【數(shù)學(xué)】黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試試題（解析版）

黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合R，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得；又，所以.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】原命題的否定是：，.故選：B.3.若角的終邊上有一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意結(jié)合三角函數(shù)定義得，解得.故選：D.4.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍），所以時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得，作和圖象如下，所以時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C.5.已知，則，且與，且的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，若，則，排除C，若，則，排除AB.故選：D.6.設(shè)，命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，即命題的充要條件為，所以命題是命題的充分不必要條件.故選：A.7.2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功入軌.這次任務(wù)是我國(guó)載人航天工程進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務(wù)，是工程立項(xiàng)實(shí)施以來(lái)的第30次發(fā)射任務(wù)，也是長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的第493次飛行.設(shè)火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為，當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，則火箭的最大速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，火箭的最大速度為，則，又當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí)，該火箭的最大速度為；所以，解得，所以，令，則，.故選：C.8.已知函數(shù)，，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，又，，使成立，即，所以，使，即在上的最大值，即，解得或，又，所以.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9.已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，C，由，令，則，，故A，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，所以，故B正確；對(duì)于D，由，得，，，所以，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)值域?yàn)锽.函數(shù)是增函數(shù)C.不等式的解集為D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令，又因?yàn)樵谏线f增，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域?yàn)镽，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，，所以為奇函?shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價(jià)于即，等價(jià)于，解得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榍遥裕蔇正確.故選：ACD.12.定義在上的函數(shù)，對(duì)，均有，當(dāng)時(shí)，，令，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)，均有，令可得，所以，則，故A正確；，可令得，所以，則，故B不正確；令，可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以，故，所以，所以，則，故C不正確；令，得，則，，以此類推可得：，所以，故D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的橫線上.13.函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)又在冪函數(shù)的圖象上，則__________.【答案】4【解析】由，得，所以定點(diǎn)，設(shè)，又，得，所以，所以.故答案為：4.14.若扇形的周長(zhǎng)為，面積為，圓心角為，則__________.【答案】【解析】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，扇形的面積為，由得，或，又因，所以.故答案為：.15.若關(guān)于的不等式恰有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，由圖像可知沒(méi)有整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，因?yàn)榍∮袀€(gè)整數(shù)解，所以是不等式的整數(shù)解，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.用表示中的較大者，記為.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意設(shè)，由此可知的對(duì)稱軸均為，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，由此可以畫(huà)出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：所以，所以直線與函數(shù)至多有4個(gè)不同的交點(diǎn)，關(guān)于的方程至多有2個(gè)不同的根，由題意若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)關(guān)于的方程共有8個(gè)不同的根，其中，是關(guān)于方程的兩個(gè)根，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，即有兩個(gè)不同的根，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，所以有兩個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?解答過(guò)程或演算步驟.17.已知角滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）原式，，，原式.（2），且，，.18.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），且，，，當(dāng)時(shí)，，.（2），由（1）知，又，則當(dāng)，即時(shí)，，要使，則，得，當(dāng)，即時(shí)，，滿足，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù).（1）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由可知，是上的增函數(shù)，證明：設(shè)，且，則，在上單調(diào)遞增，且，，即，又，，，即，當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，是上的增函數(shù).（2）法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)，對(duì)，由得，，即，，存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù).法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)，的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則，存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù).20.果園占地約畝，擬選用果樹(shù)進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹(shù)每畝最多可種植棵，種植成本（萬(wàn)元）與果樹(shù)數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示：（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；（2）已知該果園的年利潤(rùn)（萬(wàn)元）與，的關(guān)系為，則果樹(shù)數(shù)量為多少時(shí)年利潤(rùn)最大？解：（1）①若選擇作為與的函數(shù)模型：將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別帶入，得，解得，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所得數(shù)據(jù)分別與表格中的和相差較大；②若選擇作為與的函數(shù)模型：將，的坐標(biāo)分別帶入，得，解得，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所得數(shù)據(jù)分別與表格中的和相符合，綜上所述，比更適合作為與的函數(shù)模型.（2）由題意，該果園最多可種棵該品種果樹(shù)，故，由（1）知，需選用的與的模型為，，令，，，，，當(dāng)，即時(shí)，（萬(wàn)元），又，當(dāng)果樹(shù)數(shù)量為百棵（每畝約棵）時(shí)，年利潤(rùn)最大.21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）解關(guān)于的不等式.解：（1）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，又，，即，聯(lián)立，解得.（2）原不等式，令，是奇函數(shù)，，即，解得，，解得，原不等式的解集為.22.已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）判斷函數(shù)在上單調(diào)性（不必證明）；（2）求證：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，且；（3）在（2