空間向量、立體幾何

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量、立體幾何（2023年12月）一．選擇題（共8小題）1．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線(xiàn)BD1與平面ABCD所成角的正切值為（）A．1 B． C． D．2．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，，則＝（）A． B． C． D．3．給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題是（）A．向量，，共面，即它們所在的直線(xiàn)共面 B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線(xiàn) D．已知向量，，則在上的投影向量為（1，2，2）4．已知向量、是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量在直線(xiàn)l上，則?＝0，且?＝0是l⊥α的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點(diǎn)．若＝，＝，＝，則向量＝（）A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則A1M與平面ABC1D1所成角的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知平面，其中點(diǎn)P0（1，2，3），法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面α內(nèi)的是（）A．（3，2，1） B．（﹣3，5，4） C．（﹣2，5，4） D．（2，﹣4，8）8．平面OAB⊥平面α，OA?α，，AB＝2，，平面α內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足PA⊥PB，記直線(xiàn)OP與平面OAB所成角為θ，則sinθ的最大值為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線(xiàn)段A1C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．存在點(diǎn)P，使得C1P∥AB1 B．三棱錐P﹣BC1D的外接球半徑最小值為 C．當(dāng)P為A1C的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P與平面BC1D平行的平面截正方體所得的截面面積為 D．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線(xiàn)B1C1的距離為（多選）10．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，，且AA1＝AB＝4，M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，且x，y∈[0，1]，則下列說(shuō)法正確（）A．當(dāng)MP∥平面ADD1A1時(shí)， B．當(dāng)x+y＝1時(shí)，BP的最小值為 C．若CP⊥BD1，則P的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)y＝2x（x≠0）時(shí)，若點(diǎn)O為三棱錐P﹣MBD的外接球的球心，則OP的取值范圍為（多選）11．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A．若向量與向量分別構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則∥ B．若非零向量滿(mǎn)足，，則有∥ C．若是空間的一個(gè)基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面 D．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底（多選）12．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（）A．AC⊥B1D B．A1C1∥平面B1CD C．平面A1B1CD與平面ABCD的夾角為45° D．點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為三．填空題（共5小題）13．如圖，平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝1，AA′＝2，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則AC′的長(zhǎng)為．14．點(diǎn)A（1，2，1），B（3，3，2），C（1，4，3），若D在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足CD⊥AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．15．已知分別是平面α，β的法向量，且α∥β，則mn＝．16．已知向量，，兩兩夾角為60°，且||＝||＝||＝1，則||＝．17．如圖，在二面角α﹣l﹣β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，CD＝12，則二面角α﹣l﹣β所成平面角為．四．解答題（共5小題）18．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角的大??；（2）若G為C1C中點(diǎn)，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．19．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1＝4，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，M為BD中點(diǎn)，P為BB1中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）用向量，，表示向量；（2）求線(xiàn)段PM的長(zhǎng)度．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝BC＝3，AB＝AD＝2，PB＝．E為PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PC＝3FC．（1）求證：AB⊥平面PAD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得DQ∥平面FAE？說(shuō)明理由．21．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PM；（2）求平面PAM與平面DAM的夾角的大小；（3）求點(diǎn)D到平面AMP的距離．22．如圖，O1，O分別是圓柱上、下底面圓的圓心，該圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，P，Q分別是其上、下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，已知P，Q位于軸截面ABCD的異側(cè)，且∠AOQ＝∠DO1P＝θ（）．（1）當(dāng)A，P，O1，Q四點(diǎn)共面時(shí)，求θ；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角A﹣PO﹣O1的正弦值．

