貝葉斯公式的推廣與應(yīng)用

貝葉斯公式的推廣與應(yīng)用答辯人：王李鵬班級(jí)：統(tǒng)計(jì)101指導(dǎo)老師：郭松濤2014.06.06數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2014屆畢業(yè)論文答辯2論文主要內(nèi)容

第三章貝葉斯公式的推廣

第一章引言

第二章貝葉斯公式的詳解及其不同形式

第四章貝葉斯公式的應(yīng)用

第五章結(jié)論分析3第一章引

言貝葉斯公式是概率論中最重要的公式之一，它是在事件已發(fā)生的條件下，去尋找導(dǎo)致事件發(fā)生的每個(gè)原因的概率。研究的依據(jù)與意義在學(xué)習(xí)貝葉斯公式之前應(yīng)有針對(duì)性地理解貝葉斯公式的客觀背景以及公式內(nèi)涵和公式蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，這對(duì)于有助于完成由已知的加法公式和乘法公式到建立貝葉斯公式的思維過程。同時(shí)也對(duì)于解決實(shí)際問題有重要的意義。4第二章貝葉斯公式的詳解及其不同形式公式的一般定義公式的不同形式5公式一般定義貝葉斯公式：設(shè)

個(gè)事件

是樣本空間的一個(gè)劃分，是一個(gè)事件。當(dāng)，且

，則有此式稱為貝葉斯公式，也叫逆概率公式。6公式的不同形式隨機(jī)變量形式的貝葉斯公式于是設(shè)是離散型隨機(jī)變量，其取值分別為1.針對(duì)離散型隨機(jī)變量的貝葉斯公式7公式的不同形式2.針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的貝葉斯公式設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，為聯(lián)合概率密度，分別為的邊緣密度，分別為時(shí)的條件密度和時(shí)的的條件密度，于是8公式的不同形式3.針對(duì)混合型隨機(jī)變量的貝葉斯公式設(shè)是離散型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量，于是可以得到混合型隨機(jī)變量的貝葉斯公式為9公式的不同形式設(shè)為一完備事件組，在事件中的發(fā)生的條件下，事件

發(fā)生的概率可以寫成如下貝葉斯公式的矩陣形式10公式的不同形式11

第三章貝葉斯公式的推廣貝葉斯公式的一般推廣貝葉斯公式的廣義推廣12貝葉斯公式的一般推廣1.兩個(gè)隨機(jī)過程無關(guān)的貝葉斯公式

設(shè)和是先后兩個(gè)試驗(yàn)過程中的一個(gè)劃分，為目標(biāo)事件，當(dāng)

，則有貝葉斯推廣公式13貝葉斯公式的一般推廣貝葉斯公式的一般推廣2.兩個(gè)隨機(jī)過程相關(guān)的貝葉斯公式

設(shè)為樣本空間的一個(gè)劃分，且，對(duì)每個(gè)為都存在一個(gè)劃分且為目標(biāo)事件，則有

15貝葉斯公式的一般推廣例1設(shè)有三個(gè)大盒子，每個(gè)大盒子中有三個(gè)小盒子，每個(gè)大盒子中的第一個(gè)小盒子中分別裝有1個(gè)紅球，3個(gè)白球；第二小盒中分別裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；第三個(gè)小盒中裝有3個(gè)紅球，1個(gè)白球。假設(shè)取第一個(gè)大盒子的概率為1/2，取第二、第三大盒子中的概率都為1/4，在取定某個(gè)大盒時(shí)，取其中第一小盒概率是1/2，取第二、第三小盒子概率均為1/4。今任取一個(gè)大盒，再從中任取一小盒，從此小盒中任取一球。問：(1)若已知取的球?yàn)榧t球，問此球是第一個(gè)大盒的概率。(2)若已知取的球?yàn)榧t球，問此球是第一個(gè)大盒中第二小盒的概率。16解：設(shè)分別表示從第一、二、三大盒中取球的事件，表示取紅球的事件，表示從第個(gè)大盒中取第個(gè)小盒，，則由題意得貝葉斯公式的一般推廣由定理3得17貝葉斯公式的廣義推廣1.廣義貝葉斯公式設(shè)為的一個(gè)劃分，個(gè)事件中任意事件

