

.NA的對(duì)邊aZ/NA的對(duì)邊

c/aNB的鄰邊

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即

AbC

NA的鄰邊b

cosA=NA的鄰邊

斜邊cNB的對(duì)邊