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量、立體幾何（2023年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，直線(xiàn)BD1與平面ABCD所成角的正切值為（）A．1 B． C． D．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】連接BD，由DD1⊥平面ABCD，知∠DBD1即為所求，再利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可．【解答】解：如圖所示，連接BD，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以∠DBD1是直線(xiàn)BD1與平面ABCD所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線(xiàn)面角的求法，熟練掌握線(xiàn)面角的定義與找法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，，則＝（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，求解即可．【解答】解：由，知＝，因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以＝（+），所以＝＝﹣（+）＝﹣﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題是（）A．向量，，共面，即它們所在的直線(xiàn)共面 B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線(xiàn) D．已知向量，，則在上的投影向量為（1，2，2）【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；命題的真假判斷與應(yīng)用；共線(xiàn)向量與共面向量．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】A，根據(jù)向量共面與直線(xiàn)共面的區(qū)別，可判斷；B，根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，可得，再由空間向量基本定理，可判斷；C，由空間向量基底的性質(zhì)，可判斷；D，根據(jù)投影向量的計(jì)算方法，即可得解．【解答】解：對(duì)于A(yíng)，向量可以通過(guò)平移后共面，但是它們的所在直線(xiàn)不一定是共面直線(xiàn)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，即，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)可知這兩個(gè)向量共線(xiàn)，即C正確；對(duì)于D，在上的投影向量為??＝?＝?（1，2，2）＝（1，2，2），即D正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的概念，包含共面向量，基底等，還涉及投影向量的計(jì)算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量、是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量在直線(xiàn)l上，則?＝0，且?＝0是l⊥α的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直；充分條件與必要條件．【答案】B【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的概念，及線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)，以及兩非零向量垂直的充要條件即可判斷出?＝0，且?＝是l⊥α的什么條件．【解答】解：（1）由得，；∵所在直線(xiàn)不一定相交，所在直線(xiàn)為l；∴得不到l⊥α；即，且不是l⊥α的充分條件；（2）若l⊥α，向量所在直線(xiàn)在平面α內(nèi)，在直線(xiàn)l上；∴；∴，且；即?＝0，且?＝是l⊥α的必要條件；綜上得?＝0，且?＝是l⊥α的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查兩非零向量垂直的充要條件，線(xiàn)面垂直的判定定理，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，以及充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念．5．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點(diǎn)．若＝，＝，＝，則向量＝（）A．﹣++ B． C．﹣﹣+ D．﹣+【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應(yīng)用．【答案】A【分析】向量＝＝，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1，B1D1的交點(diǎn)．＝，＝，＝，∴向量＝＝＝﹣+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則A1M與平面ABC1D1所成角的取值范圍為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；立體幾何；邏輯推理；直觀(guān)想象．【答案】C【分析】設(shè)AD1?A1D＝O，連接OM，則可得∠A1MO即為A1M與平面ABC1D1所成角θ，設(shè)AA1＝2，表示出tanθ，求出其范圍，從而可求出θ的范圍．【解答】解：設(shè)AD1?A1D＝O，連接OM，則AD1⊥A1D，因?yàn)樵谡襟wABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，因?yàn)锳D1∩AB＝A，AD1，AB?平面ABC1D1，所以A1O⊥平面ABC1D1，所以∠A1MO即為A1M與平面ABC1D1所成角θ．設(shè)AA1＝2，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕蔬x：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中線(xiàn)面位置關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．7．已知平面，其中點(diǎn)P0（1，2，3），法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面α內(nèi)的是（）A．（3，2，1） B．（﹣3，5，4） C．（﹣2，5，4） D．（2，﹣4，8）【考點(diǎn)】平面的法向量．【專(zhuān)題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)分別求出，計(jì)算的值是否為0，從而得出結(jié)論．【解答】解：平面，其中點(diǎn)P0（1，2，3），法向量，對(duì)于A(yíng)，設(shè)P（3，2，1），則＝（2，0，﹣2），∵?＝2﹣2＝0，∴（3，2，1）在平面α內(nèi)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)P（﹣3，5，4），則＝（﹣4，3，1），∵?＝﹣4+3+1＝0，∴（﹣3，5，4）在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)P（﹣2，5，4），則＝（﹣3，3，1），∵?＝﹣3+3+1＝1≠0，∴（﹣2，5，4）不在平面α內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)P（2，﹣4，8），則＝（1，﹣6，5），∵?＝1﹣6+5＝0，∴（2，﹣4，8）在平面α內(nèi)，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的法向量、向量數(shù)量積公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．平面OAB⊥平面α，OA?α，，AB＝2，，平面α內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足PA⊥PB，記直線(xiàn)OP與平面OAB所成角為θ，則sinθ的最大值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間角；邏輯推理．【答案】B【分析】通過(guò)線(xiàn)面角的定義作出線(xiàn)面角，根據(jù)點(diǎn)P的軌跡確定角最大時(shí)的位置，利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系結(jié)合直角三角形求解即可．