小波分析期末報(bào)告

學(xué)習(xí)報(bào)告——基于小波分析的去噪應(yīng)用專業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)班級(jí)：數(shù)學(xué)二班學(xué)號(hào)：152111033姓名：劉楠楠小波分析是傳統(tǒng)傅里葉分析開展史上里程碑式的開展，近年來成為眾多學(xué)科共同關(guān)注的熱點(diǎn)，本篇報(bào)告在小波變換的根底上將其應(yīng)用于信號(hào)去噪中，利用小波方法去噪，是小波分析應(yīng)用于實(shí)際的重要方面。小波去噪的關(guān)鍵是如何選擇閾值和如何利用閾值來處理小波系數(shù)，通過對(duì)幾種去噪方法不同閥值的選取比對(duì)分析和基于MATLAB信號(hào)去噪的仿真試驗(yàn)，比擬各種閥值選取隊(duì)去噪效果的影響。小波分析同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。它與Fourier變換、窗口Fourier變換(Gabor變換)相比，是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析(MultiscaleAnalysis)解決了Fourier變換不能解決的許多問題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡〞，它是調(diào)和分析開展史上里程碑式的進(jìn)展。1小波變換理論1.1小波變換的定義設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，假設(shè)其Fourier變換滿足條件：〔1.1〕那么稱為一個(gè)根本小波、母小波或者容許小波，我們稱式〔1〕為小波函數(shù)的可容許條件。表示滿足的函數(shù)空間。更一般地，表示滿足的函數(shù)空間。1.2連續(xù)小波變換1.2.1一維連續(xù)小波變換定義：設(shè)，其傅立葉變換為，當(dāng)滿足允許條件〔完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件〕(1.2)時(shí)，我們稱為一個(gè)根本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得(1.3)稱其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為(1.4)其重構(gòu)公式〔逆變換〕為(1.5)由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件(1.6)故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，在原點(diǎn)必須等于0，即(1.7)為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件：(1.8)式中從穩(wěn)定性條件可以引出一個(gè)重要的概念。定義〔對(duì)偶小波〕假設(shè)小波滿足穩(wěn)定性條件〔1.8〕式，那么定義一個(gè)對(duì)偶小波，其傅立葉變換由下式給出：〔1.9〕注意，穩(wěn)定性條件〔1.8〕式實(shí)際上是對(duì)〔1.9〕式分母的約束條件，它的作用是保證對(duì)偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個(gè)小波的對(duì)偶小波一般不是唯一的，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，我們又總是希望它們是唯一對(duì)應(yīng)的。因此，尋找具有唯一對(duì)偶小波的適宜小波也就成為小波分析中最根本的問題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：〔1〕線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和〔2〕平移不變性：假設(shè)f〔t〕的小波變換為，那么的小波變換為〔3〕伸縮共變性：假設(shè)f〔t〕的小波變換為，那么f〔ct〕的小波變換為，〔4〕自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的?！?〕冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。小波變換的冗余性事實(shí)上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號(hào)f〔t〕的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。②小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇〔例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的〕。小波變換在不同的〔a，b〕之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。1.2.2二維連續(xù)小波變換對(duì)，公式(1.10)存在幾種擴(kuò)展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ，〔1.11〕并且其相容性條件變?yōu)椤?.12〕對(duì)所有的?！?.13〕這里，=〈〉，，其中且，公式〔2.6〕也可以寫為〔1.14〕如果選擇的小波不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴(kuò)展與平移。例如，在二維時(shí)，可定義〔1.15〕這里，，，相容條件變?yōu)椤?.16〕該等式對(duì)應(yīng)的重構(gòu)公式為〔1.17〕對(duì)于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。1.3離散小波變換在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量t的。