小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)試題行程問(wèn)題(北大奧數(shù)卷)

小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)試題：行程問(wèn)題（北大奧數(shù)卷）在人們的生活中離不開(kāi)“行”，“行”中有三個(gè)重要的量：路程、速度、時(shí)間。研究這三個(gè)量的典型應(yīng)用題叫做行程問(wèn)題。這三個(gè)量之間的關(guān)系可以用下面的公式來(lái)表示：路程=速度×?xí)r間速度=路程÷時(shí)間時(shí)間=路程÷速度相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是行程問(wèn)題的兩個(gè)重要的類(lèi)型。相遇問(wèn)題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過(guò)程中相向而行，然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：總路程=速度和×相遇時(shí)間追及問(wèn)題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過(guò)程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：路程差=速度差×追及時(shí)間例1姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車(chē)以每分鐘240米的速度從學(xué)校往家中騎，經(jīng)過(guò)幾分鐘妹妹可以追上姐姐？分析：經(jīng)過(guò)12分鐘，姐姐到達(dá)A地，妹妹騎車(chē)回家。如下圖所示：從圖中可以看出妹妹從出發(fā)到追上姐姐這段時(shí)間里，妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12分鐘所走的路程，也就是妹妹與姐姐的路程差。有了路程差，再求出速度差，根據(jù)追及問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式追及時(shí)間=路程差÷速度差就可求出妹妹追上姐姐的時(shí)間。解答：妹妹與姐姐的路程差80×12=960（千米）妹妹與姐姐的速度差240-80=160（千米）妹妹追上姐姐的時(shí)間960÷160=6（分）答：經(jīng)過(guò)6分鐘妹妹追上姐姐。例2一輛公共汽車(chē)和一輛小轎車(chē)同時(shí)從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車(chē)每小時(shí)行35千米，小轎車(chē)每小時(shí)行55千米，幾小時(shí)后兩車(chē)相距90千米？分析：兩車(chē)從相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車(chē)相距90千米。如下圖這時(shí)兩車(chē)共行的路程為360－90=270（千米）值得注意的是，當(dāng)兩車(chē)相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車(chē)之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車(chē)再一次相距90千米。如下圖所示從圖中可知，這時(shí)兩車(chē)共行的路程為360+90=450（千米）根據(jù)相遇問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式相遇時(shí)間=總路程÷速度和所求的問(wèn)題就可以解答。解答：相遇前（360－90）÷（35+55）=270÷90=3（時(shí)）相遇后（360+90）÷（35+55）=450÷90=5（時(shí)）答：兩車(chē)在出發(fā)后3小時(shí)相距90千米，在出發(fā)后5小時(shí)再一次相距90千米。說(shuō)明：本題中兩車(chē)沒(méi)有相遇，從表面上看雖然不是相遇問(wèn)題，但是兩車(chē)所有的時(shí)間是相同的，因此可以當(dāng)做相遇問(wèn)題來(lái)解答。例3兄弟兩人騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時(shí)行15千米，弟弟每小時(shí)行10千米。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后哥哥因事返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽擱了1小時(shí)，然后動(dòng)身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時(shí)，距學(xué)校多少千米？分析：本題可以分段考慮，從開(kāi)始一步步分析。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后，哥哥因事返回學(xué)校，在這個(gè)過(guò)程中哥哥和弟弟各行了1小時(shí)，到學(xué)校后哥哥又耽擱了1小時(shí)，這時(shí)弟弟又行了1小時(shí)。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追弟弟時(shí)，弟弟共行了2小時(shí)，弟弟2小時(shí)所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追及時(shí)間。解答：哥哥從學(xué)校開(kāi)始追弟弟的路程差10×（0.5×2+1）=20（千米）哥哥追上弟弟的時(shí)間20÷（15－10）=4（時(shí)）哥哥在追上弟弟時(shí)離學(xué)校的距離15×4=60（千米）答：哥哥在追上弟弟時(shí)離學(xué)校60千米。例4小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫(huà)圖如下從圖中可知，小張、小明兩人第一次相遇時(shí)，共行的路程即是甲、乙兩地之間的距離，這時(shí)，小張行了40米。當(dāng)他們第二次相遇時(shí)，小張行了甲、乙間距離還多15米，小明行了兩個(gè)甲、乙間距離少15米，合起來(lái)兩個(gè)人共行了甲、乙間距離的3倍。因此小張從出發(fā)到第二次相遇所行的路程應(yīng)是他從出發(fā)到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他從出發(fā)到第二次相遇所行的路程。又知這段路程比甲、乙間距離多15米，甲、乙間距離就可求出了。解答：小張從出發(fā)到第二次相遇所行的路程40×3=120（米）甲、乙間距離120－15=105（米）答：甲、乙兩地相距105米。例5在周長(zhǎng)為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車(chē)同時(shí)同向出發(fā)（順時(shí)針）沿圓周行駛，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，甲第二次追上乙？