【解答】解：如圖：過(guò)B作BH垂直O(jiān)A的延長(zhǎng)線(xiàn)，垂足為H，連接PH，OP，取AH的中點(diǎn)為E，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA，垂足為F，因?yàn)槠矫鍻AB⊥平面α，且平面OAB∩平面α＝OA，BH?平面OAB，PF?α，所以BH⊥α，PF⊥平面OAB，所以O(shè)P在平面OAB上的射影就是直線(xiàn)OA，故∠AOP就是直線(xiàn)OP與平面OAB所成的角θ，即∠AOP＝θ，因?yàn)锳P?α，所以PA⊥BH，又PA⊥PB，PB∩BH＝B，PB?平面PBH，BH?平面PBH，所以PA⊥平面PBH，PH?平面PBH，則PA⊥PH，所以點(diǎn)P的軌跡是平面α內(nèi)以線(xiàn)段AH為直徑的圓（A點(diǎn)除外），因?yàn)椋珹B＝2，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)PE⊥OP，即OP是圓E的切線(xiàn)時(shí)，角θ有最大值，則sinθ的最大值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中直線(xiàn)與平面所成角的計(jì)算，考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線(xiàn)段A1C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．存在點(diǎn)P，使得C1P∥AB1 B．三棱錐P﹣BC1D的外接球半徑最小值為 C．當(dāng)P為A1C的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)P與平面BC1D平行的平面截正方體所得的截面面積為 D．存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線(xiàn)B1C1的距離為【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算；命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面的基本性質(zhì)及推論．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量共線(xiàn)求解A；根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球半徑的求解即可判定B；根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合六邊形的面積求解即可判定C；建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)線(xiàn)距離的向量求法，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D．【解答】解：對(duì)于B，由BC＝CD＝BD＝2，可得△BDC1為等邊三角形，且其外接圓的半徑為r＝＝，由于A(yíng)A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AAC1C，所以BD⊥平面AA1C1C，AC1?平面AA1C1C，故BD⊥AC1，同理可證BC1⊥AC1，又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BDC1，故AC1⊥平面BDC1，因此三棱錐P﹣BC1D為正三棱錐，設(shè)外接球半徑為R，球心到平面BDC1的距離為h，則R＝，故當(dāng)h＝0時(shí)，R＝為最小值，故B正確；對(duì)于C，取AB，C1D1，AD的中點(diǎn)分別為M，Q，N，連接NM，MQ，NQ，當(dāng)P是A1C的中點(diǎn)時(shí)，也是QM的中點(diǎn)，則該截面為與平面BC1D平行的平面截正方體所得的截面，進(jìn)而可得該截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為NM＝AM＝，所以截面面積為，故C正確；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），＝（1，0，0），設(shè)＝a＝a（﹣1，1，﹣1）＝（﹣a，a，﹣a），（0≤a≤1），則＝（﹣a，a，﹣a）﹣（0，1，0）＝（﹣a，a﹣1，﹣a），所以點(diǎn)P到直線(xiàn)B1C1的距離為：d＝＝＝＝，由于0≤a≤1，所以d＝，由于，故D正確；對(duì)于A(yíng)，由于＝（﹣a，a﹣1，﹣a），∴P（1﹣a，a，1﹣a），又C1（0，1，1），則＝（1﹣a，a﹣1，﹣a），又A（1，0，0），B（1，1，1），＝（0，1，1），若＝（0，1，1）與＝（1﹣a，a﹣1，﹣a）共線(xiàn)，則1﹣a＝0，a＝1，此時(shí)＝（0，0，﹣1），此時(shí)＝（0，1，1）與＝（0，0，﹣1）不共線(xiàn)，故C1P，AB1不平行，即不存在點(diǎn)P，使得C1P∥AB1，故A錯(cuò)誤．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)距離的計(jì)算，考查線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系的判定，考查棱錐外接球相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，屬中檔題．（多選）10．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，，且AA1＝AB＝4，M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，且x，y∈[0，1]，則下列說(shuō)法正確（）A．當(dāng)MP∥平面ADD1A1時(shí)， B．當(dāng)x+y＝1時(shí)，BP的最小值為 C．若CP⊥BD1，則P的軌跡長(zhǎng)度為 D．當(dāng)y＝2x（x≠0）時(shí)，若點(diǎn)O為三棱錐P﹣MBD的外接球的球心，則OP的取值范圍為【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算；命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BD【分析】取D1B1的中點(diǎn)O1，BD中點(diǎn)O2，證明平面MO1O2∥平面ADD1A1，由此確定P的軌跡，可判斷A；由條件確定P的軌跡是DB1，可判斷B；分別取BD，BB1中點(diǎn)O2，N，證明BD1⊥平面CNO2，由此確定P的軌跡為NO2，可判斷C；取DD1的中點(diǎn)Q，連接BQ交O1O2于點(diǎn)S，過(guò)B作BE⊥BQ交O2O1于點(diǎn)E，由條件確定點(diǎn)P的軌跡，由此判斷D．【解答】解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，且x，y∈[0，1]，所以點(diǎn)P為矩形BDD1B1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），對(duì)于選項(xiàng)A，取D1B1的中點(diǎn)O1，BD中點(diǎn)O2，連接O1O2，O2M，因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)2M∥AD，又AD?平面ADD1A1，MO2?平面ADD1A1，所以MO2∥平面ADD1A1，同理O1O2∥DD1，DD1?平面ADD1A1，O1O2?平面ADD1A1，所以O(shè)1O2∥平面ADD1A1，又O1O2?O2M＝O2，O1O2，O2M?平面MO1O2，所以平面MO1O2∥平面ADD1A1，因?yàn)镸P∥平面ADD1A1，則P的軌跡是線(xiàn)段O1O2，所以，又，所以，x∈[0，1]，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑇+y＝1，且x∈[0，1]，y∈[0，1]，所以，所以，x∈[0，1]，所以P的軌跡是DB1，由已知，，所以BD＝4，又BB1＝4，所以四邊形BDD1B1為正方形，所以BP的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，分別取BD，BB1中點(diǎn)O2，N，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以CO2⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，CO2?