這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)：這里，，且，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?1.18)通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長(zhǎng)是固定值，為方便起見，總是假定〔由于m可取正也可取負(fù)，所以這個(gè)假定無關(guān)緊要〕。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫作〔1.19〕而離散化小波變換系數(shù)那么可表示為〔1.20〕其重構(gòu)公式為〔1.21〕C是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。然而，怎樣選擇和，才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密〔即和盡可能小〕，因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。2小波變換在去噪中的應(yīng)用2.1小波去噪的特點(diǎn)傳統(tǒng)的去噪方法常使用Fourier變換去噪，將含噪信號(hào)變換到頻域，然后采用低通濾波器進(jìn)行濾波，但是基于Fourier變換的去噪方法存在著保護(hù)信號(hào)局部性和抑制噪聲之間的矛盾。Fourier變換去噪不能有效的將噪聲與有用信號(hào)的高頻局部和有噪聲引起的高頻干擾加以有效的區(qū)分開來。這就使得我們?cè)谘芯啃盘?hào)去噪上注意到小波的好處，小波去噪可以很好的保護(hù)有用信號(hào)的尖峰和突變局部的信號(hào)。小波分析提供了一種自適應(yīng)的時(shí)域和頻域同時(shí)局部化的多分辨率分析方法，可以很好的刻畫信號(hào)的非平穩(wěn)特性。根據(jù)噪聲和信號(hào)的小波系數(shù)在小波分解尺度上具有不同的特性，構(gòu)造相應(yīng)的規(guī)那么，在小波域采用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)含噪信號(hào)的小波系數(shù)進(jìn)行處理。具有以下優(yōu)點(diǎn)：〔1〕小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域(提供了一個(gè)數(shù)學(xué)上完備的描述)；〔2〕小波變換通過選取適宜的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性；〔3〕小波變換具有“變焦〞特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率(寬分析窗口)，在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率(窄分析窗口)〔4〕小波變換實(shí)現(xiàn)上有快速算法(Mallat小波分解算法)。2.2小波去噪的相關(guān)算法一、建立模型：如果一個(gè)信號(hào)被噪聲污染后為，那么根本的噪聲模型就可以表示為，式中：為噪聲；為噪聲強(qiáng)度。最簡(jiǎn)單的情況下為高斯白噪聲，且。小波變換就是要抑制以恢復(fù)，從而到達(dá)去除噪聲的目的。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，這個(gè)模型是一個(gè)隨時(shí)間推移的回歸模型，也可以看作是在正交基上對(duì)函數(shù)無參估計(jì)。小波去噪通常通過以下3個(gè)步驟予以實(shí)現(xiàn)：a)小波分解；b)設(shè)定各層細(xì)節(jié)的閾值，對(duì)得到的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理；c)小波逆變換重構(gòu)信號(hào)。小波去噪的結(jié)果取決于以下2點(diǎn)：a)去噪后的信號(hào)應(yīng)該和原信號(hào)有同等的光滑性；b)信號(hào)經(jīng)處理后與原信號(hào)的均方根誤差越小，信噪比越大，效果越好。如何選擇閾值和如何利用閾值來量化小波系數(shù)，將直接影響到小波去噪結(jié)果。二、小波系數(shù)的閾值處理：1．由原始信號(hào)確定閾值小波變換中，對(duì)各層系數(shù)降噪所需的閾值一般是根據(jù)原信號(hào)的信噪比來決定的。在模型里用這個(gè)量來表示，可以使用MATLAB中的wnoisest函數(shù)計(jì)算得到值，得到信號(hào)的噪聲強(qiáng)度后，根據(jù)下式來確定各層的閾值。式中n為信號(hào)的長(zhǎng)度。2.基于樣本估計(jì)的閾值選取〔1〕無偏似然估計(jì)(rigrsure)：是一種基于Stein無偏似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對(duì)于給定的閾值T，得到它的似然估計(jì)，再將似然T最小化，就得到了所選的閾值，這是一種軟件閾值估計(jì)?！?〕閾值原那么(sqtwlolg)：固定閾值T的計(jì)算公式為?！?〕啟發(fā)式閾值原那么(heursure)：是無偏似然估計(jì)和固定閾值估計(jì)原那么的折中。如果信噪比很小，按無偏似然估計(jì)原那么處理的信號(hào)噪聲較大，在這種情況下，就采用固定閾值形式。〔4〕極值閾值原那么(minimax)：采用極大極小值原理選擇閾值，它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值，而不是沒有誤差。統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種極值原理用來設(shè)計(jì)估計(jì)器。因?yàn)楸幌氲男盘?hào)可以看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)器相似，這種極值估計(jì)器可在給定的函數(shù)中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。3.軟閾值和硬閾值在確定閾值后，可以采用硬閾值或軟閾值的處理方法對(duì)小波系數(shù)做閾值處理。硬閾值法只保存大于閾值的小波系數(shù)并將其他的小波系數(shù)置零，其表達(dá)式如下：軟閾值法將小于閾值的小波系數(shù)置零，并把大于閾值的小波系數(shù)向零做收縮，其表達(dá)式如下：2.3小波去噪的具體實(shí)例例1給定函數(shù)作為原始信號(hào)，然后加一組隨機(jī)噪聲，然后分別選取不同閥值對(duì)信號(hào)用小波以為信號(hào)的自動(dòng)消噪進(jìn)行去噪處理。