開(kāi)始兩車(chē)相距多遠(yuǎn)，客車(chē)在超過(guò)貨車(chē)前2分鐘，兩車(chē)相距的路程是不變的。本題還要注意單位的互化。5．甲乙兩人騎車(chē)同時(shí)從南北兩地相向而行，甲每小時(shí)行23千米，乙每小時(shí)行18千米，兩人在距兩地中點(diǎn)10千米處相遇，南北兩地相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫(huà)圖如下從圖中可以看出，甲走了南北距離的一半多10千米，乙走了南北距離的一半少10千米。從出發(fā)到相遇，甲比乙多走了兩個(gè)10千米。又已知甲每小時(shí)比乙多行23－18=5（千米）多少小時(shí)后甲就比乙多行20千米？這個(gè)時(shí)間就是甲乙相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，南北兩地的距離就可求出了。解答：甲乙相遇時(shí)間10×2÷（23－18）=20÷5=4（時(shí)）南北全程（23+18）×4=41×4=164（千米）答：南北兩地相距164千米。說(shuō)明：本題表面現(xiàn)象是相遇，實(shí)質(zhì)上有追及的特點(diǎn)。因此可以按照追及問(wèn)題來(lái)解答。在做題過(guò)程中要抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度和，還是考慮速度差，要針對(duì)題目中的條件認(rèn)真思考。千萬(wàn)不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”。6．小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步，若小紅讓小藍(lán)先跑20米，則小紅跑5秒就可追上小藍(lán)。若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘，則小紅6秒鐘追上小藍(lán)，小紅、小藍(lán)的速度各是多少？分析：小紅讓小藍(lán)先跑20米，則20米就是小紅、小藍(lán)的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍(lán)，5秒就是追及時(shí)間，由此可求出他們的速度差。若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘，則小紅6秒鐘追上小藍(lán)，在這個(gè)過(guò)程中，6秒為追及時(shí)間。根據(jù)上一個(gè)條件，由速度差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過(guò)程中的路程差。這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程，因此可求出小藍(lán)的速度。解答：兩人的速度差20÷5=4（米）小藍(lán)的速度6×4÷4=6（米）小紅的速度6+4=10（米）答：小紅每秒跑10米，小藍(lán)每秒跑6米。7．甲乙兩站相距360千米，客車(chē)與貨車(chē)同時(shí)從甲站開(kāi)往乙站?？蛙?chē)每小時(shí)行60千米，貨車(chē)每小時(shí)行40千米，客車(chē)到達(dá)乙站后停留半小時(shí)，又以原速返回甲站，兩車(chē)相遇的地點(diǎn)離乙站多少千米？分析：由于客車(chē)在乙站停留時(shí)，貨車(chē)仍然行駛，因此可以分段考慮。解答：客車(chē)到達(dá)乙地的時(shí)間360÷60=6（時(shí)）客車(chē)返回時(shí)，貨車(chē)已行的路程40×（6+0.5）=260（千米）貨車(chē)這時(shí)距乙地的路程360－260=100（千米）客車(chē)返回與貨車(chē)相遇時(shí)所用的時(shí)間100÷（40+60）=1（時(shí)）相遇點(diǎn)離乙地的距離60×1=60（千米）答：相遇時(shí)距乙地60千米。8．甲、乙兩人同時(shí)從東、西兩地分別出發(fā)，如果兩人同向而行，甲28分鐘追上乙；如果兩人相向而行，8分鐘相遇。已知乙每分鐘行50米，東西兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫(huà)圖如下從圖中可以看出甲28－8=20（分）內(nèi)所走的路程與乙28+8=36（分）內(nèi)所走的路程是相同的，又已知乙的速度，因此可求出甲的速度，東西兩地的全程就可求。解答：甲的速度50×（28+8）÷（28－8）=50×36÷20=1800÷20=90（米）東西兩地間距離（90+60）×8=150×8=1200（米）答：東西兩地相距1200米。9．甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時(shí)跑12千米，這只狗同甲一道出發(fā)，；碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝甲這邊跑，碰到甲時(shí)又往乙那邊跑，直到兩人相遇，這只狗一共跑了多少千米？分析：對(duì)于這道題，讀完以后覺(jué)得很復(fù)雜：要求狗一共跑的路程，就要把狗與乙相遇跑的路程，與甲相遇跑的路程，再與乙相遇跑的路程…都求出來(lái)，然后再相加，算出結(jié)果。但是，仔細(xì)想一想，狗在甲乙兩人之間要跑多少個(gè)來(lái)回，每次來(lái)回所用的時(shí)間是多少，這些量求起來(lái)很繁瑣。再認(rèn)真審題，換個(gè)角度思考，不難發(fā)現(xiàn)，狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑時(shí)間。無(wú)論狗在甲、乙兩人之間要跑多少個(gè)來(lái)回，狗跑的路程所用的總時(shí)間等于甲、乙兩人相遇所用的時(shí)間。所以要求狗跑的時(shí)間，也就是求出甲、乙兩人的相遇時(shí)間。因此原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求甲、乙兩人相遇時(shí)間的問(wèn)題。解答：甲乙兩人的相遇時(shí)間是50÷（4＋6）=5（時(shí)）由于甲、乙兩人相遇的時(shí)間就是狗來(lái)回跑所用的時(shí)間，所以狗一共跑的路程為12×5=60（千米）答：這只狗一共跑了60千米。說(shuō)明：有時(shí)在解題過(guò)程中會(huì)被題目中的情節(jié)或條件所迷惑，因此這時(shí)再換個(gè)角度思考就會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的感覺(jué)。10．甲乙兩人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩人在離A地90米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距B地70米處第二次相遇。兩人從第一次相遇到第二次相遇恰好經(jīng)過(guò)了5分鐘，甲、乙兩人的速度是多少？分析：根據(jù)本講例4分析，先求出A、B間距離，再根據(jù)所給的時(shí)間就可求出兩人的速度。解答：A、B間距離90×3－70=270－70=200（米）甲的速度90÷（5÷2）=90÷2.5=36（米）乙的速