平面ABCD，所以CO2⊥DD1，又BD?DD1＝D，且兩直線(xiàn)在平面內(nèi)，所以CO2⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，所以BD1⊥CO2．因?yàn)樗倪呅蜝DD1B1為正方形，所以BD1⊥NO2，又CO2?NO2＝O2，CO2，NO2?平面CNO2，所以BD1⊥平面CNO2，所以P的軌跡為NO2，又，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取DD1的中點(diǎn)Q，連接BQ交O1O2于點(diǎn)S，過(guò)B作BE⊥BQ交O2O1于點(diǎn)E，當(dāng)y＝2x（x≠0）時(shí)，，，所以P的軌跡是線(xiàn)段BQ，因?yàn)椤鰽BD為等邊三角形，M為AB的中點(diǎn)，所以DM⊥AB，又因?yàn)镺為三棱錐P﹣MBD的外接球球心，所以O(shè)M＝OB＝OD，所以點(diǎn)O在直線(xiàn)O2O1上，在△PBD中，OP＝OB，則點(diǎn)O在線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)上，所以點(diǎn)O為直線(xiàn)O2O1與線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)P與Q重合時(shí)，點(diǎn)O為S；當(dāng)P與B重合時(shí)，點(diǎn)O為E；當(dāng)P在線(xiàn)段BQ上時(shí)，點(diǎn)O在線(xiàn)段SE上；因?yàn)镺P＝OB，所以O(shè)Bmin＝O2B＝2，，因?yàn)閤，y∈[0，1]，且x≠0，所以O(shè)P的取值范圍是，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行的證明，空間圖形中的軌跡問(wèn)題，空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，多面體與球的切接問(wèn)題，線(xiàn)面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬難題．（多選）11．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A．若向量與向量分別構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則∥ B．若非零向量滿(mǎn)足，，則有∥ C．若是空間的一個(gè)基底，且，則A，B，C，D四點(diǎn)共面 D．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；平面向量的基本定理．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】CD【分析】由基底的概念可判斷A；舉反例，例如空間直角坐標(biāo)系，可判斷B；結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算與平面向量基本定理可判斷C；根據(jù)空間向量基本定理可判斷D．【解答】解：選項(xiàng)A，由基底的概念知，與可能平行，可能相交，即A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，舉反例，由空間直角坐標(biāo)系知，與可能垂直，即B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)?，所?+＝++，所以﹣＝（﹣）+（﹣），即＝+，由平面向量基本定理知，A，B，C，D四點(diǎn)共面，即C正確；選項(xiàng)D，設(shè)空間任何一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（x，y，z），使得＝x（+）+y（+）+z（+），所以＝（x+z）+（x+y）+（y+z），所以也是空間的一個(gè)基底，即D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理，空間向量基底的含義，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（）A．AC⊥B1D B．A1C1∥平面B1CD C．平面A1B1CD與平面ABCD的夾角為45° D．點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；直線(xiàn)與平面平行；二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)可利用線(xiàn)面垂直判定定理證明AC⊥平面BB1D，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)可知A正確；易知平面B1CD即為平面B1A1DC，顯然A1C1與平面B1CD相交于點(diǎn)A1，即B錯(cuò)誤；根據(jù)二面角的定義可知∠B1CD即二面角的平面角為45°，即C正確；利用等體積法即可求得點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為，可得D正確．【解答】解：連接AC，BD，如圖所示：對(duì)于A(yíng)，由正方體性質(zhì)可知，BB1⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，又因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD，又BB1∩BD＝B，且BB1，BD?平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，B1D?平面BB1D，所以可得AC⊥B1D，即A正確；對(duì)于B，平面B1CD即為平面B1A1DC，又A1C1∩平面B1A1DC＝A1，即A1C1與平面B1CD相交，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面A1B1CD?平面ABCD＝CD，易知B1C⊥CD，BC⊥CD，所以∠B1CD即為平面A1B1CD與平面ABCD夾角的平面角，顯然∠B1CD＝45°，即平面A1B1CD與平面ABCD的夾角為45°，可知C正確；對(duì)于D，易知三棱錐C1﹣B1CD與三棱錐B1﹣C1CD的體積相等，設(shè)點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為d，即，可得，所以，即點(diǎn)C1到平面B1CD的距離為，可得D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，考查二面角，考查點(diǎn)到平面距離的求法，屬中檔題．三．填空題（共5小題）13．如圖，平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝1，AA′＝2，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則AC′的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】．【分析】直接利用向量的運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：利用向量的運(yùn)算：＝12+12+22+2×1×1×cos60°+2×2×1×cos60°+2×1×2×cos60°＝11．所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．14．點(diǎn)A（1，2，1），B（3，3，2），C（1，4，3），若D在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足CD⊥AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)】空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算；空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】．