小學六年級奧數題集錦及答案

小學六年級奧數題數學天地2023-11-2318:24:23閱讀1121評論5

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訂閱①

由〔2〕知：a2+a23＝〔a3+a23〕×2……②

由〔3〕知：a12+a13+a123＝a1－1……③

由〔4〕知：a1＝a2+a3……④

再由②得a23＝a2－a3×2……⑤

再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥

然后將④⑤⑥代入①中，整理得到

a2×4+a3＝26

由于a2、a3均表示人數，可以求出它們的整數解：

當a2＝6、5、4、3、2、1時，a3＝2、6、10、14、18、22

又根據a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3

因此，符合條件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，總人數＝8+6+2+7+2＝25，檢驗所有條件均符。

故只解出第二題的學生人數a2＝6人。

3．一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？

答案：及格率至少為71％。

假設一共有100人考試

100-95＝5

100-80＝20

100-79＝21

100-74＝26

100-85＝15

5+20+21+26+15＝87〔表示5題中有1題做錯的最多人數〕

87÷3＝29〔表示5題中有3題做錯的最多人數，即不及格的人數最多為29人〕

100-29＝71〔及格的最少人數，其實都是全對的〕

及格率至少為71％

六．抽屜原理、奇偶性問題

1．一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的？

解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。

把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9〔只〕

答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。

2．有四種顏色的積木假設干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣？

答案為21

解：

每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法.

當有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣:

當有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣.

3．某盒子內裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球？

解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數。

當黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是：

6*4+10+1=35(個)

如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是：

6*5+3+1＝34〔個〕

如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是：

6*5+2+1＝33

如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是：

6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子數分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經過假設干次操作，使得這四堆石子的個數都相同?〔如果能請說明具體操作，不能那么要說明理由〕

不可能。

因為總數為1+9+15+31＝56

56/4＝14

14是一個偶數

而原來1、9、15、31都是奇數，取出1個和放入3個也都是奇數，奇數加減假設干次奇數后，結果一定還是奇數，不可能得到偶數〔14個〕。

七．路程問題

1．狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？

解：

根據“馬跑4步的距離狗跑7步〞，可以設馬每步長為7x米，那么狗每步長為4x米。

根據“狗跑5步的時間馬跑3步〞，可知同一時間馬跑3*7x米＝21x米，那么狗跑5*4x＝20米。

可以得出馬與狗的速度比是21x：20x＝21：20

根據“現在狗已跑出30米〞，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數是21-20＝1，現在求馬的21份是多少路程，就是30÷〔21-20〕×21＝630米

2．甲乙輛車同時從ab兩地相對開出，幾小時后再距中點40千米處相遇？，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求ab兩地相距多少千米？

答案720千米。

由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時〞可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份〔總路程為18份〕，兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是〔40+40〕千米。所以算式是〔40+40〕÷〔10-8〕×〔10+8〕＝720千米。

3．在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，假設兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，那么兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？

答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。

解：

600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差

600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

〔50+150〕÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數

〔150-50〕/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數

600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間

600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間

4．慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從后面追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？

答案為53秒

算式是〔140+125)÷(22-17)=53秒

可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車〞就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。

5．在300米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？

答案為100米

300÷〔5-4.4〕＝500秒，表示追及時間

5×500＝2500米，表示甲追到乙時所行的路程

2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。

6．一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經過57秒火車經過她前面，火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度〔得出保存整數〕

答案為22米/秒

算式：1360÷(1360÷340+57〕≈22米/秒

關鍵理解：人在聽到聲音后57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．獵犬發(fā)現在離它10米遠的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。

正確的答案是獵犬至少跑60米才能追上。

解：

由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步〞可知當獵犬每步a米，那么兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步〞可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完

8．AB兩地,甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時從AB兩地相對行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘?