都只能與中的一個(gè)同時(shí)發(fā)生，若有且，則有

18貝葉斯公式的廣義推廣2.二重廣義貝葉斯公式設(shè)為的一個(gè)劃分，且對(duì)每個(gè)都存在一個(gè)子劃分，且

，若對(duì)于任意的事件組

中的一事件只能與中之一同時(shí)發(fā)生，則對(duì)任意事件有19第四章貝葉斯公式的應(yīng)用貝葉斯公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用技巧貝葉斯公式在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用貝葉斯公式在生活中的應(yīng)用20貝葉斯公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用技巧1.貝葉斯公式的兩個(gè)前提假定（1）人們可以得到先驗(yàn)概率以及原因與結(jié)果直接的確切關(guān)系。（2）前定事件是不會(huì)改變的，也即是在對(duì)事件

觀測(cè)的前后，公式中的完備事件組是確定的、唯一的、不變的。21貝葉斯公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用技巧2.尋找完備事件組的方法（1）從第一個(gè)試驗(yàn)入手，分解其樣本空間，找出完備事件組。（2）從事件發(fā)生的兩兩互不相容的諸原因?qū)ふ彝陚涫录M。貝葉斯公式在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用當(dāng)今概率統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)息息相關(guān)，幾乎任何一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究、決策都離不開它的應(yīng)用。實(shí)踐證明，概率統(tǒng)計(jì)是對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題進(jìn)行量的研究的有效工具，為經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和決策提供了新的手段。在本論文中我們通過舉例說明貝葉斯公式在營銷信譽(yù)度、產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督等方面有重要作用，并且還建立了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的貝葉斯模型。23貝葉斯公式在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問題建立如下貝葉斯模型={已知的試驗(yàn)結(jié)果}={原因發(fā)生}其中相互獨(dú)立，則出現(xiàn)時(shí)原因的可能性：其中是原因發(fā)生的概率，表示在原因發(fā)生的條件下，結(jié)果出現(xiàn)的概率。24貝葉斯公式在生活中的應(yīng)用人們?cè)谏钪械男袆?dòng)總是受各種各樣信息的影響而產(chǎn)生變化，比如在2011年受日本大地震影響，中國部分地區(qū)發(fā)生“搶鹽”現(xiàn)象，目前社會(huì)上出現(xiàn)的“老人倒地?zé)o人敢扶”現(xiàn)象等等，這些都可以通過貝葉斯公式給出合理的解釋。貝葉斯公式在生活中有非常廣泛的應(yīng)用，本論文就醫(yī)生匯診問題、“試行”決定等說明貝葉公式在生活中有廣泛的應(yīng)用。25

例2用某試驗(yàn)普查某種疾病，比如檢查是否患有肺癌，令={被檢查者患肺癌}，={某人做此實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈陽性}，={被檢查者未患肺癌}，={某人做此實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈陰性}，資料表明，，又已知某地區(qū)居民的肺癌發(fā)病率

，在普查中查出一批對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果呈陽性的人，求這批人中真正患肺癌的概率。解：由已知條件由貝葉斯公式可得

貝葉斯公式在生活中的應(yīng)用26

由此可見，對(duì)此實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈陽性的人，其中真正患肺癌的概率還是很小的，只有0．087，似乎準(zhǔn)確性還是很低的。但是相對(duì)于先驗(yàn)概率來說，后驗(yàn)概率還是增大了很多倍，此時(shí)為了確診，可以利用進(jìn)一步的診斷方法進(jìn)行診斷排查。同理，利用貝葉斯公式可得對(duì)此實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈陰性的人患肺癌的概率是

，按照概率中的實(shí)際推斷原理，對(duì)此實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈陰性的人基本可以排除患肺癌的可能性。貝葉斯公式在生活中的應(yīng)用27第五章結(jié)論分析這篇文章主要對(duì)貝葉斯公式進(jìn)行了推廣與應(yīng)用。本文的亮點(diǎn)有比較全面的歸納了貝葉斯公式的不同的表達(dá)形式，包括有隨機(jī)事件形式的貝葉斯公式、隨機(jī)變量形式的貝葉斯公式和矩陣形式的貝葉斯公式，其中隨機(jī)變量