【分析】結(jié)合題意，利用，，建立方程組解出即可．【解答】解：設(shè)D的坐標(biāo)為D（x，y，z），則，，，因?yàn)镈在線(xiàn)段AB上，且滿(mǎn)足CD⊥AB，所以，，即，解得：，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．15．已知分別是平面α，β的法向量，且α∥β，則mn＝﹣3．【考點(diǎn)】向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；共線(xiàn)向量與共面向量；平面的法向量．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣3．【分析】根據(jù)題意，分析可得∥，由此設(shè)＝t，即（0，1，m）＝k（0，n，﹣3），進(jìn)而分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若α∥β，則有∥，設(shè)＝t，即（0，1，m）＝k（0，n，﹣3），則有，變形可得：mn＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的法向量，涉及平面平行的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．16．已知向量，，兩兩夾角為60°，且||＝||＝||＝1，則||＝．【考點(diǎn)】空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】．【分析】由數(shù)量積的性質(zhì)，將向量的模轉(zhuǎn)化為向量平方進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意，＝，則||＝＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．17．如圖，在二面角α﹣l﹣β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，CD＝12，則二面角α﹣l﹣β所成平面角為120°．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯推理．【答案】120°．【分析】設(shè)二面角α﹣l﹣β的大小為θ，且AC⊥l，BD⊥l，則＜，＞＝θ，2＝（﹣++）2＝144，進(jìn)而可得答案．【解答】解：設(shè)二面角α﹣l﹣β的大小為θ，且AC⊥l，BD⊥l，所以＜，＞＝θ，所以2＝（﹣++）2＝2+2+2﹣2?+2?﹣2?＝62+62+62﹣0+0﹣2×6×6×cosθ＝144，所以cosθ＝﹣，所以θ＝120°．故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角，解題關(guān)鍵是向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）18．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角的大小；（2）若G為C1C中點(diǎn)，求二面角C﹣AG﹣E的正切值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；異面直線(xiàn)及其所成的角．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）取B1C1的中點(diǎn)E1，連A1E1，E1C，根據(jù)異面直線(xiàn)夾角定義可得，∠E1A1C是異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角，設(shè)AC＝AB＝AA1＝2，解三角形可得答案；（2）連接AG，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC，由直三棱錐的側(cè)面與底面垂直，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，可得EP⊥平面ACC1A1，再由二面角的定義可得∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角，求解三角形得答案．【解答】解：（1）取B1C1的中點(diǎn)E1，連A1E1，E1C，則AE∥A1E1，∴∠E1A1C是異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角．設(shè)AC＝AB＝AA1＝2，則由∠BAC＝90°，可得A1E1＝AE＝，A1C＝2，E1C1＝EC＝BC＝，∴E1C＝＝．∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C＝＝，∴異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角為；（2）連接AG，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACC1A1，∴EP⊥平面ACC1A1，而PQ⊥AG，則EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．由EP＝1，AP＝1，PQ＝，得tan∠PQE＝＝．∴二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線(xiàn)的夾角與二面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1＝4，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，M為BD中點(diǎn)，P為BB1中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）用向量，，表示向量；（2）求線(xiàn)段PM的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用平面向量加減法的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算法則求解；（2）利用基底向量{}表示出，然后平方即可求解．【解答】解：（1）由平行六面體的性質(zhì)可知：＝＝＝（）＝；（2）由已知得，，，＝＜＞＝60°，所以＝（）2＝（﹣2﹣2）＝×（22+22+42﹣2×2×4×cos60°+2×2×4×cos60°）＝6，所以||＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的運(yùn)算與模長(zhǎng)的計(jì)算方法，屬于中檔題．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝BC＝3，AB＝AD＝2，PB＝．E為PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PC＝3FC．（1）求證：AB⊥平面PAD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得DQ∥平面FAE？說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線(xiàn)與平面平行；直線(xiàn)與平面垂直．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）二面角F﹣AE﹣D的余弦值為；（3）線(xiàn)段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．【分析】（1）由已知利用勾股定理證明AB⊥PA，結(jié)合AB⊥AD，由直線(xiàn)與平面垂直的判定可得AB⊥平面PAD；（2）證明AB、AD、AP兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、AB、AP所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出AEF與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）設(shè)Q是線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，則存在λ∈[0，1]使得．由解得λ＝2?