答案：18分鐘

解：設全程為1,甲的速度為x乙的速度為y

列式40x+40y=1

x:y=5:4

得x=1/72y=1/90

走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘

故得解

9．甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達對方出發(fā)點后立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？

答案是300千米。

解：通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分別是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的〔1+1/5〕。

因此360÷〔1+1/5〕＝300千米

從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車分別需要4小時、6小時，現在甲乙分別AB兩地同時出發(fā)相向而行，相遇時距AB兩地中點2千米。如果二人分別至B地，A地后都立即折回。第二次相遇點第一次相遇點之間有〔〕千米

10．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時;逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？

解：〔1/6-1/8〕÷2＝1/48表示水速的分率

2÷1/48＝96千米表示總路程

11．快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。

解：

相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3

時間比為3：4

所以快車行全程的時間為8/4*3＝6小時

6*33＝198千米

12．小華從甲地到乙地,3分之1騎車,3分之2乘車;從乙地返回甲地,5分之3騎車,5分之2乘車,結果慢了半小時.,騎車每小時12千米,乘車每小時30千米,問:甲乙兩地相距多少千米?

解：

把路程看成1，得到時間系數

去時時間系數：1/3÷12+2/3÷30

返回時間系數：3/5÷12+2/5÷30

兩者之差：〔3/5÷12+2/5÷30〕-〔1/3÷12+2/3÷30〕=1/75相當于1/2小時

去時時間：1/2×〔1/3÷12〕÷1/75和1/2×〔2/3÷30〕1/75

路程：12×〔1/2×〔1/3÷12〕÷1/75〕+30×〔1/2×〔2/3÷30〕1/75〕=37.5〔千米〕

八．比例問題

1．甲乙兩人在河邊釣魚,甲釣了三條,乙釣了兩條,正準備吃,有一個人請求跟他們一起吃,于是三人將五條魚平分了,為了表示感謝,過路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快

答案：甲收8元，乙收2元。

解：

“三人將五條魚平分，客人拿出10元〞，可以理解為五條魚總價值為30元，那么每條魚價值6元。

又因為“甲釣了三條〞，相當于甲吃之前已經出資3*6＝18元，“乙釣了兩條〞，相當于乙吃之前已經出資2*6＝12元。

而甲乙兩人吃了的價值都是10元，所以

甲還可以收回18-10＝8元

乙還可以收回12-10＝2元

剛好就是客人出的錢。

份利潤下降了5分之2，那么，今年這種商品的本錢占售價的幾分之幾？

答案22/25

最好畫線段圖思考：

把去年原來本錢看成20份，利潤看成5份，那么今年的本錢提高1/10，就是22份，利潤下降了22．一種商品，今年的本錢比去年增加了10分之1，但仍保持原售價，因此，每/5，今年的利潤只有3份。增加的本錢2份剛好是下降利潤的2份。售價都是25份。

所以，今年的本錢占售價的22/25。

3．甲乙兩車分別從A.B兩地出發(fā),相向而行,出發(fā)時,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣,當甲到達B地時,乙離A地還有10千米,那么A.B兩地相距多少千米?

解：

原來甲.乙的速度比是5:4

現在的甲：5×〔1-20％〕＝4

現在的乙：4×〔1+20％〕4.8

甲到B后，乙離A還有：5-4.8＝0.2

總路程：10÷0.2×〔4+5〕＝450千米

4．一個圓柱的底面周長減少25%，要使體積增加1/3，現在的高和原來的高度比是多少？

答案為64：27

解：根據“周長減少25％〞，可知周長是原來的3/4，那么半徑也是原來的3/4，那么面積是原來的9/16。

根據“體積增加1/3〞，可知體積是原來的4/3。

體積÷底面積＝高

現在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是說現在的高是原來的高的64/27

或者現在的高：原來的高＝64/27：1＝64：27

5．某市場運來香蕉、蘋果、橘子和梨四種水果其中橘子、蘋果共30噸香蕉、橘子和梨共45噸。橘子正好占總數的13分之2。一共運來水果多少噸？

第二題：答案為65噸

橘子+蘋果＝30噸

香蕉+橘子+梨＝45噸

所以橘子+蘋果+香蕉+橘子+梨＝75噸

橘子÷〔香蕉+蘋果+橘子+梨〕＝2/13

說明：橘子是2份，香蕉+蘋果+橘子+梨是13份

橘子+香蕉+蘋果+橘子+梨一共是2+13＝15份

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