新教材2024版高中數(shù)學第二章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.2圓的一般方程課后提能訓練新人教A版選擇性必修第一冊

2．4.2圓的一般方程A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)>1 D．0<a<1【答案】B【解析】由D2＋E2－4F>0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)>0，即4－4a>0，解得a<1.2．已知圓C過點M(1，1)，N(5，1)，且圓心在直線y＝x－2上，則圓C的方程為 ()A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0【答案】A【解析】MN的垂直平分線方程為x＝3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以圓心坐標為(3，1).又因為r＝eq\r((3－1)2＋(1－1)2)＝2，所以圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋6＝0.3．已知點E(1，0)在圓x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，則k的取值范圍是 ()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【答案】A【解析】方程表示圓的條件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；點E在圓的外部的條件為12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>eq\f(3,5)，所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)).4．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝ ()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4) C．eq\r(3) D．2【答案】A【解析】圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圓心為(1，4)，d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).5．已知圓的圓心為(－2，1)，其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則這個圓的方程是 ()A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0【答案】C【解析】設(shè)直徑的兩個端點分別A(a，0)，B(0，b)，圓心C為(－2，1)，由中點坐標公式，得eq\f(a＋0,2)＝－2，eq\f(0＋b,2)＝1，解得a＝－4，b＝2，∴半徑r＝eq\r((－2＋4)2＋(1－0)2)＝eq\r(5).∴圓的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.6．動點P到點A(8，0)的距離是到點B(2，0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為 ()A．x2＋y2－16＝0 B．x2＋y2－2x－15＝0C．x2＋y2＋2x－7＝0 D．x2＋y2－2y－7＝0【答案】A【解析】設(shè)P(x，y)，則由題意可知2eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r((x－8)2＋y2)，化簡整理，得x2＋y2－16＝0.7．(多選)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為 ()A．－1 B．0 C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,5)【答案】BC【解析】由題意可得4(m＋3)2＋4×(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，所以(7m＋1)(m－1)<0，解得－eq\f(1,7)<m<1.故選BC.8．已知圓C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB為圓C的一條直徑，點A(0，1)，則點B的坐標為________．【答案】(2，－3)【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圓心為C(1，－1).設(shè)B(x0，y0)，由中點坐標公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋0＝2，,y0＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－3，))所以點B的坐標為(2，－3).9．若點(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不含邊界)，則a的取值范圍是________．【答案】a<1【解析】點(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不含邊界)，則(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.10．已知圓經(jīng)過點(4，2)和(－2，－6)，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程．解：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為圓經(jīng)過點(4，2)和(－2，－6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))設(shè)圓與x軸的交點橫坐標為x1，x2，它們是方程x2＋Dx＋F＝0的兩個根，得x1＋x2＝－D.設(shè)圓與y軸的交點縱坐標為y1，y2，它們是方程y2＋Ey＋F＝0的兩個根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③聯(lián)立①②③，解得D＝－2，E＝4，F(xiàn)＝－20.所以所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.B級——能力提升練11．過點P(－2，1)且被圓C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最長的直線l的方程是 ()A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝0【答案】B【解析】根據(jù)幾何意義，過點P且被圓截得弦長最長的弦的直線是過圓心的直線，圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心為(1，2)，則所求直線l的斜率為k＝eq\f(1－2,－2－1)＝eq\f(1,3)，則直線l方程為y－1＝eq\f(1,3)(x＋2)，即x－3y＋5＝0.故選B.12．(多選)如果圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在到原點的距離為eq\r(2)的點，那么實數(shù)a的值可以是 ()A．－2 B．0 C．1 D．3【答案】ACD【解析】圓(x－a)2＋(y－a)2＝8的圓心(a，a)到原點的距離為|eq\r(2)a|，半徑r＝2eq\r(2)，由圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在點到原點的距離為eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故選ACD.13．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為eq\r(2)，則圓C的一般方程為________．【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0【解析】因為圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直線x＋y－1＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2①，又因為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4×3)＝eq\r(2)，所以D2＋E2＝20②，聯(lián)立①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又因為圓心在第二象限，所以－eq\f(D,2)＜0，D＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))所以所求的圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.14．在△ABC中，若頂點B，C的坐標分別是(－2，0)和(2，0)，中線AD的長度是3，則點A的軌跡方程是________；當△ABC的面積最大時，點A的坐標為________．【答案】x2＋y2＝9(y≠0)(0，3)或(0，－3)【解析】線段BC的中點D為原點(0，0)，設(shè)A(x，y)(y≠0)，則由距離公式得eq\r(x2＋y2)＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0).因為點B(－2，0)，C(2，0)，所以點B，C所在的直線方程為y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|×|y|＝2|y|，又因為x2＋y2＝9(y≠0)，所以當△ABC的面積最大時，x＝0，y＝±3，故此時點A的坐標為(0，3)或(0，－3).15．已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．(1)求M的軌跡方程；(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4，設(shè)M(x，y)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)，由題設(shè)知eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上．因為P在圓N上，從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3，