[0，1]，可知線(xiàn)段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．【解答】（1）證明：在△PAB中，∵PA＝3，AB＝2，PB＝，∴．∴∠PAB＝90°，即AB⊥PA．又∵AB⊥AD，在平面PAD中，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD；（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥AD，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，得AD⊥PA，已證AB⊥PA，且已知AB⊥AD，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、AB、AP所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（2，0，0），P（0，0，3），C（3，2，0）．，∵E為PD中點(diǎn)，∴．由PC＝3FC知，．設(shè)平面AEF的法向量為，由，令z＝2，得．又AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量為．∴，由題知，二面角F﹣AE﹣D為銳角，∴二面角F﹣AE﹣D的余弦值為；（3）解：設(shè)Q是線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，則存在λ∈[0，1]使得．∵，∴．∵DQ?平面AEF，∴要使DQ∥平面AEF，則，即（3λ﹣2，2λ，0）?（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2．∵λ＝2?[0，1]，∴線(xiàn)段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與平面垂直、直線(xiàn)與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．21．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：AM⊥PM；（2）求平面PAM與平面DAM的夾角的大?。唬?）求點(diǎn)D到平面AMP的距離．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AM⊥PM；（2）求出平面ABCD的法向量和平面APM的法向量，利用向量法能求出平面PAM與平面ABCD夾角的大?。唬?）求出平面APM的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)D到平面AMP的距離．【解答】解：（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0），，2，0），P（0，1，，，2，0），，1，，∵，∴AM⊥PM；（2）∵平面ABCD的法向量，0，1），又，2，0），，1，，設(shè)平面APM的法向量，y，z），則，取，1，，設(shè)平面PAM與平面ABCD夾角的大小為θ，則，∴，∴平面PAM與平面ABCD夾角的大小為；（3）∵D（0，0，0），，0，0），由（2）知平面APM的法向量，1，，∴點(diǎn)D到平面AMP的距離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，向量法求解面面角問(wèn)題，向量法求解點(diǎn)面距問(wèn)題，屬中檔題．22．如圖，O1，O分別是圓柱上、下底面圓的圓心，該圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，P，Q分別是其上、下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，已知P，Q位于軸截面ABCD的異側(cè)，且∠AOQ＝∠DO1P＝θ（）．（1）當(dāng)A，P，O1，Q四點(diǎn)共面時(shí)，求θ；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角A﹣PO﹣O1的正弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；向量法；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由平面與平面平行的性質(zhì)定理證明PO1∥AQ，可得△AOQ為等邊三角形，θ可求；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角A﹣PO﹣O1的正弦值．【解答】解：（1）連接O1A，∵平面O1PD∥平面OAQ，且平面O1PD∩平面AQO1P＝PO1，平面OAQ∩平面AQO1P＝AQ，∴PO1∥AQ，又DO1∥AO，∴∠PO1D＝∠QAO，又∠AOQ＝∠DO1P＝θ，∴∠PO1D＝∠QAO＝∠AOQ，得△AOQ為等邊三角形，則θ＝；（2）如圖，取的中點(diǎn)M，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OM、OO1所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），P，O1（0，0，2），，，，設(shè)平面POO1的法向量為，由，取x1＝1，得；設(shè)平面POA的法向量為，由，取y2＝2，得．設(shè)二面角A﹣PO﹣O1的平面角為α，則，∴．故二面角A﹣PO﹣O1的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的求法，考查等角定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱(chēng)p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱(chēng)條件p是q成立的充要條件，或稱(chēng)條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．3．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線(xiàn)的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線(xiàn)就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類(lèi)（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱(chēng)為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱(chēng)其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．5．平面的基本性質(zhì)及推論【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．①推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．②推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．③推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)．【解題方法點(diǎn)撥】1．公理1是判定直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．6．異面直線(xiàn)及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線(xiàn)所成的角：直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線(xiàn)a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線(xiàn)a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角．異面直線(xiàn)所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱(chēng)兩條異面直線(xiàn)互相垂直．2、求異面直線(xiàn)所成的角的方法：求異面直線(xiàn)的夾角關(guān)鍵在于平移直線(xiàn)，常用相似比，中位線(xiàn)，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線(xiàn)．