4.3.1一元線性回歸模型+課件-【基礎(chǔ)夯實與拓展提升】高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第二冊

課時15一元線性回歸模型新授課1.結(jié)合直線方程的性質(zhì)，了解回歸直線方程的性質(zhì)及模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用回歸模型對實際問題進(jìn)行預(yù)測.2.結(jié)合具體實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，會通過相關(guān)系數(shù)判斷樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.目標(biāo)一：結(jié)合直線方程的性質(zhì)，了解回歸直線方程的性質(zhì)及模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用回歸模型對實際問題進(jìn)行預(yù)測.

任務(wù)1：能結(jié)合直線方程的性質(zhì)分析回歸直線方程的性質(zhì).假設(shè)y與x具有相關(guān)關(guān)系，而且回歸直線方程為問題：(1)將

代入回歸直線方程，當(dāng)

時，

的值為多少？將

代入

后，整理可得當(dāng)

時，這說明回歸直線一定過點(2)一次函數(shù)

的單調(diào)性由誰決定？此函數(shù)的單調(diào)性與正相關(guān)、負(fù)相關(guān)之間有怎樣的聯(lián)系？一次函數(shù)

的單調(diào)性由

的符號決定，函數(shù)遞增的充要條件是

，這說明：y與x正相關(guān)的充要條件是

y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是(3)通過計算說明，當(dāng)x每增大一個單位時，

將如何變化？如果

和

都是回歸直線上的點，則①式減去②可得

，這就說明，若x2-x1=1，則即：當(dāng)x增大一個單位時，

增大

個單位.①②練一練已知x，y的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：x4567y344.55.5且這組數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析求得其回歸直線的斜率為0.8，則這組數(shù)據(jù)的回歸直線方程是()A.

B.C.

D.D

任務(wù)2：會用回歸模型對實際問題進(jìn)行統(tǒng)計推斷或結(jié)果解釋.例1

如果某位同學(xué)10次考試的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x如下表所示.已知y與x線性相關(guān)：(1)判斷正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；根據(jù)數(shù)據(jù)可作出散點圖，如圖所示.從圖上可以直觀地看出，y與x正相關(guān).(2)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；將每個x的值都減去80可得-4，2，-8，7，13，-2，9，-14，1，-4.這些數(shù)字的平均數(shù)為0，因此將每個y的值都減去80可得0，7，-5，6，20，-1，13，-12，5，-3.這些數(shù)字的平均數(shù)為3，因此通過列表計算可得因此回歸直線方程為(3)該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績每提高3分，物理成績估計能提高多少分？由回歸系數(shù)

可知，x每增大1個單位時，

增大1.1個單位.因此，數(shù)學(xué)成績每提高3分，物理成績估計能提高的分值為1.1×3=3.3.歸納總結(jié)求線性回歸方程的步驟：(1)畫出散點圖．從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系．(2)計算

等相關(guān)數(shù)據(jù)．(3)代入公式求出

中參數(shù)

的值．(4)寫出回歸方程并對實際問題作出估計．練一練某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力．(1)把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點圖．如圖所示：故線性回歸方程為(3)由回歸直線方程，當(dāng)x=9時，

，所以預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4．目標(biāo)二：結(jié)合直線方程的性質(zhì)，了解回歸直線方程的性質(zhì)及模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用回歸模型對實際問題進(jìn)行預(yù)測.

任務(wù)1：結(jié)合具體實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.如下是某班級學(xué)生數(shù)學(xué)成績與英語成績的對應(yīng)表.問題：(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出散點圖，如圖1，與圖2對比，相較這個班級的數(shù)學(xué)和物理成績而言，哪兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系更強(qiáng)呢？圖1圖2直觀上可以看出，相對于數(shù)學(xué)成績與物理成績來說，數(shù)學(xué)成績與英語成績之間線性相關(guān)關(guān)系要弱一些.(2)通過散點圖可以直觀判斷兩個變量的相關(guān)程度，但是無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小.那該怎樣來刻畫兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱呢？提示：以