采用的小波為sym8，分解層數(shù)為5，小波函數(shù)為wden。這里只分析不同閥值系數(shù)硬閥值去噪，程序如下：x=0:0.01:3;f=exp(-x).*cos(10*x);%原始信號(hào)函數(shù)subplot(3,2,1);plot(f);title('原始信號(hào)圖形');%畫出原始信號(hào)圖形noise=0.2*randn(size(f));f1=f+noise;%噪聲信號(hào)subplot(322)plot(f1);title('加噪后語(yǔ)音圖像')lev=5;%對(duì)f1用sym8小波分解到第五層，并對(duì)高頻系數(shù)用heusure硬閥值xd=wden(f1,'heursure','h','one',lev,'sym8');subplot(323)plot(xd);title('用heusure硬閥值去噪后圖像')D=f-xd;MSE=sqrt(sum(D(:).*D(:))/prod(size(f)))%均方根誤差PSNR=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D(:).*D(:)))%信噪比%用rigrsure閥值對(duì)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差單車估計(jì)，并降噪xd1=wden(f1,'rigrsure','h','one',lev,'sym8');subplot(324)plot(xd1);title('用rigrsure硬閥值去噪后圖像')D1=f-xd1;MSE1=sqrt(sum(D1(:).*D1(:))/prod(size(f)))%均方根PSNR1=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D1(:).*D1(:)))%信噪比%用sqtwolog閥值對(duì)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差單車估計(jì)，并降噪xd2=wden(f1,'sqtwolog','h','sln',lev,'sym8');subplot(325)plot(xd2);title('用sqtwolog硬閥值去噪后圖像')D2=f-xd2;MSE2=sqrt(sum(D2(:).*D2(:))/prod(size(f)))%均方根PSNR2=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D2(:).*D2(:)))%信噪比%用minimaxi閥值對(duì)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差單車估計(jì)，并降噪xd3=wden(f1,'minimaxi','h','sln',lev,'sym8');subplot(326)plot(xd3);title('用minimaxi硬閥值去噪后圖像')D3=f-xd3;MSE3=sqrt(sum(D3(:).*D3(:))/prod(size(f)))%均方根PSNR3=10*log10(sum(f(:).*f(:))/sum(D3(:).*D3(:)))%信噪比從圖中可看出，對(duì)硬閥值去噪minimaxi閥值的效果最差，為了更精確的表示去噪效果，可以通過信噪比和均方差來分析，信號(hào)的信噪比越高，原始信號(hào)和去噪信號(hào)的均方根誤差越小，去噪信號(hào)就越接近原信號(hào)，去噪的效果也就越好。例2本案例是對(duì)RGB圖像進(jìn)行多尺度分解然后重構(gòu)。內(nèi)容涉及數(shù)字圖像的程序載入、圖像顯示、格式轉(zhuǎn)換、wavedec2函數(shù)以及wrcoef2函數(shù)等用法。小波分析程序?qū)崿F(xiàn)的核心在于將原始數(shù)據(jù)或圖片以及視頻文件進(jìn)行分解，對(duì)分解后的分量進(jìn)行復(fù)雜的預(yù)處理，然后反變換合成。本例采用了像素大小不同的兩幅圖，程序如下：%從D盤讀入原始RGB圖像X0=imread('d:\butterfly.jpg');X=rgb2gray(X0);%將真彩色圖像轉(zhuǎn)換成灰度圖像因?yàn)檎娌噬珗D像是三維數(shù)據(jù)[c,s]=wavedec2(X,4,'sym5');%重構(gòu)尺度1~4的低頻局部a1=wrcoef2('a',c,s,'sym5',1);a2=wrcoef2('a',c,s,'sym5',2);a3=wrcoef2('a',c,s,'sym5',3);a4=wrcoef2('a',c,s,'sym5',4);%繪制尺度1~4的圖形,并隱藏邊框和坐標(biāo)軸subplot(4,2,1);image(a1);title('1尺度低頻');boxoff;axisoff;subplot(4,2,2);image(a2);title('2尺度低頻');boxoff;axisoff;subplot(4,2,3);image(a3);title('3尺度低頻');boxoff;axisoff;subplot(4,2,4);image(a4);title('4尺度低頻');boxoff;axisoff;%重構(gòu)尺度為1時(shí)的高頻各分量hd1=wrcoef2('h',c,s,'sym5',1);%重構(gòu)尺度為1時(shí)的水平方向上的高頻分量vd1=wrcoef2('v',c,s,'sym5',1);%重構(gòu)尺度為1時(shí)的垂直方向上的高頻分量dd1=wrcoef2('d',c,s,'sym5',1);%重構(gòu)尺度為1時(shí)的對(duì)角方向上的高頻分量%重構(gòu)尺度為2時(shí)的高頻各分量hd2=wrcoef2('h',c,s,'sym5',2);%重構(gòu)尺度為2時(shí)的水平方向上的高頻分量vd2=wrcoef2('v',c,s,'sym5',2);%重構(gòu)尺度為2時(shí)的垂直方向上的高頻分量dd2=wrcoef2('d',c,s,'sym5',2);%重構(gòu)尺度為2時(shí)的對(duì)角方向上的高頻分量%重構(gòu)尺度為3時(shí)的高頻各分量hd3=wrcoef2('h',c,s,'sym5',3);%重構(gòu)尺度為3時(shí)的水