3、求異面直線(xiàn)所成的角的方法常用到的知識(shí)：7．直線(xiàn)與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線(xiàn)與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線(xiàn)，只需在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)平行，就可判定這條直線(xiàn)必和這個(gè)平面平行．即由線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行．1、直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線(xiàn)面平行，過(guò)已知直線(xiàn)作一平面和已知平面相交，其交線(xiàn)必和已知直線(xiàn)平行．即由線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行．由線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都與已知直線(xiàn)平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線(xiàn)分成兩大類(lèi)，一類(lèi)與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類(lèi)與a異面，也有無(wú)數(shù)條．8．直線(xiàn)與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線(xiàn)與平面垂直：如果一條直線(xiàn)l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，那么就說(shuō)直線(xiàn)l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)l的垂面．直線(xiàn)與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線(xiàn)l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線(xiàn)．（2）判定定理1：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面．直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．9．空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、在x、y、z軸上的點(diǎn)分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣b，﹣c，）點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（﹣a，b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）10．空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線(xiàn)段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為||，||特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作；②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱(chēng)為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如的相反向量記為﹣．5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱(chēng)為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定與任何向量平行；②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共面向量；⑤一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類(lèi)似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿(mǎn)足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿(mǎn)足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：（2）結(jié)合律：．3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：（求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量．1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同；②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反；③當(dāng)λ＝0時(shí)，＝．④|λ|＝|λ|?||的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的|λ|倍．2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）結(jié)合律：注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如等無(wú)法計(jì)算．11．共線(xiàn)向量與共面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線(xiàn)向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量，記作．與任意向量是共線(xiàn)向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線(xiàn)向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量、（），的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得．（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量、不共線(xiàn)，則向量與向量、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使得．【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線(xiàn)問(wèn)題：（1）判定向量共線(xiàn)就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過(guò)化簡(jiǎn)、計(jì)算得出，從而．（2）表示與所在的直線(xiàn)平行或重合兩種情況．空間向量共面問(wèn)題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線(xiàn)共面問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中注意直線(xiàn)與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使．滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)，反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線(xiàn)問(wèn)題例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果與為共線(xiàn)向量，則（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共線(xiàn)向量的條件，推出比例關(guān)系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）與＝（1，﹣2y，9）共線(xiàn)，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線(xiàn)向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問(wèn)題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根據(jù)共面向量定理，說(shuō)明M、A、B、C共面，判斷選項(xiàng)的正誤．解答：由共面向量定理，說(shuō)明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線(xiàn)向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．12．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量、，在空間中任取一點(diǎn)O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作＜，＞．2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量、，則||||cos＜，＞叫做向量與的數(shù)量積，記作?，即?＝||||cos＜，＞（2）幾何意義：與的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積，或的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積．3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律和分配律．（1）交換律：＝λ（）＝?（）（2）分配律：．4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書(shū)寫(xiě)向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)，而不能用符號(hào)，也不能用（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)時(shí)，由＝0不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我粋€(gè)與垂直的非零向量，都有【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線(xiàn)夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以?xún)牲c(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式||＝求解即可．特別注意準(zhǔn)確求解已知兩向量之間的夾角大?。脭?shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對(duì)非零向量有意義，在證明或判斷時(shí)，須指明，；（2）證明兩直線(xiàn)的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線(xiàn)的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量，，的線(xiàn)性形式，然后利用數(shù)量積說(shuō)明兩直線(xiàn)的方向向量垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)垂直．【命題方向】求直線(xiàn)夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問(wèn)題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題都離不開(kāi)運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），則?＝﹣7分析：通過(guò)2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），∴＝（1，﹣3，1），∴?＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；故答案為：﹣7．點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．13．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量．2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{，，}表示．3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{，，}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以，，的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量，，都叫做坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面．4．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量＝，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得＝．把x，y，z稱(chēng)作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作＝（x，y，z）．【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見(jiàn)的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得，若存在，則假設(shè)成立；若不存在，則假設(shè)不成立．2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀(guān)察圖形：充分觀(guān)察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來(lái)．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒(méi)給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．14．向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語(yǔ)言描述共線(xiàn)向量（平行向量）表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線(xiàn)向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量，（≠0），∥?存在λ∈R，使＝λ．共面向量定理若兩個(gè)向量，不共線(xiàn)，則向量與向量，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使＝x+y．空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量、、c不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x+y+z．（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）?＝||||cos＜，＞；（2）⊥??＝0（，為非零向量）；（3）||2＝2，||＝．2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）向量和+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）向量差﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）數(shù)量積?＝a1b1+a2b2+a3b3共線(xiàn)∥?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）垂直⊥?a1b1+a2b2+a3b3