為原點，建立新的平面直角坐標(biāo)系x′O′y′，若如果y與x正相關(guān)，則回歸直線經(jīng)過哪幾個象限？此時點的分布有何特點？如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，作出成對數(shù)據(jù)的散點圖以及回歸直線，并且標(biāo)出點

，以

為原點，建立新的平面直角坐標(biāo)系x′O′y′，則回歸直線在x′O′y′中是過原點的，而且：如果y與x正相關(guān)，則回歸直線過x′O′y′的一、三象限；如果y與x負(fù)相關(guān)，則回歸直線過x′O′y′的二、四象限.因此，從直觀上可知，如果y與x正相關(guān)(或負(fù)相關(guān))，那么成對數(shù)據(jù)中，在x′O′y′的一、三象限(或二、四象限)內(nèi)的點越多，y與x的線性相關(guān)關(guān)系可能會越強(qiáng).(xi，yi)在x′O′y′中的坐標(biāo)為

，若點在一、三象限，則若點在二、四象限，則因此可用含有

的量來判定y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.思考：分別計算出下列兩組成對數(shù)據(jù)所對應(yīng)的量

的結(jié)果，作出兩組成對數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，由此你能得出什么結(jié)論？兩者數(shù)據(jù)相差較大.根據(jù)上述兩組成對數(shù)據(jù)得散點圖及回歸直線方程如下，(1)(2)由圖可知，它們的線性相關(guān)程度差不多.因此直接用

來衡量y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱并不合適.新知講解

注意到現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)，由于度量對象和單位的不同等，數(shù)值會有大有小，為了去除這些因素的影響，統(tǒng)計學(xué)里一般用相關(guān)系數(shù)來衡量y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，這里的r稱為線性相關(guān)系數(shù)(簡稱為相關(guān)系數(shù)).問題2：結(jié)合散點圖，相關(guān)系數(shù)r的大小與兩個變量的線性相關(guān)程度有什么關(guān)系呢？相關(guān)系數(shù)r具有哪些性質(zhì)？r1≈0.21

r2≈0.73r3≈-0.97歸納總結(jié)可以證明，相關(guān)系數(shù)r具有以下性質(zhì)：(1)y與x正相關(guān)的充要條件是r>0；y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是r<0(2)|r|≤1.當(dāng)|r|越接近1時成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)|r|越接近0時成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.(3)當(dāng)|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上.在統(tǒng)計學(xué)中，通常認(rèn)為當(dāng)0.75≤|r|≤1時，兩個變量有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

任務(wù)2：結(jié)合具體實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.例1某人工智能公司從某年起7年的利潤情況如下表所示.(1)計算出y與x之間的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸直線方程，分別預(yù)測該人工智能公司第8年和第9年的利潤.(1)可求得

列表計算得(2)在回歸方程中令x=8，得所以預(yù)測第8年的利潤為6.3億元.類似地，可預(yù)測第9年的利潤為6.8億元.回歸直線方程為因此歸納總結(jié)利用線性回歸分析方法解決實際問題的基本步驟是：(1)判斷變量y與x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)若可能具有線性相關(guān)關(guān)系，則計算相關(guān)系數(shù)，衡量其線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；(3)根據(jù)公式求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(4)依據(jù)回歸直線方程做出統(tǒng)計推斷或結(jié)果解釋.練一練

隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2018年1-8月促銷費用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù)：月份12345678促銷費用x2361013211518產(chǎn)品銷量y11233.5544.5

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明(系數(shù)精確到0.001)；

(2)建立y關(guān)于x的線性回歸方程

(系數(shù)精確到0.001)；如果該公司計劃在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測至少需要投入費用多少萬元(結(jié)果精確到0.01)參考數(shù)據(jù)：

其中xi、yi分別為第i個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量，i=1，2，3，...，8．解：(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖如下，從散點圖可以看出這些點大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；計算∴相關(guān)系數(shù)由相關(guān)系數(shù)的值接近于1，說明變量y與x