2023年高中考試數(shù)學(xué)?？歼m應(yīng)模擬卷03（新高考專用）（答案版）

第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)保密★啟用前2023新高考名師一模模擬卷（3）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(共40分)1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后再逐項(xiàng)計(jì)算，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】集合，，，故A錯(cuò)誤，D正確；，故B，C錯(cuò)誤．故選：D．2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】解：，故．故選：A．3．某單位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲說(shuō)：我在1日和3日都有值班乙說(shuō)：我在8日和9日都有值班丙說(shuō)：我們?nèi)烁髯灾蛋嗳掌谥拖嗟葥?jù)此可判斷丙必定值班的日期是（

）A．10日和12日 B．2日和7日 C．4日和5日 D．6日和11日【答案】D【分析】確定三人各自值班的日期之和為26，由題可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，確定丙必定值班的日期．【詳解】由題意，1至12的和為78，因?yàn)槿烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋匀烁髯灾蛋嗟娜掌谥蜑?6，根據(jù)甲說(shuō)：我在1日和3日都有值班；乙說(shuō)：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是6日和11日，故選．【點(diǎn)睛】本題考查分析法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】根據(jù)，利用平移變換求解.【詳解】因?yàn)?，所以要得到函?shù)的圖象，只需由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：D5．某校開(kāi)設(shè)九門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，若學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生選修四門，則不同的選修方案共有（

）A．15種 B．60種 C．75種 D．100種【答案】C【詳解】試題分析：分析題意可知，若A，B，C三門課中選取了一門：第一步從A，B，C三門中選取一門，再?gòu)氖Ｏ碌?門課中選3門，不同的選修方案有種，若A，B，C三門中一門沒(méi)選：不同的選修方案有種，故不同的選修方案共有種，故選C．考點(diǎn)：1．乘法原理；2．分類討論的數(shù)學(xué)思想．6．若展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】展開(kāi)式中項(xiàng)的產(chǎn)生一部分來(lái)源于2與中項(xiàng)相乘，另一部分來(lái)源于與中項(xiàng)相乘，可求.【詳解】，展開(kāi)式中的系數(shù)為所以，解得故選：A7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在橢圓上且位于第一象限，滿足，的平分線與相交于點(diǎn)B，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：首先設(shè)，，在與中，求的值，求得，中，由勾股定理即可求得離心率；解法二：首先設(shè)，，再利用橢圓定義，角平分線定理，以及勾股定理，分布列式，化簡(jiǎn)為關(guān)于的齊次式子，即可求解離心率.【詳解】解法一

設(shè)，，則.由，得.因?yàn)椋?在與中，，所以，即，得.因?yàn)?，所以，所以，得，即，則，于是在中，由勾股定理，得，整理得，得，故選：D.解法二

設(shè)，，由得，.因?yàn)?，所以，在中，由勾股定理，得?由橢圓的定義得②.因?yàn)槠椒?，所以，即③，?lián)立①②③并化簡(jiǎn)得，則，得.故選：D.8．下列不等式正確的是（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以，所以在上恒成立，因?yàn)?，所以，即成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，考慮函數(shù)，，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，，所以，故C正確；對(duì)于D，顯然，所以，故D錯(cuò)誤．故選：C二、多選題(共20分)9．已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為 B．的最小值為C．最小值為 D．最小值為【答案】ABD【分析】題可知，且，利用基本不等式可判斷A,D；構(gòu)造二次函數(shù)型可判斷B；對(duì)兩邊同時(shí)平方，利用基本不等式可判斷C.【詳解】因?yàn)槭钦龜?shù)，且，所以不等式可知，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確；因?yàn)槭钦龜?shù)，且，所以，且，所以，當(dāng)時(shí)有最小值為，所以B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)，因?yàn)?，是正?shù)，所以最大值為，故C不正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為，所以D正確．故選：ABD.10．為了解決傳統(tǒng)的人臉識(shí)別方法中存在的問(wèn)題，科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的個(gè)點(diǎn)的深度的均值為，標(biāo)準(zhǔn)偏差為，深度的點(diǎn)視為孤立點(diǎn).則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，正確的有（

）1A． B． C．是孤立點(diǎn) D．不是孤立點(diǎn)【答案】ABD【分析】計(jì)算出、的值，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；求出區(qū)間，由孤立點(diǎn)的定義可判斷CD選項(xiàng).【詳解】，A對(duì).，B對(duì).，，則，，，所以，、都不是孤立點(diǎn)，C錯(cuò)，D對(duì).故選：ABD.11．若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B．若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C．若，則為R上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則【答案】ABD【分析】根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確答案.【詳解】對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD．12．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體被平面截得的截面面積是B．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】CD【分析】對(duì)A選項(xiàng)結(jié)合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公式即可得到答案，而A選項(xiàng)的截面積為C選項(xiàng)的最大截面積，對(duì)B選項(xiàng)需要利用正四面體的高以及外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，得到外接球半徑為，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，而此半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，故A錯(cuò)誤，截面示意圖如下：對(duì)于B，由對(duì)稱性知,勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心,如圖：正外接圓半徑,正四面體的高,令正四面體的外接球半徑為,在中,，解得,此時(shí)我們?cè)俅瓮暾爻槿〔糠掷章逅拿骟w如圖所示：圖中取正四面體中心為,連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則由圖得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，由對(duì)A的分析知，故C正確；對(duì)于D，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切,即為勒洛四面體內(nèi)切球,所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，故D正確.故選：CD．【點(diǎn)睛】本題實(shí)際上是勒洛三角形在三維層面的推廣，對(duì)計(jì)算能力，空間想象能力要求高，記住正四面體的高，內(nèi)切球半徑，外接球半徑與棱長(zhǎng)關(guān)系的二級(jí)結(jié)論將會(huì)加快對(duì)本題的求解.第II卷（非選擇題）三、填空題(共20分)13．已知向量，，若，則的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，又因?yàn)椋?，即，解得，所以的值?故答案為：.14．若，則___________.【答案】##0.75【分析】利用平方關(guān)系、正弦的二倍角公式和弦化切計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，解得，所?故答案為：.15．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)___________.①；②.【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題，只需符合題意即可，根據(jù)，故構(gòu)造指數(shù)型函數(shù)，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得解；【詳解】解：依題意令，則，，，所以，故滿足①；又，則，即滿足②；故答案為：（答案不唯一）16．早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一．如果把按計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．【答案】【分析】可得正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，可得，，即可表示出外接球的表面積和正二十面體的表面積，得出答案.【詳解】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，則，得，所以正五棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將正二十面體的外接球等價(jià)于上方正五棱錐的外接球，表示出半徑.四、解答題(共70分)17．(本題10分)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成解答.已知點(diǎn)在內(nèi)，，若___________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】【分析】選擇①，根據(jù)可得，再根據(jù)余弦定理得，求出，即可求得角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選擇②，根據(jù)可得，從而可得，再根據(jù)余弦定理得，求出，即可求得角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.選擇③，根據(jù)可求得，再利用余弦定理求得，再利用余弦定理可求的角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：選擇①，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，，所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.選擇②，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，所以所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.選擇③，因?yàn)椋?，在中，，在中，，又，所以，所?18．(本題12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列即可求解；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和可.(1)當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減得：，即，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以(2)由（1）知，，所以，，，兩式相減得：所以19．(本題12分)如圖，在三棱雉中，，，，(1)求證：；(2)若直線與平面成角，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，可證平面，從而可得；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出和平面的法向量后可求的值，從而的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，.因?yàn)?，則，同理，而，故面，而面，.（2）由（1）得面，故可以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，延長(zhǎng)線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等腰直角三角形中，，設(shè)，則，，故，平面的一個(gè)法向量為，由題意，解得或.當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故.20．(本題12分)已知A′，A分別是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，B，F(xiàn)分別是C的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)．點(diǎn)P在C上，滿足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線l（與x軸不重合）交C于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．【答案】(1)1；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由代入橢圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，由得出，再結(jié)合的大小求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為x＝my，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程代入橢圓方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后代入化簡(jiǎn)可得．【詳解】（1）設(shè)，由x＝﹣c，可得y＝±b±，則P的坐標(biāo)為（﹣c，）．由A（a，0），B（0，b），AB∥OP，可得kAB＝kOP，則，即b＝c，又|FA′|＝2，可得a﹣c＝2，又a2﹣c2＝b2，解得a＝2，b＝c，所以橢圓C的方程為1；（2）證明：由F(，0)，可設(shè)直線l的方程為x＝my，與橢圓方程x2+2y2＝4，可得(2+m2)y2﹣2my﹣2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1+y2，y1y2．又A(2，0)，可得k1k2?，所以k1k2為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓方程，考查橢圓中的定值問(wèn)題，解題方法是：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)直線方程，代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理的結(jié)論代入需求定值的式子，化簡(jiǎn)變形，從而可得結(jié)論．21．(本題12分)北京冬奧會(huì)的舉辦使得人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：(1)從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的概率；(2)“自由式滑雪”參與人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！保F(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)校”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響.如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(3)至少要進(jìn)行11輪測(cè)試【分析】(1)根據(jù)已知條件結(jié)合條件概率的概率公式求解；(2)的可能取值為0，1，2，3，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求解【詳解】（1）由題可知10個(gè)學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中參與“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的學(xué)校有6個(gè)，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人，且“自由式滑雪”的人數(shù)超